Задача ЕГЭ 2018: теория вероятностей -
сумма и произведение событий.

Задание по теории вероятностей в ЕГЭ по математике впервые появилось в 2012 году. С тех пор число и разнообразие прототипов, опубликованных на сайте ФИПИ, значительно возросло. Появились задачи на сумму и произведение событий, на условную вероятность. Но если Вы еще не решали задания, в которых используются только определение вероятности и элементы комбинаторики для подсчёта вариантов, обязательно сделайте это. Иначе решение более сложных заданий окажется бесполезным.

Задачи лучше решать в таком порядке.
  1. Задачи только на определение вероятности
  2. Задачи с использованием элементов комбинаторики
  3. Решение задач с применением таблиц
  4. Задачи на правила сложения и умножения вероятностей

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут встретиться под номером 10 для базового уровня и под номером 4 для профильного уровня.

Задачи на правила сложения и умножения вероятностей.

В разделах, касающихся использования формул и правил комбинаторики, я неоднократно упоминала правила умножения и правила сложения вариантов, называя их И-правилом и ИЛИ-правилом. Этот же подход можно распространить на правила теории вероятностей.
Правило сложения вероятностей: если A и В несовместимые события, то вероятность того, что наступит хотя бы одно из двух событий А или В, равна сумме их вероятностей.

P(A + B) = P(A) + P(B)

Правило умножения вероятностей: если A и В независимые события, то вероятность одновременного наступления обоих событий А и В, равна произведению их вероятностей.

P(A·B) = P(A) · P(B)

Обратите внимание:
Мы говорим о сумме событий, когда может наступить хотя бы одно из двух событий или А, или В, или оба вместе. Но приведенную формулу применяем только для несовместимых событий, т.е. в случае, если они не могут произойти вместе. Например, не может один ученик писать экзамен сразу в двух аудиториях.
Мы говорим о произведении событий при наступлении и А, и В одновременно. Но приведенную формулу применяем только для независимых событий, когда результат одного из них не связан с результатом другого. Например, при бросании двух игральных костей ни одна из них "не знает", какое число очков выпало на другой.
Если указанные условия не выполняются, то правила сложения и умножения вероятностей приобретают более сложный вид.
Правило сложения вероятностей для совместимых событий: вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности их произведения.

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)

Правило умножения вероятностей для зависимых событий: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

P(A·B) = P(A) · P(B/A)

Но в любом случае, правило сложения вероятностей используем там, где перед описанием события в тексте задачи можно вставить союз "или", поэтому называем его ИЛИ-правилом. Правило умножения вероятностей используем там, где перед описанием события в тексте задачи можно вставить союз "и", поэтому называем его И-правилом. Давайте посмотрим, как это работает на примере задачи о ковбое.

Пример 1

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Запишем, как могло случиться, что "Джон промахнулся".
"Ковбой схватил пристрелянный револьвер И не попал в муху, ИЛИ ковбой схватил непристрелянный револьвер И не попал в муху."

Сначала разберемся с пистолетами:
- Вероятность схватить пристрелянный пистолет равна 4/10 = 0,4. Мы вычислили её по определению вероятности: здесь один пистолет = одно элементарное событие, один пристрелянный пистолет = одно благоприятствующее событие.
- Вероятность схватить непристрелянный пистолет равна (10−4)/10 = 0,6. Вычислили аналогично, определив число непристрелянных пистолетов.

Затем разберемся с мухой:
- Если ковбой стрелял из пристрелянного револьвера, то он НЕ попал в муху с вероятностью 1−0,9=0,1.
- Если ковбой стрелял из непристрелянного револьвера, то он НЕ попал в муху с вероятностью 1−0,2=0,8.
Здесь мы воспользовались формулой для вероятности противоположного события, потому что в условии даны вероятности попадания в муху из разных пистолетов, но не промахов.

Теперь вернемся к нашей формулировке события "Ковбой схватил..." и вместо текста, описывающего составляющие события, подставим полученные числа - их вероятности, а вместо союзов "И" и "ИЛИ" знаки "·" и "+" соответственно. Получаем:

0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.

Мы получили ответ, а заодно вывели формулу полной вероятности для группы из двух событий. Только последнее для нас не главное, для этого типа задач вообще формулы не главное. Гораздо важнее понять и хорошо сформулировать событие, о котором спрашивается в условии задачи. Математически наше решение выглядит следующим образом.

Решение

Обозначим события: A - "Джон промахнулся"; B - "попадание в муху"; С1 - "выстрел из пристрелянного пистолета"; С2 - "выстрел из непристрелянного пистолета".
Тогда искомая вероятность события А определяется по формуле

P(A) = P(С1)·P(B/С1) + P(С2)·P(B/С2)

Находим вероятности составляющих событий так, как это было описано выше:
P(С1) = 0,4; P(С2) = 0,6; P(B/С1) = 0,1; P(B/С2) = 0,8 и подставляем их в формулу.

P(A) = 0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52

Замечания. В формуле для P(A) правило сложения записано в простой форме - для несовместимых событий, поскольку пистолет не мог быть одновременно пристрелянным и непристрелянным, а правило умножения в сложной форме - с учетом условной вероятности, поскольку "попадание в муху" зависело от выбора пистолета. Символом B, как обычно, обозначено событие противоположное событию В, т.е. "не попадание в муху".

