Решение показательных неравенств.

Рассматриваются типовые показательные неравенства и неравенства, соответствующие заданию 14 профильного уровня ЕГЭ по математике. Все неравенства даны с решениями и комментариями, поэтому будут полезны и при текущем изучении или повторении этой темы.

Основные положения и примеры решения простейших показательных неравенств.

Показательные неравенства содержат переменную в показателе степени. В случае, если вам встретилось неравенство, в котором переменная не только в показателе, но и в основании степени, попробуйте применить метод рационализации, о котором несколько слов в конце статьи. Если же неизвестная величина только в основании степени, а показатели фиксированы, то это неравенство относится к рациональным и содержит не показательные, а степенные функции.

Чтобы решать показательные неравенства нужно вспомнить, что мы знаем о показательной функции.

Область определения показательной функции D = R, то есть всё множество действительных чисел. Иначе записывают \(x\in(-\infty; +\infty)\). Область значений функции \(E = (0; +\infty)\), т.е. результат может принимать только положительные значения.
Функция монотонна: одному значению аргумента соответствует только одно значение функции.

Поэтому для решения простейших показательных неравенств достаточно свести обе части неравенства к степени с одинаковым основанием (выравнять основания) и затем сравнить показатели степени. Т.е. как бы сравнивать функцию с самой собой при разных значениях её аргумента. При этом, если основание степени больше единицы, то знак неравенства для показателей будет таким же, как знак исходного неравенства, что характерно для возрастающих функций – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Если основание степени меньше единицы, то знак неравенства для показателей будет обратным по отношению к знаку исходного неравенства, что характерно для убывающих функций – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Решение.

Представим одну девятую как одну третью в квадрате, тогда \[\left(\frac{1}{3}\right)^{x-8} > \left(\frac{1}{3}\right)^2\] Основанием степени в обеих частях неравенства является \(\dfrac{1}{3}\). Одна третья меньше единицы, показательная функция является убывающей, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно при переходе к сравнению показателей знак неравенства развернётся. Получим \[x-8 < 2 \\ x < 10\] Ответ: \(x \in (-\infty;\;10). \)

Решение.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степени с действительным показателем. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. \[3^{2x-4+3-x} \ge 1.\] А единицу в правой части представим как 3 в нулевой степени, поскольку любое число в нулевой степени равно 1. \[3^{x-1} \ge 3^0.\] Основанием степени в обеих частях неравенства является 3. Три больше одного, показательная функция является возрастающей, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняет своё направление. Следовательно \[x-1 \ge 0 \\ x \ge 1\] Ответ: \(x \in [1; +\infty). \)

Замечание. Обратите внимание на статью Важная единица. Единица, действительно, важна при преобразованиях, так как может быть представлена в других формах.

Решение.

На первый взгляд числа 3 и 5 таковы, что выражения не могут быть сведены к одному основанию в какой-либо степени. На этот случай у нас определена обратная к показательной логарифмическая функция. Мы говорим, что обе части неравенства нужно прологарифмировать по одному основанию. Однако, на мой взгляд, именно для решения неравенств лучше всего использовать следующее свойство логарифма, вытекающее из его определения \(b = a^{\log_ab}\). Здесь основания степени и логарифма совпадают, поэтому при вычислении логарифма как бы "сокращаются", значит "восстановить" можно любые допустимые значения, нужные для решения конкретного неравенства. Этим приёмом мы и будем пользоваться в дальнейшем, чтобы разбираться со знаком неравенства по той же схеме, что и в предыдущих двух примерах.

Итак, представим правую часть неравенства следующим образом \(5 = 3^{\log_35},\) тогда \[ 3^{x+5} > 3^{\log_35} \\ x+5 > \log_3{5} \\ x > -5 + \log_3{5}.\] Можно вычислить примерное значение \(-5 + \log_3{5}\) с помощью калькулятора, оно составляет ≈ −3,535. Но точный ответ неравенства, если он получается с иррациональными числами, так и записывают через логарифм.

Ответ: \(x \in [-5 + \log_3{5};\; +\infty). \)

Итак, при решении простейших неравенств следует выравнять основания степеней, а затем их отбросить и перейти к сравнению показателей. При этом очень важно следить за отношением основания степени к единице. Если \(a > 1\) при переходе к сранению показателей знак неравенства сохраняется, если \(a < 1 - \) меняется на противоположный. Если вдруг окажется, что \(a < 0\), то вы уже сделали ошибку, т.к. такая "показательная функция" не определена. Если \(a = 1\), то это тоже не показательная функция, однако для нестрогих неравенств возможно выполнение равенства, так как единица в любой степени равна 1.

Методы решения показательных неравенств

Принцип решения других типов показательных неравенств состоит в том, что тем или иным образом их нужно свести к системам и/или совокупностям простейших. Чаще всего это делается путём преобразований с использованием свойств степени с действительным показателем, введением вспомогательной переменной, разложением выражений на множители или комбинацией всех этих методов. При подготовке к экзамену не забудьте повторить свойства степеней.

Решение.

Вариант I.

