Методы решения задач с параметрами.

Рассмотрим следующую задачу

И решим её дважды: аналитическим методом, т.е. алгебраическими преобразованиями и анализом их результатов, и графическим методом. После чего вы сможете сделать выводы о своих предпочтениях, а также будете более уверенно себя чувствовать при решении подобных задач на ЕГЭ профильного уровня по математике.

Однако, сначала выполним общее действие - раскроем модули, пользуясь их определением $$|f(x)|= \begin{cases} f(x),&\text{если $f(x)>0$;}\\ 0,&\text{если $f(x)=0$;}\\ -f(x),&\text{если $f(x)<0$.} \end{cases} $$ Чтобы определить знаки выражений, содержащихся под модулями, сначала определим в каких точках эти выражения обращаются в ноль. Для этого решим соответствующие квадратные уравнения:

x² − 2x = 0 при x = 0 и при x = 2;

x² − 3x + 2 = 0 при x = 1 и при x = 2.

(Уравнения легко решаются по теореме Виета, поэтому полное решение не привожу.)

Эти значения разбивают числовую ось на четыре интервала. В каждом из этих интервалов берём какое-нибудь число, подставляем его в оба подмодульных выражения и проверяем их знаки. Чтобы не запутаться лучше делать отметки непосредственно на числовой оси.

Итак,
1) если x ≤ 0 или x ≥ 2, оба модуля открываются со знаком плюс. Получаем

x² − 2x + x² − 3x + 2 = x² − 4x + c
2x² − 5x + 2 = x² − 4x + c

2) если 0 < x ≤ 1, первый модуль открывается со знаком минус. Получаем

−(x² − 2x) + x² − 3x + 2 = x² − 4x + c
− x + 2 = x² − 4x + c

3) если 1 < x ≤ 2, оба модуля открываются со знаком минус. Получаем

−(x² − 2x) −(x² − 3x + 2) = x² − 4x + c
−2x² + 5x − 2 = x² − 4x + c

Обратите внимание, что границы промежутков, т.е. значення переменной, в которых хотя бы один модуль равен нулю, тоже нужно "не потерять". Поскольку "+0" и "−0" это всё равно 0, присоединить их можно как к левому, так и к правому интервалу - на выбор, но включить нужно только один раз.

Переходим непосредственно к решению задачи.

Аналитическое решение задачи с параметром.

Преобразуем все три полученные выше уравнения к стандартному виду квадратного уравнения и решим их.

1) 2x² − 5x + 2 = x² − 4x + c;
x² − x + 2 − c = 0.

Дискриминант этого уравнения D = (−1)² − 4·1·(2 − c) = 4c − 7,

следовательно при 4c − 7 > 0; c > 7/4; c > 1,75 уравнение будет иметь два корня:

x₁ = 1 − √4c − 7_____ _________    2   и   x₂ = 1 + √4c − 7_____ _________    2

При 4c − 7 = 0; c = 7/4; c = 1,75 уравнение будет иметь один корень x = 1/2, совпадающий с абсциссой вершины соответствующей параболы.

Однако, эти корни будут являться корнями исходного уравнения с модулями только в том случае, если они принадлежат тем промежуткам, в которых исходное уравнение приобрело данный вид, т.е. при x ≤ 0 или x ≥ 2.
Вспомним, что корни квадратного уравнения расположены симметрично относительно вершины параболы. Абсцисса вершины (x = 1/2) в нашем случае не принадлежит промежутку и расположена между точками x = 0 и x = 2, таким образом корни преобразованного уравнения будут являться корнями исходного уравнения тогда, когда будут выполнены следующие неравенства

x₁ = 1 − √4c − 7_____ _________    2 ≤ 0   и   x₂ = 1 + √4c − 7_____ _________    2 ≥ 2.

Решаем эти неравенства

Итак, резюмируем: при c ≥ 1,75 корни уравнения существуют, но
только один из них может принадлежать рассматриваемым промежуткам, если 2 ≤ с < 4,
и два корня принадлежат множеству (−∞; 0] U [2; +∞), если с ≥ 4.
При c = 1,75 единственный корень уравнения не принадлежит рассматриваемым промежуткам числовой оси .

