логотип Математички: Е в степени Пи

Решение задачи с параметрами.



Рассматривается решение задачи 18 - система уравнений с параметром. КИМ реального ЕГЭ 2015 года, досрочный период. (В том году она была под номером 20.)
Представлено несколько способов решения. Обязательно посмотрите все. Для того, чтобы научиться решать задачи с параметрами, не нужно запоминать решение конкретной задачи. Ведь следующая будет требовать другого решения. Лучше научиться находить общее и различия в подходах к анализу разных задач или разных способов решения одной задачи.

Задача 18

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
система с параметром(1)
имеет ровно два различных решения.

Решение 1.

1) Область определения системы (уравнения, неравенства, функции) совпадает с Областью Допустимых Значений выражения, если условием задачи никаких специальных ограничений не накладывается. Здесь просто ОДЗ:
x ∈ [−2;6).
Этот пункт обязательный при любом способе решения.

система с параметром
Внимание: насыщенные графики первого и второго пунктов можно увеличить, щелкнув по ним мышью.
2) Выбираем способ решения. Если графический, то сразу рисуем ОДЗ - здесь жёлтая полоска с левой границей.

3) Анализируем выражения в системе.
Замечаем, что первое уравнение представляет собой дробь. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Последнее мы уже учли в ОДЗ.
Числитель представляет собой два сомножителя. Произведение равно нулю, когда либо первый из них равен 0, а второй имеет произвольное значение (в том числе может быть 0), либо второй равен нулю, первый - любой (в том числе может быть 0).

Здесь второй сомножитель x + 2____ равен нулю при x = −2.

Таким образом, одно решение уже найдено: x = −2, y = 2 + a. Оно существует ПРИ ЛЮБОМ значении параметра a. Таким образом, задача сводится к отысканию параметров, при которых будет существовать еще только одно решение, причём отличное от названного. Такое решение может быть следствием равенства нулю первого сомножителя в числителе при условии, что x принадлежит промежутку [−2;6) и x ≠ −2. Последнее условие можно записать короче, x ∈ (−2;6).

Результат нашего анализа = ПЕРЕФОРМУЛИРУЕМ ЗАДАЧУ:
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
система с параметром(2)
имеет ровно одно решение при условии, что x принадлежит промежутку (−2;6).

Заметьте, что ОДЗ обоих уравнений в новой системе xR, yR, но вся задача имеет более узкую область определения, заданную её условием. Т.е. мы работаем в пределах желтой полоски, изображенной выше, но теперь без левой границы.

4) Преобразуем выражения. Здесь упрощаем для рисования.
система с параметром
Чтобы разложить верхнюю строку на множители, решили квадратное уравнение относительно y.
Анализируем результат преобразований: все графики, которые соответствуют полученным формулам, представляют собой прямые линии. Решением системы являются координаты точек пересечения прямых семейства y = −x + a (на рисунках ниже это красные или "динамические" линии) с прямыми y = 3 и y = x − 2, определяющими совокупность (зеленые или "статические" линии). Не забываем, что нас интересуют только точки пересечения внутри области определения задачи и в ответ должны войти только те значения параметра, которые дают одну точку пересечения внутри этой области.

5) Рисуем графики. Ниже на рисунках последовательность их построения и изучения.

графическое решение систем уравнений графическое решение системы с параметром
система с параметром, графическое решение  система с параметром
Линии 1-5 на последнем рисунке соответствуют следующим значениям параметра а:
  1. а = −6;  y = −x − 6
  2. а = 1;    y = −x + 1
  3. а = 8;    y = −x + 8
  4. а = 9;    y = −x + 9
  5. а = 10;  y = −x + 10
На желтой полосе они делят семейство красных линий на следующие участки:
Линия 1 имеет одну точку пересечения с зеленой линией, но она находится на границе области определения, которая ей не принадлежит. Решения системы при а = −6 нет.
Линии, расположенные между 1-й и 2-й, внутри области определения имеют одну нужную точку пересечения. При −6 < а < 1 система имеет одно решение.
Линия 2 имеет пересечения с двумя зелеными линиями, но вторая точка пересечения находится на границе области определения, которая ей не принадлежит. Поэтому при а = 1 система имеет одно решение.
Линии, расположенные между 2-й и 3-й, внутри области определения имеют две точки пересечения с зелеными линиями. При 1 < а < 8 система имеет два решения.
Линия 3 пересекает обе зеленые линии в их общей точке, т.е. при а = 8 одно решение.
Линии, расположенные между 3-й и 4-й, внутри области определения имеют две точки пересечения с зелеными линиями. При 8 < а < 9 система имеет два решения.
Линия 4 имеет одну точку пересечения с зеленой линией внутри области определения, а вторую на её границе. Т.к. граница не включена в область определения, то при а = 9 решение одно.
Линии, расположенные между 4-й и 5-й, внутри области определения имеют по одной точке пересечения с зелеными линиями. При 9 < а < 10 система имеет одно решение.
Линия 5 имеет одну точку пересечения с зеленой линией, но она находится на границе области определения, которая ей не принадлежит. Решения системы при а = 10 нет.

