логотип Математички: Е в степени Пи

Решение показательных неравенств. Продолжение.

Рассматриваются показательные неравенства, соответствующие заданию 15 профильного уровня ЕГЭ по математике. Типовые показательные неравенства и основные методы их решения рассмотрены в предыдущей статье. Если Вы попали на эту страницу, миновав первую часть, вернитесь к ней по крвсным ссылкам в оглавлении.

Если возникают вопросы - обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

отправить письмо математичке

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

Примеры неравенств из банка заданий ЕГЭ

Пример 1

Решить неравенство: \[\frac{1}{5^x+31} \le \frac{4}{5^{x+1}-1}.\]

Решение.

Преобразуем выражения \[\frac{1}{5^x+31} \le \frac{4}{5^x\cdot5^1-1}.\] Вводим вспомогательную переменную \(y=5^x>0\) \[\frac{1}{y+31} \le \frac{4}{5y-1}.\] Получили дробно-рациональное неравенство. Переносим всё в левую часть и приводим дроби к общему знаменателю \[\frac{1\cdot(5y-1)-4\cdot(y+31)}{(y+31)\cdot (5y-1)} \le 0;\\ \frac{y-125}{(y+31)(5y-1)} \le 0.\] Решаем методом интервалов. Учитывая, что переменная, относительно которой решаем неравенство, в нашей задаче может принимать только положительные значения \((y>0),\) будем чертить не всю числовую ось, а только её положительную часть – луч \(y \in (0;\;+\infty)\).

Получили, что неравенство относительно y выполняется на интервале \((\dfrac{1}{5};125]\). Но лучше записать этот вывод в виде двойного неравенства, от которого перейти к простейшему показательному. \[\frac{1}{5} < y \le 125;\\ 5^{-1} < 5^x \le 5^3;\\ -1 < x \le 3.\]

Ответ: \(x \in (-1;3] \).

Пример 2

Решить неравенство: \[\frac{6^x-4\cdot3^x}{x\cdot2^x-5\cdot2^x -4x+20} \le \frac{1}{x-5}\]

Решение.

Заметим, что \(6^x=2^x\cdot3^x\). Тогда исходное неравенство принимает вид \[\frac{2^x\cdot3^x-4\cdot3^x}{x\cdot2^x-5\cdot2^x -4x+20} \le \frac{1}{x-5}\] Преобразуем левую часть. Группируем и раскладываем на множители, вынося общий множитель за скобки. \[\frac{3^x\cdot(2^x-4)}{2^x\cdot(x-5) - 4\cdot(x-5)} \le \frac{1}{x-5}\\ \frac{3^x\cdot(2^x-4)}{(2^x-4)\cdot(x - 5)} \le \frac{1}{x-5}\] Можно ли сократить дробь? На знак неравенства сокращение не повлияет, так как обе скобки имеют одинаковые знаки. На величину выражения не повлияет. НО! до сих пор у нас были равносильные преобразования, а если мы сократим дробь, то изменится область допустимых значений выражения, а ведь ОДЗ у нас еще не записано. Поэтому сначала зафиксируем, что \(2^x-4 \ne 0\) и \(x-5\ne 0\), т.е. \(х \ne 2\) и \(x\ne 5\). А потом сократим дробь в левой части неравенства. Получим \[\frac{3^x}{x - 5} \le \frac{1}{x-5}\] Теперь мы можем рассуждать о соотношении дробей с одинаковыми знаменателями, но лучше преобразовать всё к одной дроби и применить метод интервалов \[\frac{3^x}{x - 5} - \frac{1}{x-5}\le 0 \\ \frac{3^x -1}{x - 5}\le 0 \\ \frac{3^x -3^0}{x - 5} \le 0 \] Числитель последней дроби обращается в 0 при \(x = 0\), а знаменатель при \(x = 5\). Отмечаем эти точки на числовой оси и проверяем знаки на интервалах. Учитывая монотонность показательной функции и то, что 3 > 1 можем утверждать, что знак разности \(3^x -3^0\) будет таким же, как знак разности \(x-0\), что облегчает вычислительную часть проверки.
Также не забываем, что у нас ограничена ОДЗ исходного неравенства. На этой же числовой оси выкалываем точки 2 и 5.

