Векторное пространство. Операции над векторами.

Задача.

Найти угол между векторами
x_ = (1; 1; 0; 4; 3)  и  y_ = (0; 5; 2; 4; 3)
5-тимерного Евклидова пространства.

Решение.

Угол между векторами в n-мерном Евклидовом пространстве определяется по формуле

cosφ = (x, y)|x|·|y|——,

где (x, y) - скалярное произведение векторов x и y, |x| - модуль (длина) вектора х, |y| - модуль (длина) вектора y.

(x, y) = x₁·y₁ + x₂·y₂ + x₃·y₃ + x₄·y₄ + x₅·y₅ = 1·0 + 1·5 + 0·2 + 4·4 + 3·3 = 30;

|x| = √ (x, x) _____
(x, x) = x₁² + x₂² + x₃³ + x₄² + x₅² = 1² + 1² + 0² + 4² + 3² = 27;
|x| = √ 27 ___

|y| = √ (y, y) _____
(y, y) = y₁² + y₂² + y₃² + y₄² + y₅² = 0² + 5² + 2² + 4² + 3² = 54;
|y| = √ 54 .___

cos φ =    30 √ 27 ___·√ 54 ___ ————— =   30 27·√2__———— ≈ 0,788.

φ ≈ arccos(0,788) = 38°

Ответ: φ ≈ 38°