Аналогично разбираемся со следующими участками числовой оси.

2) −x + 2 = x² − 4x + c;
−x² + 3x + 2 − c = 0;
x² − 3x + c − 2 = 0.

Дискриминант D = 3² − 4·1·(c − 2) = 17 − 4c.

При 17 − 4c > 0; c < 17/4; c < 4,25 уравнение будет иметь два корня:

x₁ = 3 − √17 − 4c______ __________    2   и   x₂ = 3 + √17 − 4c______ __________    2

Корни должны принадлежать промежутку (0; 1], но вершина параболы имеет абсциссу x = 3/2, которая находится за пределами этого промежутка, справа от него. Поэтому корнем исходного уравнения с модулями может являться только меньший из них при условии 0 < x₁ ≤ 1.

Решаем соответствующие неравенства.

Обратите внимание, что знак радикала указывает на арифметический корень, имеющий неотрицательные значения. Поэтому при решении неравенства можем обе его части возвести в квадрат, не изменяя знак неравенства, только тогда, когда они обе имеют знак плюс.

Вывод: при c < 4,25 корни уравнения существуют, но
только один из них может принадлежать рассматриваемому промежутку, если выполнено условие 2 < с ≤ 4,.
При c = 4,25 единственный корень уравнения x = 3/2 не принадлежит промежутку числовой оси (1;2].

Рассмотрим третий промежуток (1;2).

3) −2x² + 5x − 2 = x² − 4x + c;
−3x² + 9x − 2 − c = 0;
3x² − 9x + 2 + c = 0.

Дискриминант D = 9² − 4·3·(2 + c) = 57 − 12c.

При 57 − 12c > 0; c < 57/12; c < 4,75 уравнение будет иметь два корня, а при с = 4,75 - единственный корень x = 3/2. В данном случае этот единственный корень, по совместительству - абсцисса вершины параболы, совпадает с серединой рассматриваемого промежутка. Поэтому в качестве условия принадлежности двух корней промежутку можно принять следующее - расстояние между корнями не должно превышать длину интервала: x₂ − x₁ < 2 − 1.

x₂ − x₁ = √D______ a = √57 − 12c_______ _______    3

Решение неравенства

Вывод: при 4 ≤ c < 4,75 существуют и принадлежат рассматриваемому промежутку два различных корня уравнения.
При c = 4,75 уравнение имеет один корень x = 3/2, который тоже принадлежит промежутку (1;2).

Подведём итоги. Для этого также воспользуемся схемой. Изобразим числовую ось для парметра с. Отметим на ней полученные результаты - количество корней на каждом участке. (Как бы табличка: в строке отмечено, какой промежуток оси х дал корни, в столбце - сколько корней поступило при соответствующих значениях параметра c.)

Поскольку промежутки не пересекаются (вспомним - граничные точки присоединяли только к одному интервалу!), корни не могут повториться, т.е. как и требует вопрос задачи, на схеме отмечено число различных решений. Ровно три таковых будет получено при с = 4 и с = 4,75.

Ответ: с = 4; с = 4,75.

Графическое решение задачи с параметром.

Чтобы графически решить уравнение, нужно нарисовать два пересекающихся графика функций. Один график функции, совпадающей с правой частью уравнения, второй - с левой. Однако, график той функции, которая содержит параметр, будет изменять своё положение в зависимости от его значения. Значит, для того чтобы понять влияние параметра на результат решения уравнения, нужно будет построить этот график несколько раз. Поэтому нужно преобразовать уравнение так, чтобы та часть, которая содержит параметр была как можно проще.

В нашем случае после этапа раскрытия модулей получилось три уравнения, каждое из которых нужно решить на своём интервале. Во всех трёх слева и справа находятся квадратные трёхчлены, соответствующие графики - параболы - можно построить. График правой части, содержащей параметр, будет двигаться только вдоль оси Oy, так как параметр присутствует только в третьем коэффициенте трёхчлена. Казалось бы, можно начинать строить графики. (В конце страницы приведены примеры рисунков при таком подходе.) Но задумаемся, а нельзя ли проще? Например, прямую всегда легче построить чем параболу, а горизонтальную прямую ещё легче и строить, и анализировать. Поэтому начинаем с преобразований уравнений, полученных в процессе раскрытия модулей.

