Задание 15: решение иррациональных неравенств. Продолжение.

1. Классический способ решения.
2. Решение через уравнение.
3. О методе рационализации.

Решение через уравнение.

И, наконец, рассмотрим действительно непростое неравенство достойное второй части ЕГЭ по математике профильного уровня. Это смешанное неравенство – дробно-иррациональное.

Решение.

Перенесём все члены неравенства в одну часть, чтобы сравнивать с нулём. Это всегда проще. Приведём к общему знаменателю, чтобы была одна дробь.

\[ \frac{\sqrt{x^2+x-6}+3x+13}{x+5}-1>0;\\ \frac{\sqrt{x^2+x-6}+3x+13 -x-5}{x+5}>0;\\ \frac{\sqrt{x^2+x-6}+2x+8}{x+5}>0. \]

В смешанных задачах первым делом пытаемся разложить выражение на простые множители. Если удастся разложить на линейные множители весь числитель и весь знаменатель, значит нам крупно повезло. Можно будет применить метод интервалов. Конечно, с учётом ОДЗ.

Корни уравнения \(x^2+x-6 = 0\) легко находятся по теореме Виета: \(x_1 = -3;\;x_2 = 2\), поэтому быстро получаем \[\frac{\sqrt{(x+3)(x-2)}+2(x+4)}{x+5}>0.\] Но это пока всё, чего нам удалось достичь.

Пробуем применить классический подход, а именно рассмотреть все возможные случаи знаков числителя и знаменателя дроби и составить соответствующую совокупность систем неравенств. Что для этого нужно учесть?
Проанализируем выражение.

1. Прежде всего отметим, что оно имеет ограниченную область допустимых значений переменной – подкоренное выражение должно быть неотрицательным (≥0), и знаменатель должен быть ненулевым.
2. Дробь будет положительной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, т.е. одновременно оба больше нуля или одновременно оба меньше нуля.
3. Знак знаменателя определить легко, т.к. это простое линейное выражение.
4. Чтобы проанализировать числитель, вспомним, что квадратный корень при извлечении всегда неотрицателен (≥0). Поэтому первое слагаемое \(\sqrt{x^2+x-6}\) всегда неотрицательно на своей области допустимых значений. Если второе слагаемое будет также неотрицательным, то числитель имеет знак "+".
5. Если второе слагаемое в числителе будет отрицательным, то он может иметь разные знаки в зависимости от значений переменной. В таком случае придётся решить это иррациональное неравенство методом возведения обеих частей в квадрат.

Получилась довольно увесистое рассуждение. Если его формализовать, то оно содержит систему, объединяющую ОДЗ с решением неравенства, которое, в свою очередь, содержит совокупность двух систем, определяющих знак дробного выражения. В каждой из этих систем неравенство, содержащее квадратный корень, также распадается на совокупности систем, как в примере 1. Словом, даже выписывать формулу для этого "Змея Горыныча" страшно, а значит и не нужно. Есть два варианта, как этого избежать.

1) Рассматривать отдельные случаи и решать по действиям. Главное, в конце внимательно и аккуратно объединить в ответ полученные множества.
2) Сначала решить соответствующее уравнение на ОДЗ исходного неравества. А затем проверить знаки во всех промежутках, на которые разделена числовая ось граничными точками ОДЗ и корнями уравнения.

Через уравнение хорошо решать те неравенства, в которых некоторое выражение сравнивается с нулём. Ведь 0 является границей между положительными и отрицательными числами, а значит достаточно будет проверить только знаки выражения справа и слева от корня уравнения, не углубляясь в более точные вычисления числовых значений. Но не забудьте, уравнение решается на ОДЗ того неравенства, которое задано в условии задачи.

Итак, ОДЗ: \( \begin{cases} {(x+3)(x-2) \ge 0;} \\ {x+5 \ne 0;} \hfill \end{cases} \) выполняется при \( x \in (-\infty; -5)\cup (-5;-3]\cup[2;\infty).\)

Теперь решаем уравнение: \[\frac{\sqrt{x^2+x-6}+2x+8}{x+5}=0.\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Последнее уже учтено в ОДЗ, поэтому достаточно найти корни уравнения \[ \sqrt{x^2+x-6}+2x+8 = 0.\] Преобразуем его \[ \sqrt{x^2+x-6} = -2x-8;\\ x^2+x-6 = (-2x-8)^2; \\ x^2+x-6 = 4x^2+32x+64; \\ -3x^2-31x-70 = 0. \]

Обратите внимание, это важно, в процессе преобразований у нас была ситуация, когда неотрицательный по определению квадратный корень равнялся выражению с неизвестным, точнее зависящим от x, знаком. Тем не менее, обе части выражения мы возвели в квадрат. Это может привести к наличию лишних (ложных) корней уравнения.
Можно сразу заметить, что настоящие корни уравнения должны удовлетворять условию \(-2x-8 \ge 0 \Leftrightarrow x \le -4,\) а можно, решив уравнение до конца, просто сделать проверку. Благо, у квадратного уравнения, к которому всё свелось, может быть не больше двух корней.

Решаем уравнение через дискриминант (проделайте это самостоятельно), получаем значения \(x_1 = -7; \; x_2 = -\dfrac{10}{3} \approx -3,33\). Значение −3,33 больше, чем −4, т.е. второй корень оказался ложным. Но всё равно сделаем проверку обоих корней, чтобы увидеть причину его появления.

Проверка \(x = -7\):

\[\sqrt{x^2+x-6} = -2x-8;\\ \sqrt{(-7)^2-7-6} = -2\cdot(-7)-8;\\ \sqrt{36} = 6.\\ \]

Проверка \(x = -\dfrac{10}{3}\):

\[ \sqrt{x^2+x-6} = -2x-8;\\ \sqrt{\frac{100}{9}-\frac{10}{3}-6} = -2\cdot(-\frac{10}{3})-8;\\ \sqrt{\frac{16}{9}} \ne -\frac{4}{3};\;\;\; \left( \sqrt{\frac{16}{9}} = +\frac{4}{3} \right). \] Точку, соответствующую реальному корню \(x_1 = -7\), отмечаем на нашем рисунке.

Это выколотая точка множества, так как неравенство в условии задачи строгое, поэтому значения переменной, при которых выполняется равенство, не должны входить в ответ. Отмечаем незаполненным кружочком.

По рисунку видно, что ОДЗ неравенства разбита точками на 4 участка: \( (-\infty;-7), (-7;-5), (-5;-3] \text{ и } [2;\infty)\). Нужно определить на каждом из них знак правой части неравенства, т.е. выражения \[\frac{\sqrt{x^2+x-6}+2x+8}{x+5}.\] Возьмём из каждого промежутка какое-нибудь число и проведём вычисления. Можно примерно, ведь нас интересует только знак.

• Пусть \(x = -8\), тогда \(\dfrac{\sqrt{64-8-6}-16+8}{-8+5}\approx 0,3 > 0.\)
• Пусть \(x = -6\), тогда \(\dfrac{\sqrt{36-6-6}-12+8}{-6+5}\approx - 0,9 < 0.\)
• Пусть \(x = -4\), тогда \(\dfrac{\sqrt{16-4-6}-8+8}{-4+5}\approx 2,4 > 0.\)
• Пусть \(x = 3\), тогда \(\dfrac{\sqrt{9+3-6}+6+8}{3+5} > 0,\) т.к. все числа положительны. Можно не вычислять.

Расставим знаки на числовой оси.

Неравенство, заданное у условии залачи верно там, где преобразованное выражение положительно, т.е. на промежутках, отмеченных на числовой оси знаком "+".

Ответ: x ∈ (−∞;−7) ∪ (−5; −3] ∪ [2; +∞).

На первый взгляд, решение через уравнение выглядит легче, чем классическое. Однако оно тоже требует предельного внимания к определению и свойствам корней чётной степени. Кроме того, частая ошибка для строгих неравенств - включение в ответ корней уравнения. Ниже для сравнения представлено

решение этого же неравенства по действиям.

Прежде, чем разбирать его, вернитесь немного назад и снова прочитайте 5 пунктов анализа выражения, характерного для классического подхода.

Как и выше определяем и прорисовываем ОДЗ.

Затем рассматриваем и прорисовываем отдельно каждый выявленный случай. В конце обобщаем результат.

