Дифференциальные уравнения (основные понятия).

Задача.

Выяснить, является ли функция
-x/2+2/x
решением дифференциального уравнения
y'=-(x+y)/x .

Решение.

Находим производную функции, заданной условием задачи:
y' = вычисление.

При проведении вычислений использовались:
правило дифференцирования суммы функций (u + v) = u' + v' ,
свойство степенной функции x в степени (-n) = дроби
и формулы из таблицы производных x' = 1 и (xn)' = n·xn–1.

Получили
y' = .

Подставляем это выражение для производной в дифференциальное уравнение


И преобразуем его так, чтобы тождество стало очевидным.

Для этого умножим обе части равенства на минус x
,
перенесём x в другую часть равенства

и выразим y через x

Получили
,
что полностью совпадает с выражением для функции в условии задачи. Таким образом, тождество доказано и заданная функция является решением заданного дифференциального уравнения.