логотип Математички: Е в степени Пи

Задание 15: решение иррациональных неравенств.



  1. Классический способ решения.
  2. Решение через уравнение.
  3. О методе рационализации.
Неравенства, содержащие неизвестные величины или некоторые функциии неизвестных величин под знаком радикала называются иррациональными неравенствами.

Классический способ решения.

Особую трудность при решении таких неравенств представляют собой случаи корней чётной степени. Рассмотрим несколько примеров неравенств, содержащих квадратный корень.

Вспомним определение квадратногог корня.
\[ \sqrt{a} = b \Leftrightarrow \begin{cases}{ a \ge 0;\\ b \ge 0;\\ a = b^2. } \end{cases} \]
Как функция квадратный корень имеет ограниченную область определения и ограниченную область значений. Соответственно, выражение, содержащее квадратный корень имеет ограниченную область допустимых значений (ОДЗ) переиенной.Корень извлекается только из неотрицательных чисел и при извлечении результат неотрицателен. О последнем нередко забывают. Существенно то, что оба ограничения, в свою очередь, задаются неравенствами. Таким образом, при решении иррациональных неравенств с корнями чётной степени вы всегда сталкиваетесь не с одним, а с несколькими неравенствами.

Замечание. Уточним терминологию: положительные числа строго больше нуля, отрицательные – строго меньше нуля. Множество, состоящее из положительных чисел и нуля, называют неотрицательными числами. Соответственно, множество, состоящее из отрицательных чисел и нуля, называют неположительными числами.
Далее для нестрогих неравенств вида ≥ 0 используетcя термин неотрицательное.
Далее для нестрогих неравенств вида ≤ 0 используетcя термин неположительное.

Рассмотрим следующую задачу.

Пример 1

Решить неравенство:

√42 − 25x + 3x2 ____________   > −4x .

В нашем случае заданное неравенство равносильно выражению \[ \left[ {\begin{array}{*{20}c} { \text{(I)}\;\;{\begin{cases}{} {42-25x+3x^2\ge 0; \hspace{50pt} (1)} \\ {-4x \ge 0; \hspace{98pt} (2)} \hfill \\ {42 -25x +3x^2 > (-4x)^2; \hspace{26pt} (3)} \end{cases} } } \\ {\text{(II)}\;\; {\begin{cases}{} {42 -25x+3x^2\ge 0; \hspace{52pt} (4)} \\ {-4x < 0, \hspace{100pt} (5)} \hfill \\ \end{cases} } } \hfill \\ \end{array} } \right. \] т.е. совокупности двух систем неравенств. В скобках пронумерованы строки этого выражения.

Совокупность означает, что возможны различные случаи, результаты анализа которых, будут объединены в один ответ. Что это за случаи, и с чем связано, что здесь их два?

В левой части неравенства у нас по определению стоит неотрицательное значение при любом допустимом значении x. А знак правой части может быть произвольным. (I) Если правая часть положительна или равнв 0, то можно обе части неравенства возводить в квадрат, пользуясь определением и монотонностью квадратного корня. (II) Если же отрицательна, то очевидно, что неравенство будет верным, потому что положительное число всегда больше отрицательного.

В каждом из двух случаев рассматривается система неравенств. Почему система? Потому, чио описанные выше условия должны выполняться совместно с ОДЗ выражения, которое, как мы уже упоминали, также задаётся неравенством.

Итак, строки (1) и (4) - это условие, что под знаком радикала может стоять только неотрицательное число. Строка (2) – рассматриваем случай неотрицательной правой части. Строка (3) – в этом случае возводим обе части в квадрат. Обратите внимание, что получившаяся система выглядит так же, как определение квадратного корня.
Строка (5) – рассматриваем случай отрицательной правой части. Кроме ОДЗ, здесь больше ничего учитывать не надо. Поэтому вторая система в этом примере состоит только из двух неравенств. (Для общности её можно дополнить третьим формальным условием \(x \in R\), что означает "при любом х", но это не повлияет на решение, и мы уже обсудили почему.)

Вот такой порядок рассуждений, с помощью которых мы переходим от одного сложного неравенства к совокупности систем простых неравенств, и называется классическим методом решения иррациональных неравенств.

Осталось решить обычные линейные и квадратные неравенства, а затем аккуратно пересечь множества на числовой оси.