Заметим, что 0,2 = \(\dfrac{1}{5}\) и уравняем основания левой и правой части. \[\left(\frac{1}{5}\right)^{x^2 - 8x} < 5^7;\\5^{-(x^2 - 8x)} < 5^7.\] Так как показательная функция с основанием 5 возрастающая, то последнее неравенство равносильно следующему \[-(x^2 - 8x) < 7.\] Это обычное квадратное неравенство. Преобразуем его к трёхчлену и решаем методом интервалов или через график параболы. (Кто забыл – смотрите здесь. ) \[-x^2 + 8x < 7;\\-x^2 + 8x - 7 < 0.\] Корни приведенного квадратного уравнения \(x^2 - 8x + 7 = 0\) найдём по теореме Виета: \(x_1 = 1; \; x_2 = 7.\) У параболы, заданной квадратным трёхчленом \(-x^2 + 8x - 7\), ветви направлены вниз, следовательно ниже оси абсцисс она будет расположена на интервалах \((-\infty;1)\) и \((7; +\infty;)\).

Вариант II.

Можно было уравнять основания иначе, если заметить, что 5 = \(\dfrac{10}{2} = 1:\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{0,2}\). Тогда решение неравенства выглядело бы так: \[0,2^{x^2 - 8x} < \left(\frac{1}{0,2}\right)^7;\\0,2^{x^2 - 8x} < 0,2^{-7}.\] Так как показательная функция с основанием 0,2 убывающая, то при переходе к сравнению показателей степени знак неравенства изменится на противоположный. \[x^2 - 8x > -7; \\x^2 - 8x + 7 > 0.\] Корни квадратного трёхчлена те же, ветви параболы направлены вверх, но так как теперь требуется, чтобы они находились выше оси абсцисс, то интервалы выполнения неравенства будут теми же: \((-\infty;1)\) и \((7; +\infty;)\).

Ответ: x ∈ (−∞;1) ∪ (7;+∞).

Введение вспомогательной переменной

Решение.

Преобразуем левую часть, используя свойства степеней. \[3^4\cdot3^{-3x} - 35\cdot\frac{1^{2 - 3x}}{3^{2 - 3x}} + 6 \ge 0; \\ \frac{3^4}{3^{3x}} - 35\cdot\frac{1}{3^2\cdot3^{- 3x}} + 6 \ge 0; \\ \frac{3^4}{3^{3x}} - 35\cdot\frac{3^{3x}}{3^2} + 6 \ge 0. \]

В последнем неравенстве неизвестная величина встречается дважды и только в показателе степени тройки, причем оба раза в одинаковой форме, поэтому можно продолжить решение методом введения вспомогательной переменной.

Пусть \(y = 3^{3x}\). Причём по определению показательной функции мы должны рассматривать только положительные значения y. Тогда неравенство принимает вид \[\frac{3^4}{y} - 35\cdot\frac{y}{3^2} + 6 \ge 0. \] Известные степени тройки вычислим и всё выражение приведём к общему знаменателю. \[\frac{81}{y} - 35\cdot\frac{y}{9} + 6 \ge 0; \\ \frac{81\cdot9 - 35\cdot y^2 + 6\cdot9\cdot y }{9y} \ge 0;\\ \frac{729 - 35y^2 + 54y}{9y} \ge 0. \] Учитывая, что знаменатель этой дроби может быть лишь положительным, так как \(y > 0\), то остаётся решить квадратное неравенство \[729 - 35y^2 + 54y \ge 0.\] Проделайте это самостоятельно. Должен получиться следующий результат \[-\frac{27}{7} \le y \le \frac{27}{5}.\] Из этого ответа берём только положительную часть \(0 < y \le \dfrac{27}{5}\) и возвращаемся к переменной \(x\) \[0 < 3^{3x} \le \dfrac{27}{5}.\] Первая часть этого двойного неравенства выполняется по определению при любых х. Чтобы разобраться со второй частью, уравняем основания, воспользовавшись определением логарифма. \[3^{3x} \le 3^{\log_3\frac{27}{5}}\] Отбрасывая основания с сохранением знака неравенства (т.к. 3 > 1), окончательно получаем \[3x \le \log_3{\frac{27}{5}} \\ x \le \frac{1}{3}\log_3\frac{27}{5}. \]

Ответ: \(x \in (-\infty; \;\dfrac{1}{3}\log_3\dfrac{27}{5}) \).

Замечание: При желании этот ответ можно преобразовать, используя формулу для логарифма дроби. \[\frac{1}{3}\log_3\frac{27}{5} = \frac{1}{3}(\log_327 - \log_35) = \frac{1}{3}(3 - \log_35) = 1 - \frac{1}{3}\log_35. \]

Разложение на множители

Решение.