Случай I: \(x+5>0.\)
В этом случае и числитель должен быть положительным, т.е. нужно решить неравенство \(\sqrt{x^2+x-6}+2x+8>0.\)
Ia: \(2x+8\ge0; \;\; x \ge -4.\)
Неравенство выполняется.
Ib: \(2x+8<0.\)
Неравенство решаем.
\[\sqrt{x^2+x-6}+2x+8>0;\\ \sqrt{x^2+x-6}> -2x-8; \] Если \(2x+8<0.\) то \(-2x-8>0,\) и обе части неравенства можно возвести в квадрат без нарушения знаков. \[x^2+x-6> (-2x-8)^2; \\ x^2+x-6 > 4x^2+32x+64; \\ -3x^2-31x-70>0;\\ \] Получилось обычное квадратное неравенство. Такие неоднократно решались выше. Корни квадратного трёхчлена мы тоже уже вычисляли. Вывод: неравенство выполняется на промежутке \(x\in (-7;-\dfrac{10}{3}).\) Прорисуем случай I на числовой оси.

В этой части решения в ответ берём те интервалы, которые удовлетворяют условию \(x >-5\) (на рисунке они находятся под полудугой). При этом для случая Ia включается весь заштрихованный промежуток, а для случая Ib пересечение двух заштрихованных промежутков, что соответствует одновременному выполнентю двух условий, т.е. фактически решению системы неравенств.

Итого претендуют на включение в ответ следующие значения переменной \(x\in (-5;-4)\cup[-4;\infty).\) Поскольку число −4 входит в объединение промежутков, то это объединение множеств можно записать как один интервал \(x\in (-5;\infty).\)

Случай II: \(x+5<0.\)
В этом случае и числитель должен быть отрицательными, т.е. нужно решить неравенство \(\sqrt{x^2+x-6} +2x+8 < 0.\)
Снова рассмотрим лва варианта.
IIa: \(2x+8\ge0; \;\; x \ge -4.\)
Сумма двух положительных чисел не может быть отрицательной. Неравенство не выполняется: \(x\in \emptyset.\)
IIb: \(2x+8<0.\)
Неравенство нужно решать. Но можно заметить, что все преобразования будут такими же, как и в пункте Ib, только нам нужно взять прямо противоположный результат: \(x\in (-\infty;-7)\cup(-\dfrac{10}{3};\infty).\) Прорисуем случай II на числовой оси.

Как видно из рисунка, всем условиям этого случая удовлетворяет только интервал от минус бесконечности до минус семи, в котором одновременно выполняются три требования. Поэтому интервал \((-\infty;-7)\) объединяем с предыдущей частью ответа.

Итак, пока ответ дробного неравенства выглядит так:\(x\in (-\infty;-7)\cup(-5;\infty).\) Однако это только пока, потому что, определив ОДЗ, мы временно о нем забыли. Но неравенство может быть верным или неверным только на ОДЗ. Больше того, можно сказать, что условие любой алгебраической задачи может существовать только на ОДЗ всех выражений, упомянутых в нём. Завершим решение нашей задачи определением пересечения множеств из нашего промежуточного ответа с ОДЗ заданного выражения.

Глядя на рисунок, формулируем окончательный ответ: \(x\in (-\infty;-7)\cup(-5;-3]\cup[2;+\infty).\)

Замечание: На всякий случай проверяйте, не попали ли в эти промежутки значения переменной, при которых числитель равен нулю. Их не должно быть в ответе, так как неравенство у нас строгое. Но от "пограничных" ошибок никто не застрахован. В этом примере для проверки достаточно вспомнить, как решалось квадратное уравнение.

О методе рационализации.

Метод рационализации для разных типов неравенств подробно будет рассмотрен позже, когда будем изучать логарифмические неравенства. Но сразу оговорюсь – я не считаю этот метод панацеей при решении иррациональных неравенств, несмотря на то, что он набирает всё большую популярность у школьников, готовящихся к экзаменам у репетиторов. В большинстве заданий трудоёмкость подготовительных этапов сопоставима с другими методами, а формальное применение ведёт к многочисленным ошибкам. Кроме того, на ЕГЭ редко встречаются варианты иррациональных неравенств, к которым этот метод применим.

Чтобы понять существо метода рассмотрим один несложный пример.

Для начала повторим алгоритм рационализации.
1. Выписать условия, задающие ОДЗ исходного неравенства.
2. Привести неравенство к стандартному виду.
3. Пользуясь таблицей рационализвции заменить иррациональные выражения на рациональные.
4. Решить полученное неравенство.
5. Записать ответ.