1) 2x² − 5x + 2 = x² − 4x + c;
x² − x + 2 = c.

2) −x + 2 = x² − 4x + c;
−x² + 3x + 2 = c;

3) −2x² + 5x − 2 = x² − 4x + c;
−3x² + 9x − 2 = c.

Итак, в левой части всех уравнений - квадратные трёхчлены, графики которых - параболы. В правой части постоянная величина, равная параметру. График функции y = c прямая, параллельная оси абсцисс.

Строим графики, точнее от руки вы сможете построить только эскизы графиков, поэтому не имеет смысла использовать много точек для построения параболы. Чтобы не терять время на лишние расчёты, пока достаточно построить её по трём точкам: обязательно точно вычислить координаты вершины и еще две любые точки, которые легко считать устно (например, при x = 1 или х = 0). Глядя на эскизы, поймёте, что надо уточнить позже.

1) Строим параболу y₁ = x² − x + 2, обводим толстой линией ту её часть, которая находится на участках x ≤ 0 или x ≥ 2.

2) Строим на этом же чертеже параболу y₂ = −x² + 3x + 2, обводим ту её часть, которая принадлежит участку (0; 1].

3) Строим на этом же чертеже параболу y₃ = −3x² + 9x − 2, обводим ту её часть, которая принадлежит участку (1;2).

Проверяем точки пересечения парабол друг с другом. Очевидно (по смыслу модуля), что они должны пересекаться на границах интервалов, т.е. должно быть

y₁(0) = y₂(0); y₁(0) = 0² − 0 + 2 = 2; y₂(0) = 0² + 3·0 + 2 = 2;

y₂(1) = y₃(1); y₂(1) = −1² + 3·1 + 2 = 4; y₃(1) = −3·1² + 9·1 − 2 = 4;

y₃(2) = y₁(2); y₃(2) = −3·2² + 9·2 − 2 = 4; y₁(2) = 2² − 2 + 2 = 4.

Поправляем нарисованные от руки параболы так, чтобы они точно проходили через эти точки: (0;2), (1;4), (2;4). И еще раз обводим весь график целиком.

Правая часть всех уравнений - прямые, параллельные оси абсцисс и пересекающие ось ординат на уровне y = c. Чертим несколько таких прямых. Считаем количество точек пересечения с построенным графиком.

"Невооруженным глазом" видно, что три точки пересечения, а следовательно, и три решения исходное уравнение будет иметь при с = 4 и с = 4,75.

Важное замечание: "невооруженным глазом" можно смотреть только при условии, что участвующие в ответе точки уже проверены точным расчётом, в противном случае надо проверять подстановкой в уравнения. Напоминаю, мы выше просчитывали вершины парабол для построения, т.е. ордината 4,75 уже подтверждена. Также проверяли точки пересечения парабол на границах интервалов, ордината 4 расчётом подтверждена. Можем писать ответ.

Ответ: с = 4; с = 4,75.

Пример альтернативного графического решения.

Рассматриваем уравнения в том виде, в каком мы их получили, раскрыв модули.

1) если x ≤ 0 или x ≥ 2, 2x² − 5x + 2 = x² − 4x + c;
2) если 0 < x ≤ 1, − x + 2 = x² − 4x + c;
3) если 1 < x ≤ 2, −2x² + 5x − 2 = x² − 4x + c.

Последовательно строим графики функций
y₁ = 2x² − 5x + 2,
y₂ = − x + 2 и
y₃ = −2x² + 5x − 2, обводя их толстой линией на нужном участке.
На этом же чертеже строим набор парабол вида y = x² − 4x + c.

Всё правильно. Всё готово для ответа. А что можно разглядеть на этих графиках? Тем более, если они ещё и нарисованы от руки, как эскиз? Делайте свои выводы.

Посмотрите также задачи на параметры ЕГЭ прошлых лет:

Задача 18 одного из вариантов ЕГЭ 2015 года: система уравнений с параметром. На мой взгляд, хорошо решается графическим методом.

Задача 18 одного из вариантов ЕГЭ 2016 года: уравнение с параметром На мой взгляд, хорошо решается аналитическим методом.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.