логотип Математички: Е в степени Пи

Решение задачи с параметрами.



Задача 18 Профильного Уровня

основной период 2016 года

Многие ребята в основной период ЕГЭ по математике 2016 года писали, что задания по математике профильного уровня были чрезмерно сложными, и даже создали петицию на сайте OnlinePetition.ru

Ребята, прикол в том, что они были проще многих из тех образцов, по которым вы готовились. Просто непривычнее. Дело в том, что в последнее время на ЕГЭ давались задачи на параметры, которые лучше было решать графическим методом. А 6 июня 2016 года были задачи, в которых достаточно было проанализировать ОДЗ (Область Допустимых Значений) уравнения и его Дискриминант, так как после преобразований уравнение оказывалось квадратным (!).

Давайте рассмотрим решения двух примеров.

Задача 1

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

√15x2 + 6ax + 9____________ = x2 + ax + 3

имеет ровно три различных решения.

Решение.

Не забываем начать решение уравнения с анализа его области определения.
Область определения уравнения (системы уравнений, неравенства, функции) совпадает с Областью Допустимых Значений выражения, если условием задачи никаких специальных ограничений не накладывается. Здесь просто ОДЗ:
1) 15x2 + 6ax + 9 ≥ 0;
2) x2 + ax + 3 ≥ 0.
Оба неравенства должны выполняться одновременно, т.е. фактически это система неравенств.
Первое условие означает, что подкоренное выражение для корней чётной степени обязано быть неотрицательным.
Второе условие связано с определением арифметического корня. Согласно этому определению результат вычисления квадратного корня есть неотрицательное число, поэтому правая часть равенства также должна быть неотрицательной.
Оба неравенства являются квадратными, но решать мы их будем позже. А пока, заручившись неотрицательностью обеих частей равенства, смело возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака радикала.

15x2 + 6ax + 9 = (x2 + ax + 3)2

Сумма трёх членов возводится в квадрат по правилу - все три квадрата и все три удвоенных произведения, т.е.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
Но если вы этого не знаете, не страшно. Скобки-то умеете и ставить, и раскрывать.
(a + (b + c))2 = a2 + 2a(b + c) + (b + c)2 и далее.

Любым способом после возведения в квадрат получим

15x2 + 6ax + 9 = x4 + (ax)2 + 9 + 2x2·ax + 2ax·3 + 6x2

Преобразуем: переносим все слагаемые в правую часть, приводим подобные члены, общий множитель выносим за скобки. Имеем:

x2·(x2 + 2ax + a2 − 9) = 0

Очевидно, что x = 0 будет корнем этого уравнения при любом значении параметра a. Проверим ОДЗ при x = 0.

1) 15·02 + 6a·0 + 9 ≥ 0;    9 ≥ 0;
2) 02 + a·0 + 3 ≥ 0;   3 ≥ 0.

Оба неравенства выполняются также при любом значении параметра a. Значит один корень уже есть и теперь нам осталось найти все значения параметра a, при каждом из которых квадратное уравнение

x2 + 2ax + a2 − 9 = 0

имеет ровно два различных решения, не совпадающих с x = 0 и удовлетворяющих неравенствам 1) и 2), т.е. первоначальному ОДЗ.
Исследуем дискриминант:

D = (2a)2 − 4·1·(a2 − 9) = 36 > 0.

Таким образом, последнее уравнение при любом a имеет два разных корня, которые мы можем найти

x1 = (−2a − 6)/2 = −a − 3;
x2 = (−2a + 6)/2 = −a + 3.

Совпадение с первым (нулевым корнем) может быть при a + 3 = 0; a = 3 и при a − 3 = 0; a = −3.

Замечание. Это уравнение проще и быстрее решать не через дискриминант, а выделением полного квадрата.
x2 + 2ax + a2 − 9 = 0;    (x + a)2 = 9;    x + a = ±3.
Но на таком ответственном мероприятии, как выпускной экзамен, я советую решать двумя способами сразу - для взаимной проверки ответов.

Осталось сверить эти корни с Областью Допустимых Значений исходного уравнения.
Проверяем, подставляя поочередно оба корня в оба неравенства.

решение квадратного неравенства 1   

решение квадратного неравенства 2   

Итак, первому неравенству всегда удовлетворяют оба корня. Чтобы оба корня удовлетворяли второму неравенству, нужно чтобы параметр a удовлетворял системе условий , т.е. принадлежал промежутку [−4; 4].

