Приложения определенного интеграла.

Задача.

Изменение производительности производства с течением времени от начала внедрения нового технологического процесса задается функцией
,
где t - время в месяцах. Найти объем продукции, произведенной за третий месяц.

Решение.

Объем произведенной продукции - интегральный (суммарный) показатель производства. Если функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени, тогда объем продукции Q(t₁,t₂), за промежуток времени с момента t₁ до момента t₂, вычисляется по формуле
,
т.е. через определенный интеграл.

В нашем случае
.

По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл вычисляется через приращение первообразной
.

Чтобы вычислить первообразную (или неопределенный интеграл) сначала воспользуемся свойством показательной функции 2^{m + n} = 2^m·2ⁿ, чтобы упростить подинтегральное выражение, а затем свойствами линейности интеграла:
1) интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности интегралов;
2) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Первый интеграл табличный. Для вычисления второго сделаем замену переменных
x = –0,5t, откуда
t = –2x; dt = –2dx;
при t₁ = 2 x₁ = –1;
при t₂ = 3 x₂ = –1,5.

Получим

Здесь после замены переменных мы смогли воспользоваться формулой

из таблицы неопределенных интегралов (или аналогичной из таблицы первообразных).

Ответ: Q₃ ≈ 18,5

PS: См. также Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш.