логотип Математички: Е в степени Пи

Решение неравенств. Общие соображения.


Прежде, чем перейти к решению неравенств, уровень сложности которых соответствует профильному ЕГЭ по математике, вспомним и обсудим простые моменты: свойства числовых неравенств и как решались дробно-рациональные уравнения.
  1. Свойства числовых неравенств.
  2. Почему неравенства не решают так же, как уравнения?
  3. Как проверить ответ неравенства?

Свойства числовых неравенств

    Для любых дейcтвительных чисел a, b, c и d выполняются следующие свойства:

  1. Если a > b, то b < a.
  2. Если a > b и b > c, то a > c.
  3. Если a > b, то a + c > b + c.
  4. Если a > b и с > 0, то ac > bc.
    Другими словами, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится, неравенство останется верным.
  5. Если a > b и с < 0, то ac < bc.
    Другими словами, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства нужно изменить на противоположный, чтобы неравенство осталось верным.
  6. Если a > b и с > d, то a + c > b + d.
    Если почленно сложить два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
  7. Если a > b и с < d, то ac > bd.
  8. Следующие свойства выполняются только для положительных чисел.

  9. Если a > b > 0 и с > d > 0, то ac > bd.
    Почленно перемножать можно неравенства одного знака только тогда, когда левая и правая части обоих нервенств положительны.
  10. Если a > b > 0, то  1_a <  1_b.

  11. Если a > b > 0, то для любого натурального числа n выполняется неравенство an > bn

Особое внимание обратите на свойства 5 и 9. Они непосредственно связаны с нашей темой - дробно-рациональные неравенства.
Напомню, что рациональными называются выражения, которые не содержат радикалов и трансцендентных функций, т.е. это алгебраические выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.

Почему неравенства не решают так же, как уравнения?

Для ответа на этот вопрос, рассмотрим два примера, содержащие одинаковые алгебраические дроби. Чтобы понять, как выбирается способ решения неравенства, сначала вспомним, как можно решать подобное уравнение.

Пример 1

Решить уравнение:

x − 2x − 1 _____ = 2x − 2 x + 5_____ .

Итак, нужно найти корни уравнения. Что можно сделать?

Вариант первый.

Зафиксировать область допустимых значений (ОДЗ) выражения: \( x-1 \ne 0; \; x+5 \ne 0. \)
Убедиться в том, что уравнение представляет собой равенство двух дробей и воспользоваться основным свойтвом пропорции - произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов - в простореции "перемножить крест накрест." \[(x - 2)\cdot(x+5) = (x-1)\cdot(2x-2).\] Решить простое (без дробей) рациональное уравнение. Здесь после раскрытия скобок и приведения подобных членов оно сведется к квадратному.
Сверить полученные корни с ОДЗ и, отбросив лишние, сформировать ответ.

Вариант второй.

Привести к общему знаменателю. При этом неважно перенесены ли предварительно все члены уравнения в одну сторону или нет.
Не забыть об ограниченности области допустимых значений выражения (написать ОДЗ).
Отбросить общий знаменатель (одинаковые знаменатели в обеих частях равенства, если не переносили всё в одну сторону).
Решить упрощенное уравнение, проверить полученные корни на соответствие ОДЗ, написать ответ.

Вариант третий.

Перенести все члены уравнения в левую часть равенства и привести к общему знаменателю. \[ \frac{x-2}{x-1}- \frac{2x-2}{x+5} = 0;\\ \frac{(x - 2)\cdot(x+5) - (2x-2)\cdot(x-1)} {(x-1)(x+5)} = 0. \] Затем, вспомнив о том, что дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, записать и решать следующую равносильную систему: \[ \begin{cases}{ (x - 2)\cdot(x+5) - (2x-2)\cdot(x-1) = 0;\\ (x-1)(x+5) \ne 0. } \end{cases} \]

Попробуйте всё это проделать самостоятельно для тренировки навыков решения дробно-рациональных уравнений. И убедитесь в том, что во всех трёх случаях будут получены одинаковые ответы.
Для решения уравнений реального ЕГЭ вы можете выбрать любой из этих подходов, который вам придётся по душе.