Ответ: \(x \in [0;2)\cup (2;5) \).

Задачи для самостоятельного решения

Эти задачи также даны с ответом и полным решением, которое временно скрыто. Сначала попробуйте решить неравенство самостоятельно, а затем пользуйтесь кнопками, чтобы сравнить ответ и посмотреть моё решение. Последнее не обязательно должно полностью совпадать с вашим, бывают разные способы преобразований.

Пример 3

Решить неравенство: \[0,5^{x-3} > \frac{1}{5^{3-x}}.\]

Решение.

Не позволяйте зрительному образу запутать вас: 5 и 0,5 это разные числа. \(0,5 = \frac{1}{2}\). Одинаковых оснований нет. Пробуем преобразовать одну из частей неравенства, например, правую часть.

\[0,5^{x-3} > (5^{-1})^{3-x};\\ 0,5^{x-3} > 5^{x-3}.\] Замечаем одинаковые показатели степени. Делим обе части неравенства на \(5^{x-3}\), это можно сделать, зная заведомо, что выражение не может быть отрицательным, поэтому деление не повлияет на знак неравенства. \[\frac{0,5^{x-3}}{5^{x-3}}>1\\ \left(\frac{0,5}{5}\right)^{x-3}>1\\ 0,1^{x-3}>1\\0,1^{x-3}>0,1^0\\x-3>0\\x>3.\]

Ответ: \(x \in (3;+\infty)\).

Показать ответ    

Пример 4

Решить неравенство: \[\frac{4^x-2^{x+3} + 7}{4^x-5\cdot2^x+4} \le \frac{2^x-9}{2^x-4}+\frac{1}{2^x-6}\]

Решение.

\[\frac{2^{2x}-2^x\cdot2^3+7}{2^{2x}-5\cdot2^x+4} \le \frac{2^x-9}{2^x-4} + \frac{1}{2^x-6}\] Вспомогательная переменная \(y = 2^x > 0\) \[\frac{y^2-8y+7}{y^2-5y+4} \le \frac{y-9}{y-4} + \frac{1}{y-6}\] Квадратные трёхчлены раскладываеи на множители \[\frac{(y-1)(y-7)}{(y-1)(y-4)} \le \frac{y-9}{y-4} + \frac{1}{y-6}\]

ОДЗ: \( y \ne 1; \; y \ne 4; \; y \ne 6 \)

Так как ОДЗ уже записано, можем сократить дробь на \((y-1)\) \[\frac{y-7}{y-4} \le \frac{y-9}{y-4} + \frac{1}{y-6}\] Переносим все члены неравенства в левую часть, приводим дроби к общему знаменателю \[\frac{(y-6)(y-7)-(y-6)(y-9) - 1\cdot(y-4)}{(y-4)(y-6)} \le 0; \\ \frac{(y-6)(y-7-y+9) - y+4}{(y-4)(y-6)} \le 0; \\ \frac{y-16}{(y-4)(y-6)} \le 0. \] Применяем метод интервалов с учётом \(y>0\) и ОДЗ

Решение неравенства относительно вспомогательной переменной: \(y \in (0;1)\cup(1;4)\cup(6;16]\)

Записываем каждый интервал как двойное неравенство и сводим его к простейшему показательному. \[0\lt y\lt 1; \; 2^x\lt 2^0; \; x\lt 0; \\ 1\lt y\lt 4; \; 2^0\lt 2^x\lt 2^2; \; 0\lt x\lt 2; \\ 6\lt y\lt 16; \; 2^{\log_2{6}}\lt 2^x\le 2^4; \; \log_2{6}\lt x\le 4.\]

Ответ: \(x \in (-\infty; \;0)\cup (0;2)\cup (\log_2{6};\;4] \).

