Решение систем линейных уравнений.

Исследовать на совместность систему линейных уравнений

	x1	+	x2	+	x3	− 3	=	0,
	4x1	−	2x2	−	10	=	0,
	x1	−	2x2	−	x3	=	0.

Решение.

1. Проверяем порядок следования неизвестных. Если он нарушен, уравнения надо переписать так, чтобы одинаково обозначенные переменные были друг под другом, а свободные члены уравнения находились в правой части (за знаком равенства).

Упорядочиваем систему уравнений.

	x1	+	x2	+	x3	=	3
	4x1	−	2x2			=	10
	x1	−	2x2	−	x3	=	0.

2. Система линейных уравнений может иметь одно или более решений, или не иметь их совсем. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Исследовать на совместность значит определить число возможных решений системы, не решая её, например, через ранг матрицы.
Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы rg(A) равен рангу расширенной матрицы rg(A|B). При этом сиcтема имеет единственное решение, если rg(A) равен числу неизвестных (n) и бесконечное множество решений, если rg(A) < n.
Определить ранг матрицы можно по числу ненулевых строк в ступенчатом виде.

3. Записываем матрицу системы, считая что отсутствующая переменная входит в уравнение с коэффициентом 0.

Матрица системы A:

	1	1	1
	4	-2	0
	1	-2	-1

4. Записываем расширенную матрицу системы (A|B), добавив к матрице А справа столбец свободных членов.

Расширенная матрица (A|B):

	1	1	1	3
	4	-2	0	10
	1	-2	-1	0

5. Производим элементарные преобразования строк расширенной матрицы, чтобы привести её к ступенчатому виду. Одновременно к ступенчатому виду будет приведена матрица A, так как дополнительный столбец всегда остается крайним справа.

(1) 1-ю строку, умноженную на (−4), прибавим к 2-ой. И 1-ю строку, умноженную на (−1), прибавим к 3-ей.

	1	1	1	3
	0	-6	-4	-2
	0	-3	-2	-3

(2) 2-ю строку разделили на (−2)

	1	1	1	3
	0	3	2	1
	0	-3	-2	-3

(3) 2-ю строку прибавили к 3-ей.

	1	1	1	3
	0	-3	-2	-1
	0	0	0	-2

Получили матрицу ступенчатого вида, в которой 3 ненулевых строки, т.е. ранг расширенной матрицы системы rg(A|B) = 3. Однако, в части, соответствующей матрице системы (без учета последнего столбца), есть полностью нулевая строка, т.е. ненулевых строк всего 2 и, соответственно её ранг rg(A) = 2.
Вывод: ранг матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы, следовательно, система несовместна (не имеет решений).