Здесь дорешаем уравнение в третьем варианте, чтобы потом сравнить его корни с решением неравенства. \[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {(x^2+3x-10) - (2x^2-4x+2) = 0;} \\ {(x-1)(x+5) \ne 0;} \hfill \\ \end{array} } \right.\left| {\begin{array}{*{20}c} {-x^2 +7x - 12 = 0;} \\ {x \ne 1; \; x\ne -5;} \\ \end{array} } \right. \left| {\begin{array}{*{20}c} {} \\ {} \\ \end{array} } \right. x_1 = 3; \; x_2 = 4. \]

Ответ: x ∈ {3;4}.

Замечение:Отдельные ответы удобно записывать в фигурных скобках как элементы перечислимого множества, в отличие от интервалов (a;b) и отрезков [a;b], для обозначения которых используются круглые или квадратные скобки соответственно..

Пример 2

Решить неравенство:

x − 2x − 1 _____ ≤   2x − 2 x + 5_____ .

Это неравенство содержит те же самые дробные выражения, что и предыдущее уравнение. Однако теперь
варианты "крест накрест" и отбрасывание общего знаменателя НЕПРИМЕНИМЫ,
потому что в знаменателе присутствуют неизвестные величины, а следовательно мы не знаем знаков множителей и не сможем корректно применять свойства неравенств. Особенно это касается свойства 5, которое требует изменить знак неравенства при умножении на отрицательное число. Поэтому при решении дробно-рационального неравенства
самое разумное действие - перенести все его члены в одну сторону и сравнивать итоговое выражение с нулем,
т.е. применим способ аналогичный рассмотренному варианту 3 для уравнений.

Итак, переносим всё в левую часть неравенства и преобразуем выражение: \[ \frac{x-2}{x-1}- \frac{2x-2}{x+5} \le 0;\\ \frac{(x - 2)\cdot(x+5) - (2x-2)\cdot(x-1)} {(x-1)(x+5)} \le 0;\\ \frac{-x^2 +7x - 12 } {(x-1)(x+5)} \le 0. \]

Далее можем рассуждать так:
Фактически, здесь мы должны определить знак дробного выражения. То есть при каких значениях переменной результат деления является неположительным числом (отрицательным или нулём).
Очевидно, это будет тогда, когда знаки числителя и знаменателя не совпадают. Таким образом, нужно рассмотреть два случая: числитель дроби меньше либо равен нулю И знаменатель положителен (> 0) ИЛИ числитель дроби больше либо равен нулю И знаменатель отрицателен (< 0). Знаменатель не равен нулю в любом дробном выражении!

Это рассуждение приводит нас к совокупности двух систем неравенств.
Обратите внимание, если в текст размышлений можно вставить союз "И", то это система, в которой выражения мы соединяем обычно фигурной скобкой "{", если же можно вставить союз "ИЛИ", т.е. объединить несколько разных случаев, то это совокупность, обозначаемая квадратной скобкой "[".

В нашем случае заданное неравенство равносильно выражению

\[ \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {-x^2 +7x - 12 \le 0;} \\ {(x-1)(x+5) >0;} \hfill \\ \end{array} } \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {-x^2 +7x - 12 \ge 0;} \\ {(x-1)(x+5) < 0. }\hfill \\ \end{array} } \right.} \\ \end{array} } \right. \] Чтобы решить эти системы неравенств, мы можем раскрыть скобки во втором неравенстве и решать его, как квадратное \((x-1)(x+5) = x^2 +4x-5\) или, наоборот, разложить на множители первое неравенство и рассуждать о знаках произведений. Второй подход рассмотрим на более сложном примере. А решение квадратных неравенств, как я полагаю, хорошо изученная тема, поэтому просто проиллюстрирую получение ответа графическим методом.

В первом случае решения первого и второго неравенств системы пересекаются на множестве x ∈ (−∞; −5)U(1;3]U[4;+∞). Решения неравенств второй системы не пересекаются: x ∈ ∅.

Объединяя эти случаи, т.е. первую часть ответа с пустым множеством, в итоге получаем:

Ответ: x ∈ (−∞;−5)U(1;3]U[4;+∞).