Показать ответ    

Пример 5

Решить неравенство: \[9^{\Large{x+\frac{1}{9}}} -4\cdot3^{\Large{x+\frac{10}{9}}}+ 27 \ge 0.\]

Решение.

\[9^{\Large{x+\frac{1}{9}}} -4\cdot3^{\Large{x+\frac{1}{9}+\frac{9}{9}}} + 27 \ge 0; \\ 3^{\Large{2\left(x+\frac{1}{9}\right)}}-4\cdot3^{\Large{x+\frac{1}{9}}}\cdot3^1 + 27 \ge 0. \] Вспомогательная переменная \( y = 3^{\Large{x+\frac{1}{9}}} > 0\) \[y^2 - 12y + 27 \ge 0. \] Корни квадратного трёхчлена \(y_1 = 3; \; y_2 = 9.\)

Неравенство выполняется для \(y \in (0;3] \cup [9;+\infty)\) \[3^{\Large{x+\frac{1}{9}}} \le 3^1;\\ x+\frac{1}{9} \le 1;\\ x \le \frac{8}{9}. \] \[ 3^{\Large{x+\frac{1}{9}}} \ge 9;\\ 3^{\Large{x+\frac{1}{9}}} \ge 3^2;\\ x+\frac{1}{9} \ge 2;\\ x \ge \frac{17}{9}. \]

Ответ: \(x \in \left(-\infty;\dfrac{8}{9}\right]\cup \left[\dfrac{17}{9};+\infty\right) \).

Показать ответ    

Пример 6

Решить неравенство: \[\frac{16}{(3^{2-\large{x^2}}-1)^2} - \frac{10}{3^{2-\large{x^2}}-1}+1 \ge 0.\]

Решение.

\[ y = 3^{2-\large{x^2}} > 0\] \[\frac{16}{(y-1)^2} - \frac{10}{y-1}+1 \ge 0;\\ \frac{16-10\cdot (y-1) + 1\cdot (y-1)^2}{(y-1)^2} \ge 0.\]

ОДЗ: \(y\ne 1\)

Так как ОДЗ выражения уже записана, а знаменатель дроби не может принимать отрицательные значения, то его можно отбросить и решать неравенство для числителя. (Дробь больше либо равна 0, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, причём числитель может равнятся 0, а знаменатель нет.) \[16-10y+10 + y^2-2y+1 \ge 0;\\ y^2-12y+27 \ge 0.\] \(y_1 = 3; \; y_2 = 9 \)

Неравенство выполняется для \(y \in (0;1)\cup (1;3] \cup [9;+\infty)\). Возвращаемся к заданной неизвестной \(x\) и решаем простейшие показательные неравенства: \[ 3^{2-\large{x^2}} \le 3^1;\\ 2-x^2 \le 1;\;x^2 \ge 1. \] Последнее неравенство равносильно совокупности \(\left[ {\begin{array}{*{20}c} {x \geqslant 1;} \\ {x \leqslant - 1.} \\ \end{array} } \right.\) \[ 3^{2-\large{x^2}} \ge 9;\\ 3^{2-\large{x^2}} \ge 3^2;\\ 2-x^2 \ge 2;\; x^2 \le 0. \] Так как при возведении в квадрат не могут получаться отрицательные значения, то в этом случае возможно только равенство: \(x = 0\). \[3^{2-\large{x^2}} \ne 1;\\ 3^{2-\large{x^2}} \ne 3^0;\\ 2-x^2\ne0;\;x^2\ne2;\;x\ne\pm\sqrt2.\]

Ответ: \(x \in (-\infty;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1]\cup \{0\} \cup[1;\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)\).

Показать ответ    

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

   Перейти на главную страницу сайта.

 

-->