Решение неравенсва (1):

\[ 42-25x+3x^2\ge 0\\ 3x^2-25x+42 =0\\ D = 25^2 -4\cdot3\cdot42 = 625 - 504 = 121;\\ x_1 = \frac{25 - \sqrt{121}}{2\cdot3} = \frac{25-11}{6} = \frac{7}{3};\\ x_2 = \frac{25 + \sqrt{121}}{2\cdot3} = \frac{25+11}{6} = 6. \] Следовательно, оно верно на промежутке \(\left(-\infty;\dfrac{7}{3}\right] \cup [6;+\infty).\)

Решение неравенсва (2): \( \hspace{30pt} -4x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 0.\)

Решение неравенсва (3):

\[ 42 -25x +3x^2 > (-4x)^2; \\ 42 -25x +3x^2 - 16x^2 > 0; \\ 13x^2 +25x - 42 < 0.\\ \\ 13x^2 +25x - 42 = 0\\ D = 25^2 -4\cdot13\cdot(-42) = 625 + 2184 = 2809;\\ x_1 = \frac{-25 - \sqrt{2809}}{2\cdot13} = \frac{-25-53}{26} = -\frac{78}{26} = -3 ;\\ x_2 = \frac{-25 + \sqrt{2809}}{2\cdot13} = \frac{-25+53}{26} = \frac{28}{26} = \frac{14}{13}. \] Это неравенство верно на интервале \(\left(-3; \dfrac{14}{13}\right)\).

Отмечаем полученные результаты на общей числовой оси. На следующем рисунке красным цветом заштриховано решение неравенства (1), синим ‐ (2), зеленым ‐ (3). Общим решением системы (I) является полуинтервал \(x \in (-3;0] \) на которм пересекаются все три ответа.


Рис. I

Переходим ко второй системе неравенств. Первое из двух (4) мы уже решили, т.к. оно совпадает с (1). Используем тот же рисунок.

Решение неравенсва (5): \( \hspace{30pt} -4x \lt 0 \Leftrightarrow x \gt 0.\)

На общей числовой оси красным цветом заштриховано решение неравенства (4), синим ‐ неравенства (5). Как видно, решением системы (II) является объединение двух промежутков: \(x \in \left(0;\dfrac{7}{3}\right] \cup [6;+\infty). \)


Рис. II

Осталось объединить полученные промежутки в одно множество и записать окончательный ответ. \[(-3;0] \cup (0;\frac{7}{3}] \cup [6;+\infty) = (-3;\frac{7}{3}] \cup [6;+\infty) \]

Ответ: x ∈ (−3;7/3] ∪ [6; +∞).

Если вам не нравятся понятия "системы" и "совокупности", рассуждать можно, исходя из того, что все неравенства должны решаться на области допустимых значений переменных (на ОДЗ). Отличие будет состоять только в порядке действий, сначала вы отметите на числовой оси ОЛЗ неравенства – область, которая на Рис.I и II заштрихована красным, а затем рассмотрите возможные знаки выражения в правой части и в зависимости от этого завершите решение. Понятно, что для приведенного неравенства это одно и то же. Но бывают случаи, когда удобнее использовать именно этот подход.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 2

Решить неравенство:

√2x + 1 _____ + √2x − 5 _____ √5 − 2x _____ .

По определению квадратного корня здесь все слагаемые неотрицательны. Можно возводить в квадрат обе части неравенства и составлять систему для совместного решения с ОДЗ. Система в итоге будет состоять из 4-ёх неравенств – три неотрицательных подкоренных выражения и преобразованное исходное неравенство. Длинновато. Попробуем сначала разобраться с ОДЗ.

\[\sqrt{2x+1} + \sqrt{2x-5} \ge \sqrt{5-2x} \] \[ \begin{cases}{ 2x+1 \ge0;\\ 2x-5 \ge0;\\ 5-2x \ge0. }\end{cases} \;\; \left|{ \begin{array}{*{20}c}{ 2x \ge -1;\\ 2x \ge 5;\\ -2x \ge -5. }\end{array} }\right. \;\; \left|{ \begin{array}{*{20}c}{ x \ge -0,5;\\ x \ge 2,5;\\ x \le 2,5. }\end{array} }\right. \] Одновременное выполнение неравенств x ≤ 2,5 и x ≥ 2,5 возможно только при условии x = 2,5. Это значение также удовлетворяет условию x ≥ −0,5 (2,5 > −0,5). Таким образом ОДЗ состоит из одного возможного значения переменной и неравенство проще проверить, чем решать. \[ \sqrt{2\cdot2,5+1} + \sqrt{2\cdot2,5-5} \ge \sqrt{5-2\cdot2,5}\\ \sqrt{5+1} + \sqrt{5-5} \ge \sqrt{5-5} \\ \sqrt{6} > 0. \]

Ответ: x = 2,5

Примеры для самостоятельного решения.

Внимание: Ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. Но не торопитесь смотреть ответ, тем более, смотреть решение. Убедитесь, что предыдущие примеры поняты верно, и вы готовы решать иррациональные неравенства.

Пример 3

Решить неравенство:

x2 − 9 _____ < 14 − 2x.

Показать ответ.

Решение.