Сравним ответ неравенства с ответом уравнения, рассмотренного выше. Значения переменной \(x = -5; x = 1; x = 3; x = 4 \) присутствовали как ключевые при решении уравнения, однако те из них, которые обращают знаменатель в 0, не вошли в ответ.
Но в ответе неравенства мы явно видим все эти значения переменной. Они фигурируют как границы промежутков. При этом входят или не входят граничные точки в ответ зависит от ОДЗ выражений и степени строгости неравенства.
Таким образом, наиболее частые ошибки при решении неравенств состоят в потере граничных точек и слиянии промежутков.

Как проверить ответ неравенства?

Проверить ответ уравнения легко. Для этого достаточно подставить полученные корни в условие задачи. Потерянных корней таким образом вы, конечно, не найдёте, но лишние и неверные проявятся точно. Т.е. проверка уравнения подстановкой не 100-процентная гарантия точности результата, но достаточно высокая.
Но как проверить ответ неравенства, если он содержит бесконечное множество значений? Существенно сложнее. Более того, идеальной проверки, гарантирующей верность ответа нет.

И всё-таки, если это ответственное решение, например, важный экзамен, имеет смысл потратить некоторое время и провести вычисление нескольких числовых значений для неравенства.
1) Подставить в неравенство хотя бы по одному значению из промежутков, входящих в ответ, чтобы убедиться, что полученные числовые неравенства будут верными,
2) и по одному значению из промежутков, не входящих в ответ, чтобы убедиться что соответствующие числовые неравенства будут неверными.
3) Также не мешает перепроверить граничные точки промежутков.

Проверка ответа примера 2.

\[ \frac{x-2}{x-1} \le \frac{2x-2}{x+5} \]

1) Все следующие числовые неравенства должны оказаться верными.

\(x \in (-\infty;-5) \). Пусть \(x = -7 \), тогда \[ \frac{-7-2}{-7-1} \le \frac{-14-2}{-7+5};\;\; \frac{9}{8} < \frac{16}{2}; \;\; 1,125 < 8 \;\;верно\] \(x \in (1;3] \). Пусть \(x = 2 \), тогда \[ \frac{2-2}{2-1} \le \frac{4-2}{2+5}; \;\; \frac{0}{1} < \frac{2}{7}; \;\; 0 < 0,28 \;\;верно \] \(x \in [4;+\infty;) \). Пусть \(x = 5 \), тогда \[ \frac{5-2}{5-1} \le \frac{10-2}{5+5}; \;\; \frac{3}{4} < \frac{8}{10}; \;\; 0,75 < 0,8 \;\;верно \]

2) Все следующие числовые неравенства должны оказаться неверными.

\(x \in (-5;1) \). Пусть \(x = 0 \), тогда \[ \frac{0-2}{0-1} \le \frac{0-2}{0+5}; \;\; \frac{2}{1} < -\frac{2}{5}; \;\; 2 < -0,4 \;\;неверно \] \(x \in [3;4] \). Пусть \(x = 3,5 \), тогда \[ \frac{3,5-2}{3,5-1} \le \frac{7-2}{3,5+5}; \;\; \frac{1,5}{2,5} < \frac{5}{8,5}; \;\; 0,6 < 0,588 \;\;неверно\] 3) При \(x = -5 \; x+5 = 0\) и при \(x = 1 \; x - 1 = 0,\) следовательно эти значения переменной являются граничными потому, что не удовлетворяют ОДЗ.

При \(x = 3\) \[ \frac{3-2}{3-1} \le \frac{6-2}{3+5}; \;\; \frac{1}{2} = \frac{4}{8}; \;\; 0,5 = 0,5 \] При \(x = 4\) \[ \frac{4-2}{4-1} \le \frac{8-2}{4+5}; \;\; \frac{2}{3} = \frac{6}{9}; \;\; 0,(6) = 0,(6) \] Cледовательно эти значения переменной являются граничными потому, что превращают неравенство в верное равенство. Т.к. по условию равенство возможно (≤), то эти значения входят в ответ.