Решение.

1.) Выписываем ОДЗ исходного неравенства: \[ \begin{cases} {x-1 \ge 0;} \\ {x-2 \ge 0;} \\ {\sqrt{x-1} \ne 2.} \end{cases} \] Из первых двух неравенств системы заключаем, что \(x \in [2;\infty)\). Третье условие можем добавить чуть позже: если удастся рационализировать неравенство, то нули знаменателей совпадут, но на 4-ом шаге вычисления могут быть проще. Главное – не забыть.

2.) Преобразуем неравенство к стандартному виду. Это означает, что переносим все выражения в правую часть, чтобы сравнивать с нулём, и, по возможности, преобразуем её так, чтобы разности корней представляли собой изолированные множители.

\[ \frac{3-\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}}{2-\sqrt{x-1}}>1\\ \frac{3-\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2}}{2-\sqrt{x-1}} - 1 >0;\\ \frac{3-\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2} - (2-\sqrt{x-1})}{2-\sqrt{x-1}}>0;\\ \frac{3-\sqrt{x-1}-\sqrt{x-2} - 2+\sqrt{x-1}}{2-\sqrt{x-1}}>0;\\ \frac{1-\sqrt{x-2}}{2-\sqrt{x-1}}>0. \]

Числитель и знаменатель одной дроби вполне подходят под понятие "изолированные множители", но мы пока не видим разности корней. Поэтому положительные числа внесём под квадратный корень: \(1 = \sqrt{1}; \;\; 2 = \sqrt{4}\). Не так просто, а точнее, совсем не просто было бы, если бы вместо числовых слагаемых оказались выражения, зависящие от \(x\). Но пока нам везёт, получили

\[\frac{\sqrt{1}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{4}-\sqrt{x-1}}>0.\] 3.) На мой взгляд, самое нехорошее место в этом алгоритме – рекомендация использовать таблицу рационализации. Во-первых, на экзамене её с вами не будет, а значит придётся что-то лишнее учить наизусть, а во-вторых, без понимания того, как возникли её строки, велик риск ошибок. На этом этапе лучше пользоваться понятием монотонности функций, к которым применяется рационализация. Но об этом в следуюшей статье.

Для перехода от иррациональных выражений к рациональным в таблице находим такую строку

Исходное выражение	Рационализирующее выражение
\(\sqrt[n]{f(x)} - \sqrt[n]{g(x)}\)	\(f(x) - g(x)\)

То есть просто заменяем разность корней на разность подкоренных выражений? В том-то и дело, что не просто, а только тогда, когда неравенство приведено к стандартному виду. А это означает, что оно содержит иррациональные выражения в такой форме, что нас интересует исключительно знак разности корней, но не интересует её значение. Следовательно, для гарантированно верного решения нам всё равно нужно в процессе преобразований на 2-ом шаге проводить анализ выражения, аналогичный тому, который выполняется при классическом решении. Метод рационализации, если он применим, даёт возможность упростить решение неравенства только на последнем этапе, как правило, за счёт применения метода интервалов ко всему преобразованному выражению в целом, а не к отдельным неравенствам, как у нас втречалось раньше.

Итак, заменяем \(\sqrt{1}-\sqrt{x-2}\) на \(1-(x-2)\) и \(\sqrt{4}-\sqrt{x-1}\) на \(4-(x-1)\).

4). Продолжаем решать неравенство как рациональное \[\frac{1-(x-2)}{4-(x-1)}>0;\\ \frac{3-x}{5-x}>0.\] Теперь к нему можно применить метод интервалов. На числовой оси точки \(x = 3\) и \(x = 5\) обозначим, как выколотые. Первую потому, что неравенство строгое, вторую потому, что в ней знаменатель обращается в ноль.
(Если выше не было ошибок преобразования, то это же значение переменной должно было получиться из третьего условия ОДЗ. Действительно, \(\sqrt{5-1} = 2\), поэтому точку 5 нужно исключить из ОДЗ).

Прорисовываем на одной числовой оси ОДЗ исходного неравенства и решение рационального неравенства методом интервалов. Знаки дроби на интервалах определяем проверкой. Вне ОДЗ, т.е. при \(x < 2\) они нас не интересуют.

5.) Ответ: x ∈ [2;3) ∪ (5;∞).

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.