Распишем неравенство, как равносильную совокупность двух систем. \[ \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\begin{cases} {x^2 - 9 \ge 0;} \\ {14-2x \ge 0;} \\ {x^2 - 9 < (14-2x)^2;} \end{cases} } \\ {\begin{cases} {x^2 - 9 \ge 0;} \\ {14-2x \lt 0;} \\ x \in \emptyset. \end{cases} } \hfill \\ \end{array} } \right. \] Первая система возникла так же, как в примере 1: ОДЗ, неотрицательная правая часть, возведение в квадрат обеих частей неравенства. Вторая система (второй случай) тоже включает ОДЗ, отрицательную правую часть и "такого не может быть", т.е. отрицательное значение не может быть больше положительного и нуля, поэтому здесь х в итоге будет принадлежать пустому множеству.
Вторую систему не нужно решать и можно не записывать, а значит и совокупность не нужна, только одна система неравенств. Но помните, что на ЕГЭ профильного уровня решение заданий второй части должно быть обоснованным, т.е. какое-то пояснение к более короткой записи дать нужно.

Первая система содержит два квадратных неравенства, которые можно решать графически через параболу, как в примерах выше, или методом интервалов, предварительно разложив на множители.

\[ x^2 - 9 < (14-2x)^2;\\ x^2 - 9 < 196 -56x + 4x^2;\\ 3x^2 -56x + 205 > 0;\\ D = 56^2 -4\cdot3\cdot205 = 676;\\ x_1 = \frac{56 - \sqrt{676}}{2\cdot3} = \frac{56-26}{6} = 5 ;\\ x_2 = \frac{56 + \sqrt{676}}{2\cdot3} = \frac{56+26}{6} = \frac{82}{6} = \frac{41}{3} = 13\frac{2}{3}. \] \[ \begin{cases} {(x-3)(x+3) \ge 0;} \\ {-2x \ge -14 \Rightarrow\ x \le 7;}\\ {3\left(x-13\dfrac{2}{3}\right)(x-5) > 0} \end{cases} \]

Ответ: x ∈ (−∞; −3] ∪ [3;5).

Показать решение.

Пример 4

Решить неравенство:

(8x2 − 6x + 1) √−25x2 + 15x − 2 _____________ ≥ 0.

Показать ответ.

Решение.

Левая часть неравенства представляет собой произведение двух сомножителей. Один из них (квадратный корень) не может быть отрицательным, поэтому не влияет на знак результата. Таким образом, неравенство выполняется на ОДЗ тогда, когда первый сомножитель неотрицателен. ОДЗ, в свою очередь, определяется подкоренным выражением.
Поскольку неравенство нестрогое, оно может быть верным и тогда, когда под знаком радикала получается 0. Это будет учтено "автоматически", потому что ОДЗ квадратного корня по определению тоже задаётся нестрогим неравенством.
Итак, два условия – неорицательность первого сомножителя и неотрицательность подкоренного выражения – должны выполняться одноврнменно. Это система \[ \begin{cases} {8x^2-6x+1 \ge 0;} \\ {-25x^2+15x-2 \ge 0.} \hfill \end{cases} \] Разложим трёхчлены на множители, чтобы к каждому неравенству (отдельно!) применить метод интервалов. Для этого решим квадратные уравнения. \[ 8x^2-6x+1 = 0 \\ D = 36 -4\cdot8\cdot1 =4\\ x_1 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2\cdot8} = \frac{1}{4} = 0,25 ;\\ x_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2\cdot8} = \frac{1}{2} = 0,5.\] \[ 8x^2-6x+1 = 8(x-0,25)(x-0,5). \] \[ -25x^2+15x-2 = 0 \\ D = 15^2 -4\cdot(-25)\cdot(-2) =25\\ x_1 = \frac{15 - \sqrt{25}}{2\cdot(-25)} = -\frac{1}{5} = -0,2 ;\\ x_2 = \frac{15 + \sqrt{25}}{2\cdot(-25)} = -\frac{2}{5} = -0,4. \] \[ -25x^2+15x-2 = -25(x+0,2)(x+0,4). \] Наша система приобрела вид: \[ \begin{cases} {8(x-0,25)(x-0,5) \ge 0;} \\ {-25(x+0,2)(x+0,4) \ge 0.} \hfill \end{cases} \] Оба решения методом интервалов изобразим на одной оси (для каждого неравенства своим цветом). Заштриховав положительные интервалы линиями с разным наклоном, сразу видим пересечение множеств на отрезке [−0,4; −0,2]. Это ответ.

Замечание 1. Квадратные неравенства можно было решить и через параболу. Вычисления те же.

Замечание 2. Еcли рисунки выполняются в одном цвете, или неравенства решаются через параболу, то продублируйте числовую ось, чтобы лучше видеть пересечение множеств.

Ответ: x ∈ [−0,4; −0,2].

Показать решение.

Продолжение темы решение иррациональных неравенств смотрите на странице Решение через уравнение.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

   Перейти на главную страницу сайта.