логотип Математички: Е в степени Пи

Исследовать функцию вида

y = _______axn + bcxm + d

и построить её график по общей схеме.


Общее исследование функций и построение графиков выполняют по следующей схеме:

  1. Найти область определения функции.
  2. Выяснить является ли функция чётной, нечётной, периодической.
  3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов.
  4. Найти асимптоты графика функции.
  5. Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить интервалы монотонности функции в этих точках.
  6. Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения функции и значения производной в этих точках. Установить интервалы выпуклости графика функции.
  7. Используя результаты исследований, построить график функции. Если нужно уточнить отдельные участки кривой, вычислить координаты нескольких дополнительных точек. В частности, рекомендуется вычислять координаты точек пересечения графика с осями координат, так называемые "нули" функции.

Задайте числовые параметры Вашего варианта и нажмите кнопку "Ввод."

y = ______ axn + b cxm + d

Показатели степени n и m должны быть целыми положительными однозначными числами. Коэффициенты a, b, c, d могут принимать любые целые значения из промежутка [-99,99]. Если перед дробью стоит знак "−", отнесите его к числителю. Не увлекайтесь слишком большими и малыми значениями коэффициентов. Помните о том, что "бесконечность" не поместится на экране.

a = b = c = d =

n = m =

Применим эту схему для функции

y = _____   2x3x2 − 4

(a = 2; b = 0; c = 1; d = −4; n = 3; m = 2).

1. Функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = ±2, в которых знаменатель дроби обращается в ноль. Таким образом, её область определения
D(f) = (−∞;−2)∪(−2;+2)∪(+2;+∞).

2. Функция нечётна, т.к.
f(-x) = -f(x) ,
следовательно её график будет симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно исследовать функцию в промежутке [0; +∞).

3. Функция непрерывна внутри своей области определения. Краевые точки интересующей части области определения исследуем одновременно с поиском асимптот.

4. Вычисляем пределы слева и справа от точки разрыва области определения (x = 2)
предел 2-0   предел 2+0
Следовательно прямая x = 2 является вертикальной асимптотой. А разрыв функции в точке x = 2 является разрывом второго рода.

Вычисляем предел функции на бесконечности
предел на бесконечности
На основании этого результата делаем вывод о том, что горизонтальных асимптот у функции нет, но могут быть наклонные. Для поиска наклонной асимптоты вычисляем следующие пределы
предел f(x)/x =    и   предел f(x) - kx =
.
Итак, кривая имеет наклонную асимптоту y = 2x, причём знак y-2х
Последнее означает, что при x > 2 график функции будет расположен выше прямой y = 2x, а при x < 0 — ниже её.

5. Для определения экстремумов и участков монотонности функции необходимо вычислить её первую производную

первая производная y' = .
В промежутке [0;+∞) она обращается в ноль в точках x1 = 0 и x2 = 2√3_ ≈ 3,46 и в точке x = 2 обращается в бесконечность. Знаки производной на участках между этими характерными точками позволяют выявить характер монотонности функции. Вычислим значения функции в точках x1 и x2.
 y(0) = ,     y(2 корня из 3).

6. Характер выпуклости графика функции определяется на основе анализа её второй производной. Вычислим
вторая производная y'' = .
Вторая производная обращается в ноль в точке x = 0 и в бесконечность при x = 2. Интервалы выпуклости графика определяются знаками второй производной на участках между этими точками.

7. Для определения точек пересечения графика функции с осью Ox необходимо решить уравнение
уравнение f(x) = 0,
а для определения точек пересечения с осью Oy вычислить
 y(0) = .
В данном случае график пересекает оси в единственной точке (0;0).

Для удобства и наглядности исследования составим следующую таблицу, в которой все интересующие нас точки расположим в порядке возрастания. В строках y' и y" проставляем значения производных в точках или их знаки на промежутках. Последние определяем по любой точке из промежутка, для которой легче произвести вычисления. В строке делаем отметки о своих выводах.

x 0 (0;2) 2 (2;2√3_) 2√3_ ≈ 3,5 2(√3_;+∞)
y' 0 0 +
y" 0 +  3 корня из 3 / на 2 +
y 0 6√3_ ≈ 10,4

 

график дробно-рациональной функции

Используя результаты исследования, строим график: оси координат, аcимптоты, характерные точки, затем, ориентируясь на отметки последней строки таблицы, – кривую в области положительных x. Кривую в области отрицательных x строим симметрично относительно начала координат.

—  

y = _____   2x3x2 − 4


——–  y = 2x.

——–  x = −2; x = 2.

   К таблице с графиками элементарных функций.