Задача ЕГЭ 2017: теория вероятностей.



Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2017 года задания на проверку знаний элементов теории вероятностей могут встретиться под номером 10 для базового уровня и под номером 4 для профильного уровня.

Учиться решать такие задачи лучше поэтапно.
  1. Задачи только на определение вероятности
  2. Задачи с использованием элементов комбинаторики
  3. Решение задач с применением таблиц
  4. Задачи на правила сложения и умножения вероятностей

Задачи только на определение вероятности

Для решения большинства следующих задач достаточно повторить классическое определение вероятности события:
Вероятностью события А называется дробь

P(A)  =m— ,n

в числителе которой стоит число m элементарных событий, благоприятствующих событию А, а в знаменателе n - число всех элементарных событий.
Таким образом, чтобы решить задачу нужно подсчитать число благоприятствующих и число всех возможных элементарных событий.
Вспомним - элементарные события (исходы испытания) попарно несовместимы и равновозможны. Иногда это очевидно, а иногда стоит задуматься. "Попарно несовместимы" означает, например, что один человек не может одновременно ехать в двух автобусах. Не являются "равновозможными", например, встречи на улице с динозавром и собакой.

Обратите внимание на выделенные формулировки. Часто бывает, что условия двух задач отличаются только одним словом, а решения могут быть прямо противоположными. И наоборот, казалось бы разные вопросы, но фактически об одном и том же. Будьте внимательны!

Не забудьте, что благоприятствующих событий не может быть больше, чем вообще всех возможных, а значит числитель дроби никогда не превысит знаменатель. В ответе на вопрос о вероятности события должно быть число, удовлетворяющее условию 0 ≤ P ≤ 1. Если вы получили другой ответ, он заведомо неверный.

Пример 1

На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение

Если "остальные места неудобны", то удобны именно упомянутые 12 + 18 = 30 мест.
Пассажиру В. может достаться одно любое место из 300 мест в самолёте, значит всего возможных событий n = 300. Но "благоприятствующими" будут только те из них, когда пассажир В. попал на удобное место, таких событий, как и мест, m = 30.

P(A) = 30/300 = 0,1.

Ответ: 0,1

В примере, который представлен выше, реализуется самое простое понятие элементарного события. Так как один человек способен занять только одно место, события независимы. А так как в условии специально оговорено, что при регистрации место выбиралось случайно, то равновозможны. Поэтому, фактически, мы считали не события, а места в самолёте.

Пример 2

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение

Определим, сколько всего рейсов должен совершить вертолет
30 : 6 = 5 (рейсов).
Турист П. может полететь любым из них, но "благоприятствующим" будет только 1 из них - первый. Следовательно n = 5, m = 1.

P(A) = 1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2

В этом примере, уже следует задуматься о том, что представляет собой элементарное событие. Здесь это сформированный рейс вертолёта. Один человек может попасть только на один рейс, т.е. только в одну группу из 6-ти человек, - события независимы. По условию задачи порядок рейсов случаен, т.е. все рейсы для каждой группы равновозможны. Считаем рейсы.

Пример 3

Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

Решение

Выпишем в ряд заданные числа и отметим те из них, которые делятся на 3.

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Получается, что из 10 заданных чисел на 3 делятся 3 числа.
Находим ответ по общей формуле

P(A) = 3/10 = 0,3.

Ответ: 0,3

Замечание. Этот способ решения относится к простейшему случаю, когда отрезок ряда короткий, и его легко выписать явно. Что будет, если задачу изменить, например, так:

Из множества натуральных чисел от 107 до 198 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

Тогда придётся вспомнить, что "на 3 делится каждое третье число в натуральном ряду" (на 4 - каждое четвертое, на 5 каждое пятое ...) и определить количество групп из трёх чисел на участке ряда от 107 до 198.
1, 2, ..., 105, 106, 107, 108, ..., 197, 198, 199, ...
На этом участке всего 92 числа: 198 - 106 = 92.
Они составляют 30 полных групп и одну неполную (92/3 = 30 целых и 2 в остатке). В каждой полной группе есть одно число, которое делится на 3. В неполной группе, которую составляют два последних числа, 197 не делится 3, а 198 делится. Итого у нас 30 + 1 = 31 "благоприятствующее" число из "всего" 92-ух.

P(A) = 31/92 ≈ 0,337


Задача 1

В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

Задача 2.

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Задача 3

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Задача 4

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 - из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Задача 5

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.

Задача 6

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Задача 7

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Задача 8

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Задача 9

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Задачи с использованием элементов комбинаторики

В этих задачах ответ также определяется по формуле P(A) = m/n, но подсчет числа n всех возможных событий и числа m благоприятствующих событий заметно труднее, чем в предыдущих случаях. Для этого используют различные методы перебора вариантов и вспомогательные рисунки, таблицы, графы ("дерево возможностей"). Облегчить ситуацию могут правила сложения и умножения вариантов, а также готовые рецепты комбинаторики: формулы для числа перестановок, сочетаний, размещений.

Правило сложения: если некоторый объект A можно выбрать k способами, а объект B - l способами (не такими как А), то объект "или А или В" можно выбрать m + l способами.

Правило умножения: если объект А можно выбрать k способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от объекта А) l способами, то пары объектов А и B можно выбрать m·l способами.

Правило умножения еще называют "И-правилом", а правило сложения "ИЛИ-правилом". Не забывайте проверить независимость способов для "И" и несовместимость (не такими) для "ИЛИ".

Следующие задачи можно решать как перебором вариантов, так и с помощью формул комбинаторики. Я даю несколько способов решения для каждой задачи, потому что одним способом её можно решить быстро, а другим долго, и потому что кому-то понятнее один подход, а кому-то другой. Но это не значит, что обязательно нужно разбирать все способы. Лучше хорошо усвоить один любимый. Выбор за вами.

Задача 10

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Задача 11

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Задача 12

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет хотя бы один раз.

Задача 13

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Задача 14

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Задача 15

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение задач с применением таблиц

Если ваш браузер поддерживает Flash, то вы можете посмотреть анимированные графические решения

задачи 14     кнопка:таблица 2D     и задачи 15    кнопка:таблица 3D

способом II - перебором вариантов с использованием таблиц. (Для просмотра щелкните по иконке.)

Постарайтесь рассмотреть эти примеры не только как решение конкретной задачи, но и как иллюстрацию к правилам сложения и умножения исходов испытаний, а также для того, чтобы окончательно определиться с выбором метода решения для экзамена. Как лучше - перебором вариантов или по формулам?

Вывод: задачи по теории вероятности этого задания можно решать по единственной формуле в одно действие, если сумеете подсчитать числа возможных и благоприятствующих событий "на пальцах", схемах, таблицах... Однако, чем сложнее эксперимент ("... монету бросают четырежды ...", "... бросают три игральные кости ..."), тем более громоздко "простое" решение и тем короче "сложное" - с использованием формул, правил и теорем.

Но, если Вы всё ещё допускаете ошибки при решении задач на классическое определение вероятности, то, быть может, они имеют такое же происхождение, как в известном анекдоте про динозавра. В таком случае перейдите по ссылке к анализу логических ошибок.


Задачи на правила сложения и умножения вероятностей

Внимание: на сайте появился раздел Задачи на правила сложения и умножения вероятностей Чтобы посмотреть эти задачи, перейдите по ссылке.

Рекомендую почитать:

  • Лютикас В.С. Школьнику о теории вероятностей. - М. "Просвещение", 1976.
  • Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Пер. с англ. - М. "Наука", 1985.
Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2017.

   ©mathematichka

E-mail: mathematichka@yandex.ru