Решая неравенство из примера 2, мы пошли по пути графического анализа квадратных неравенств. Однако могли и далее рассуждать о положительности и отрицательности результатов операций деления и умножения. Например, неравенство \((x-1)(x+5) >0,\) которое является составной частью рассмотренной в примере 2 совокупности систем, будет верным, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки - оба положительны или оба отрицательны, т.е. в свою очередь сводится к совокупности двух систем неравенств

\[\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x-1>0;} \\ {x+5>0} \hfill \\ \end{array} } \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x-1<0;} \\ {x+5<0. }\hfill \\ \end{array} } \right.} \\ \end{array} } \right.\] Понятно, что при такой вложенности систем м совокупностей легко запутаться и наделать много ошибок. Но на этот случай у нас существует отличный метод, называемый Методом интервалов. Это алгоритм, который позволяет учитывать возможные знаки сомножителей, не прибегая к многочисленным системам и совокупностям, а изображая промежутки знакопостоянства всего выражения непосредственно на числовой оси.

Решение рациональных неравенств методом интервалов.

Проверьте себя.

Какое из этих неравенств можно было бы решать методом отбрасывания общего знаменателя и почему?

\[1)\;\; \frac{x-1}{3} > \frac{7}{8}; \] \[2)\;\; \frac{3}{x-1} > \frac{8}{7}.\]
Приводим дроби к общему знаменателю. Дополнительные множители в первом неравенстве 8 и 3, во втором — 7 и \((x-1)\). \[1)\;\; ^{\dfrac{8}{}}\frac{x-1}{3} > ^{\dfrac{3}{}}\frac{7}{8}; \\ 2)\;\; ^{\dfrac{7}{}}\frac{3}{x-1} > ^{\dfrac{x-1}{}}\frac{8}{7}.\] Уже видно, где есть множитель, содержащий неизвестную величину, но пока ничего не нарушено, т.к. при приведении к общему знаменателю и числитель, и знаменатель дроби мы умножаем на одно и то же число (выражение). От этого действия её значение не изменяется. \[1)\;\; \frac{(x-1)\cdot8}{3\cdot8} > \frac{7\cdot3}{8\cdot3}; \;\; \frac{8x -8}{24} > \frac{21}{24}; \\ 2)\;\; \frac{3\cdot7}{(x-1)\cdot7} > \frac{8\cdot(x-1)}{7\cdot(x-1)}; \;\; \frac{21}{7x-7} > \frac{8x-8}{7x-7}. \] Отбрасывание знаменателя в первом неравенстве равносильно умножению обоих его частей на положительное число 24, что по свойству 4 сохраняет неравенство верным. \[1)\;\; \frac{8x -8}{24} > \frac{21}{24} \Leftrightarrow 8x -8 > 21.\] Для второго неравенства аналогичное действие привело бы к умножению на двучлен с неизвестным знаком \(7x-7\). А если не вспомнить о свойствах неравенств, то к ошибочному решению \(21 > 8x-8.\)

Выход из положения может быть следующим:

Если \(7x-7 > 0\), то знак исходного неравенства сохраняется: \[\frac{21}{7x-7} > \frac{8x-8}{7x-7} \Leftrightarrow 21 > 8x-8. \] Если \(7x-7 < 0,\) то знак исходного неравенства меняется на противоположный: \[\frac{21}{7x-7} > \frac{8x-8}{7x-7} \Leftrightarrow 21 < 8x-8. \] Но эти два случая как раз и представляют собой совокупность двух систем, которую мы рассматривали в примере 2. \[2)\;\; \frac{21}{7x-7} > \frac{8x-8}{7x-7} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {7x-7>0;} \\ {21 > 8x-8} \hfill \\ \end{array} } \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {7x -7<0;} \\ {21 < 8x-8. }\hfill \\ \end{array} } \right.} \\ \end{array} } \right. \] К этой совокупности систем быстрее и надёжнее, т.е. с меньшей вероятностью допустить ошибку, мы приходим тогда, когда с самого начала переносим всё в одну часть неравенства и сравниваем выражение с нулем.

Вывод: Отбрасывание общего знаменателя можно производить только для тех неравенств, в которых этот знаменатель положительная константа. Т.е. здесь для неравенства (1). Во всех остальных случаях требуется более детальный анализ знаков чисел и выражений.

Показать ответ.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

   Перейти на главную страницу сайта.