Здесь в правой и левой частях неравенства разные основания и привести выражение к одному основанию, пользуясь только свойствами степени не получится, потому что свойства относятся к операциям умножения, деления и возведения в степень, а мы имеем с обеих сторон суммы показательных функций. В этом случае надо стараться разложить выражения на множители. Здесь это можно будет сделать вынесением общего множителя за скобки, а вообще для решения подобных неравенств очень рекомендую повторить различные способы разложения на множители, особенно формулы сокращенного умножения. \[ 3^{x} + 3^{x+1} + 3^{x+2} \le 2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2}; \\ 3^{x} + 3^{x}\cdot3^1 + 3^{x}\cdot3^2 \le 2^x + 2^{x}\cdot2^{-1} + 2^{x}\cdot2^{-2}; \\ 3^{x} + 3^{x}\cdot3 + 3^{x}\cdot9 \le 2^x + 2^{x}\cdot\frac{1}{2} + 2^{x}\cdot\frac{1}{4}; \\ 3^{x}(1 + 3 + 9) \le 2^x(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}); \\ 3^{x}\cdot13 \le 2^x\cdot\frac{7}{4}.\] Чтобы все величины, содержащие переменную х, оказались в левой части неравенства, а все числа – в правой, разделим обе его части на \(2^x\cdot13\) и проведём необходимые сокращения дробей. Это не приведёт к изменению знака неравенства, так как нам заведомо известно, что делим на положительное выражение. \[\frac{3^x\cdot13}{2^x\cdot13}\le\frac{2^x\cdot7}{4\cdot2^x\cdot13};\\ \frac{3^x}{2^x} \le \frac{7}{4\cdot13};\\ \left(\frac{3}{2}\right)^x \le \frac{7}{52}.\] Пользуясь определением логарифма выравниваем основания \[\left(\frac{3}{2}\right)^x \le \left(\frac{3}{2}\right)^ {\log_{\frac{3}{2}}{\frac{7}{52}}}.\] Учитывая, что \(\dfrac{3}{2} > 1\), получим \[x \le \log_{\frac{3}{2}}{\frac{7}{52}}.\]

Ответ: \(x \in \left(-\infty; \; \log_{\frac{3}{2}}{\dfrac{7}{52}}\right] \).

О методе рационализации.

Метод рационализации для показательных неравенств сводится к следующему:

неравенство вида \[(h(x))^{\large{f(x)}}\geqslant (h(x))^{\large{g(x)}}\] равносильно системе \[\begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] h(x)>0 \end{cases}\] Например, чтобы получить решение показательного неравенства \(3^{x-1} < 3^{2x}\), достаточно решить следующую систему рациональных неравенств \[\begin{cases} (3-1)((x-1)-(2x))< 0\\[1ex] 3>0 \end{cases}\]

Очевидно, что в случае числового основания степени это решение не является более простым и более понятным, чем решение предыдущих примеров. Метод рационализации существенно сокращает объём рассуждений и выкладок, когда в основании степени также как и в её показателе находятся неизвестные переменные величины. И хотя такие неравенства относятся к более сложным типам, чем те, которые бывают на ЕГЭ даже профильного уровня, рассмотрим пример.

Решение.

Обратите внимание – для решения показательных неравенств методом рационализации тоже нужно выравнивать основания степеней или, как в этом примере, иметь их одинаковыми по условию задачи.

Заменяем неравенство на равносильную систему \[\begin{cases} \left(\dfrac{x}{x^2-1}-1\right)\Large(\normalsize(x-1)-(2x)\Large)\normalsize\le 0;\\[1ex] \dfrac{x}{x^2-1}>0 \end{cases}\] Далее решаем каждое неравенство системы методом интервалов.

Первое неравенство

\[\left(\frac{x}{x^2-1}-1\right)\Large(\normalsize(x-1)-(2x)\Large)\normalsize\le 0;\\ \left(\frac{x - x^2+1}{x^2-1}\right)(x-1-2x)\le 0;\\ \left(\frac{- x^2+x+1}{(x-1)(x+1)}\right)(-x-1)\le 0;\\ \frac{(x^2-x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}\le 0.\] Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители нужно решить уравнение \(x^2-x-1=0\).
Решив, получим корни \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0,62\) и \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,62\).

Окончательно имеем

\[\frac{(x - \frac{1-\sqrt{5}}{2})(x - \frac{1+\sqrt{5}}{2})(x+1)}{(x-1)(x+1)}\le 0.\]

Обратите внимание – дробь с неизвестными в знаменателе можно сокращать только после того, как записали ОДЗ. Мы ОДЗ не записывали, поэтому сокращать не будем. Тот факт, что на 0 делить нельзя, отметим непосредственно на числовой оси.

\(x \in (-\infty; -1)\cup (-1;\frac{1-\sqrt{5}}{2}]\cup (1;\frac{1+\sqrt{5}}{2}] \)

Второе неравенство. \[\frac{x}{x^2-1}>0;\\ \frac{x}{(x-1)(x+1)}>0.\]

\(x \in (-1;0)\cup (1;+\infty;)\)

Общее решение системы

\(x \in (-1;\frac{1-\sqrt{5}}{2}]\cup (1;\frac{1+\sqrt{5}}{2}] \)

Ответ: \(x \in (-1;\frac{1-\sqrt{5}}{2}]\cup (1;\frac{1+\sqrt{5}}{2}] \).

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Чтобы продолжить решение показательных неравенств, перейдите по ссылкам
Примеры неравенств из банка заданий ЕГЭ
Задачи для самостоятельного решения