Подводим итог:
Система (2) имеет единственное решение на промежутке x ∈ (−2;6) при а ∈ (−6; 1]∪{8}∪[9;10). Что соответствует ровно двум различным решениям системы (1).

Ответ: а ∈ (−6; 1]∪{8}∪[9;10)

Это решение, на мой взгляд, является самым экономичным по преобразованиям и по построениям. В Вашей реальной работе все рисунки будут объединены в один и анализировать его Вы будете в ходе построения. Однако это не означает, что такой способ решения единственно верный и самый лучший для всех. Ниже приведен несколько иной вариант графического решения этой же задачи. Сравните.

Решение 2.

Допустим, Вы очень внимательны и, анализируя выражения в системе (1), сразу заметили, что в её состав входят линейные функции и квадратный трёхчлен относительно y, а также, что ОДЗ будет ограниченной.
Допустим, Вы хорошо владеете алгебраическими преобразованиями и особенно тщательно отслеживаете их равносильность на каждом шаге.
Тогда Вы можете сократить этапы 1)-3) и уделить больше внимания преобразованиям.

равносильные преобразования (3)

Первые две строки преобразованной системы (3) задают область определения системы (ОДЗ входящих в неё выражений). Отмечаем её на координатной плоскости (левый рисунок ниже). Далее строим статические прямые, которые соответствуют совокупности трёх линейных уравнений (правый рисунок).

система с параметром - ОДЗ  система с параметром - добавлена совокупность;

Затем строим семейство зависящих от параметра прямых (левый рисунок ниже). Это набор параллельных линий, здесь он представлен частично - только на интересующем нас участке координатной плоскости. (Разумеется, линии можно строить с меньшим или с большим шагом или просто двигать по чертежу линейку в процессе размышлений над задачей. Это уж как позволяет Вам Ваше пространственное воображение.)
И, наконец, разбираемся с точками пересечения красных (динамических) и зеленых (статических) прямых внутри области определения.

система с параметром, графики система с параметром, точки пересечения
Обратите внимание, задача не была переформулирована. Система (3) получена непосредственно из системы (1), поэтому для ответа мы выбираем те линии динамического семейства, которые дают две различные точки пересечения со статическими линиями на ОДЗ. Линии 1-5 на последнем рисунке совпадают с граничными линиями предыдущего решения.
  1. а = −6;  y = −x − 6
  2. а = 1;    y = −x + 1
  3. а = 8;    y = −x + 8
  4. а = 9;    y = −x + 9
  5. а = 10;  y = −x + 10
Они делят семейство красных линий на следующие участки:
Линия 1 пересекает две зеленые линии в их общей точке: одно решение системы при а = −6.
Линии, расположенные между 1-й и 2-й, а также сама линия 2 внутри области определения имеют по две точки пересечения. При −6 < а ≤ 1 система имеет два решения.
Линии, расположенные между 2-й и 3-й, внутри области определения имеют по три точки пересечения с зелеными линиями. При 1 < а < 8 система имеет три решения.
Линия 3 пересекает две зеленые линии в их общей точке, а также имеет еще одно пересечение с третьей линией. Всего при а = 8 два решения.
Линии, расположенные между 3-й и 4-й, внутри области определения пересекают по три зеленые линии. При 8 < а < 9 система имеет три различных решения.
Линия 4 имеет одну точку пересечения с зеленой линией внутри области определения, и две на её границах. Т.к. левая граница включена в область определения, а правая не включена, то нужных искомых точек две. При а = 9 два решения.
Линии, расположенные между 4-й и 5-й, внутри области определения имеют по одной точке пересечения с зелеными линиями и еще по одной на левой границе области. При 9 < а < 10 система имеет два решения.
Линия 5 имеет две точки пересечения, которые находятся на границах области. Поскольку в ОДЗ включена только одна граница, то при а = 10 система имеет одно решение.