Подводим итоги. Ограничение на параметр даёт только второе условие из ОДЗ: a ∈[−4; 4], а требование о несовпадении корней выполняется, если исключить из этого промежктка a = ±3.

Ответ: a ∈[−4;−3)∪(−3; 3)∪(3; 4]

Как видите, коэффициенты здесь подобраны так, что алгебраические операции не сложны и не занимают много времени. Но, если вы забыли об особенностях квадратных корней и упустили из виду именно условие 2) из ОДЗ, то решения не получите вообще.
Надеюсь, что многие выпускники всё-таки справились с этой задачей, и желаю им дальнейших успехов на экзаменах по выбору.

Задача 2

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

x − 2a _____ x + 2 + x − 1 ____ xa = 1

имеет единственный корень.

Решение.

Начинаем, конечно, с ОДЗ: x ≠ −2 и xa .
Преобразуем:

к общему знаменателю

Привели дроби к общему знаменателю и сразу отбросили знаменатель. Новое уравнение будет равносильно заданному только с учётом ограничений ОДЗ.

Почему можно так делать?
   - Потому что дроби с равными знаменателями равны тогда, когда равны их числители.
Когда нельзя так делать?
   - Когда не проверено неравенство знаменателя нулю или забыли предварительно записать ОДЗ.
Кому можно, а кому нельзя так делать?
   - Аккуратным и вдумчивым ученикам можно, невнимательным нельзя. Последним надо переносить всё в левую часть равенства, упрощать выражение в виде полной дроби, затем переходить к совокупности условий: "дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю".

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим

x2 − 2ax + 2a2x − 2 = −2a.

окончательно приведём к виду, характерному для квадратного уравнения:

x2 − (2a + 1)·x + (2a2 + 2a − 2) = 0.

Дискриминант этого уравнения

D = (2a + 1)2 − 4·(2a2 + 2a − 2) = −4a2 − 4a + 9.

Заданное в условии задачи уравнение может иметь единственное решение в двух случаях. Во-первых, когда дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю, а его единственный корень не совпадает с ограничениями ОДЗ. Иначе его нужно будет отбросить и решений не останется совсем. Во-вторых, когда квадратное уравнение имеет два разных корня (дискриминант больше нуля), но один и только один из них не удовлетворяет ОДЗ.

Случай I. D = 0.

−4a2 − 4a + 9 = 0 при a = (−1 ± √10__)/2.

При этом корень уравнения x = (2a + 1)/2 = a + 0,5. Очевидно, что при полученных значениях a он не совпадает ни с a, ни с −2.
Таким образом, получены два искомых значения параметра.

Случай II.

Определим те значения a, при которых корнем квадратного уравнения является x = а.

a2 − (2a + 1)·a + (2a2 + 2a − 2) = 0.
a2 + a − 2 = 0.
a = 1 и a = −2.

Определим те значения a, при которых корнем квадратного уравнения является x = −2.

(−2)2 − (2a + 1)·(−2) + (2a2 + 2a − 2) = 0.
a2 + 3a + 2 = 0.
a = −1 и a = −2.

При этих значениях параметра а можно продолжить исследование дискриминанта и второго корня квадратного уравнения. Но проще проверить их подстановкой в исходное уравнения условия задачи.

a = 1

x − 2·1 _______ x + 2 + x − 1 ____ x − 1 = 1;    x − 2 _____ x + 2 + 1 = 1;    x − 2 _____ x + 2 = 0;    x = 2.

a = −1

x − 2·(−1) _________ x + 2 + x − 1 _______ x − (−1) = 1;    x + 2 ____ x + 2 + x − 1 ____ x + 1 = 1;    1 + x − 1 ____ x + 1 = 1;    x − 1 ____ x + 1 = 0;    x = 1.

a = −2

x − 2·(−2) _________ x + 2 + x − 1 _______ x − (−2) = 1;     x + 4 ____ x + 2 + x − 1 ____ x + 2 = 1;     x + 4 + x − 1 = x + 2;    x = −1.

Таким образом все три значения удовлетворяют условию задачи.

Ответ: a ∈{(−1 − √10__)/2; −2; −1; 1; (−1 + √10__)/2.}

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

   Перейти на главную страницу сайта.