Подводим итог:
Система (3) имеет два различных решения, удовлетворяющих ОДЗ, при а ∈ (−6; 1]∪{8}∪[9;10). Так как она равносильна исходной системе (1), то это ответ.

Ответ: а ∈ (−6; 1]∪{8}∪[9;10)

Решение 3.

1) Выписываем ОДЗ: x ∈ [−2;6).
2) Теми же рассуждениями, что в п.3) решения 1 приходим к выводу, что задачу можно переформулировать:
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений (2) имеет ровно одно решение при условии, что x принадлежит промежутку (−2;6).
3) Замечаем, что второе уравнение в системе - линейное. Это означает, что во-первых, к системе применим метод подстановки
равносильные преобразования ,(4)
а во-вторых, что при заданном x значение y будет определяться однозначно и зависеть только от параметра а. Поэтому количество решений (пар x,y) будет определяться количеством различных корней первого уравнения системы (4) - уравнения с одной переменной x.
Поэтому еще раз ПЕРЕФОРМУЛИРУЕМ ЗАДАЧУ:
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

(−x + a)2x(−x +a) + 3x − (−x + a) − 6 = 0 (5)

имеет единственное решение на промежутке (−2;6).

3) Проводим преобразования уравнения (5) и получаем обычное квадратное уравнение:

2x2 − (3a − 4)x + (a2a − 6) = 0 (6)

4) Исследуем квадратное уравнение (6).
Дискриминант равен (a − 8)2. При a = 8 уравнение имеет единственный корень. Подстановкой в него a = 8 убеждаемся, что этот корень равен 5, т.е. принадлежит заданному диапазону. Вывод: a = 8 - часть ответа задачи.
В остальных случаях D > 0 и уравнение имеет два различных корня. В ответ должны войти те значения параметра, при которых только один из корней будет находиться внутри интервала (−2;6).
Левую часть уравнения (6) рассмотрим как функцию переменной x, обозначим f(x). Графиком этой функции является парабола. Она расположена ветвями вверх (коэффициент при x2 равен 2, 2 > 0). Корнями уравнения являются нули функции, т.е. координаты точек пересечения пересечения параболы с осью Ox.

5) Рисуем возможные положения параболы относительно заданного промежутка.
Если Вы не уверены в том, что быстро и правильно строите эскиз графика квадратичной функции с произвольными коэффициентами, то рекомендую повторить раздел Правила преобразования графиков функций.

       

По рисункам делаем вывод:
Если одна точка находится в интервале, а вторая вне его, то на концах интервала функция f(x) имеет разные знаки, т.е. произведение f(−2)·f(6) строго отрицательно.
Запишем это условие, преобразуем и найдём значения параметра, при которых оно выполняется.


Неравенство решаем методом интервалов, получаем а ∈ (−6; 1)∪(9;10). Это следующая часть ответа.

Если один из корней уравнения (6) попадает точно на границу промежутка, он не входит в число искомых решений, так как наш промежуток - интервал. Поэтому, ответ нужно дополнить значениями параметра, при которых выполняется это условие, а второй корень находится внутри интервала. Это проще всего проверить с использованием теоремы Виета:
x1 + x2 = (3a − 4)/2; x1·x2 = (a2a − 6)/2.

x1 = −2, тогда f(−2) = 0. (а + 6)(а − 1) = 0 при а = −6 и а = 1.
Если а = −6, тогда x2 = (3а − 4)/2 − x1 = (−18 − 4)/2 + 2 = −9 не принадлежит интервалу (−2; 6).
Если а = 1, тогда x2 = (3а − 4)/2 − x1 = (3 − 4)/2 + 2 = 1,5 ∈ (−2; 6). а = 1 включаем в ответ.

x1 = 6, тогда f(6) = 0. (а − 9)(а − 10) = 0 при а = 9 и а = 10.
Если а = 9, тогда x2 = (3а − 4)/2 − x1 = (27 − 4)/2 − 6 = 5,5 ∈ (−2; 6). а = 9 включаем в ответ.
Если а = 10, тогда x2 = (3а − 4)/2 − x1 = (30 − 4)/2 − 6 = 7 ∉ (−2; 6).

Итого задаче удовлетворяют следующие значения параметров а = 8, а = 1, а = 9, (−6; 1) и (9;10).

Ответ: а ∈ (−6; 1]∪{8}∪[9;10)

Какой из способ решения Вам ближе и понятнее?

   Перейти на главную страницу сайта.