Теперь проверьте себя.



Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения временно скрыты. Они показываются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Задача 1

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Используем правило сложения, поскольку "вопрос по одной из этих двух тем" означает, что ИЛИ на тему «Вписанная окружность», ИЛИ на тему «Параллелограмм». Причем правило используем в простой форме, потому что события несовместимы. В условии об этом прямо сказано - вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет.
P(A + B) = P(A) + P(B)
0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35

Задача 2

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение

"А. выиграет оба раза" означает, что А. выиграет И первый раз, И второй раз. А поскольку гроссмейстеры меняют цвет фигур, то это событие можно описать и так "А. выиграет И белыми, И черными." Используем правило умножения в простой форме, потому что события независимы.
P(A·B) = P(A) · P(B)
0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156

Замечание: Как мы можем судить о независимости событий? Вспоминаем всё, что знаем о самих событиях. В данном случае правила игры в шахматы таковы, что вторая партия начинается заново и её результат не зависит от исхода первой партии.

Задача 3

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение

События A = "кофе закончится в первом автомате" и B = "кофе закончится во втором автомате" не являются несовместимыми, так как кофе может закончиться в обоих автоматах, и не являются независимыми, так как, если в одном из них кофе закончится, то во второй автомат покупатели будут обращаться чаще, и кофе в нем закончится скорее.
По условию задачи P(A) = P(B) = 0,3; P(AB) = 0,12

Способ I.
Событие "кофе останется в обоих автоматах" противоположно событию "кофе закончится хотя бы в одном из автоматов ИЛИ в первом, ИЛИ во втором, ИЛИ в обоих". Найдем вероятность этого (противоположного) события по правилу сложения вероятностей для совместимых событий.
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48
Тогда искомая вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52

Способ II.
Рассмотрим следующие события:
Событие С1 = "кофе останется в обоих автоматах";
Событие С2 = "кофе закончится в обоих автоматах";
Событие С3 = "кофе закончится в первом автомате И останется во втором";
Cобытие С4 = "кофе закончится во втором автомате И останется в первом".
Эти четыре события несовместимы и хотя бы одно из них обязательно реализуется, т.е. их сумма достоверное событие, вероятность которого равна 1.
P(С1) + P(С2) + P(С3) + P(С4) = 1.
Следовательно можем найти искомую вероятность из равенства
P(С1) = 1 − P(С2) − P(С3) − P(С4),
в котором P(С2) = P(AB) = 0,12 (по условию задачи) и P(С3) = P(С4) (автоматы одинаковые).
Разберемся с событием С3. Оно является произведением события A и события B противоположного событию В. Эти события не являются независимыми, поэтому И-правило используем с учетом условной вероятности.
P(АВ) = P(A)·P(B/A). Следовательно вероятность того, что во втором автомате закончится кофе при условии, что оно уже закончилось в первом P(B/A) = P(AB)/P(A) = 0,12/0,3 = 0,4. А вероятность того, что во втором автомате останется кофе при условии, что оно закончилось в первом P(B/A) = 1 − P(B/A) = 1 − 0,4 = 0,6. Тогда
P(С3) = P(АB) = P(A)·P(B/A) = 0,3·0,6 = 0,18.
Итак P(С1) = 1 − 0,12 − 0,18 − 0,18 = 0,52.

Ответ: 0,52

Замечание: Здесь формально, I способ лучше, потому что короче. Реально, кому как больше нравится. Но в любом случае, если вы умеете решать задачу разными способами, то всегда сможете сами себя проверить.

Задача 4

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке "Вход". Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Решение

Ошибочно думать, что в заданных условиях на вероятность выйти через конкретный выход или попасть в один из тупиков влияет количество выходов и тупиков или длина пути к ним. Раз паук развернуться и ползти назад не может, то самое главное для него - на каждой встретившейся развилке выбрать правильный путь: И на первой, И на второй, И на ... Т.е. это снова задача на правило умножения вероятностей.

Нарисуем путь паука к нужному выходу и возможные ответвления на этом пути.

Поставим на развилках "точки раздумья". Но по условию задачи паук не раздумывал, а выбирал путь чисто случайно, значит из каждой точки он мог пойти по любому пути с вероятностью p = 1/n, где n - количество путей на развилке за исключением того, по которому паук пришел. На нашем рисунке на нужном пути встречается 4 точки, и в каждой из них паук может выбрать два новых пути, следовательно p1 = p2 = p3 = p4 = 1/2 = 0,5.
На каждой развилке паук выбирает новый путь независимо от решения принятого на прошлой развилке (по условию - чисто случайно), поэтому правило умножения вероятностей используем в простой форме
P = p1 · p2 · p3 · p4 = 0,5·0,5·0,5·0,5 = 0,0625;

Ответ: 0,0625

Замечание: Предлагаю подумать, как для такой задачи Вы могли бы сделать проверку.

Использование правил сложения и умножения вероятностей в форме И/ИЛИ-правил может значительно упростить задачу, но не забывайте быть внимательными к независимости и несовместимости событий. Если при анализе событий упустить эти моменты, то можно сделать существенные ошибки.
Подобные неверные решения задач ЕГЭ по математике встречаются, в том числе, и в сети Интернет. Поэтому

следующие две задачи из банка заданий ЕГЭ ("о чайниках и автобусах") рассмотрены на странице сайта, посвященной анализу неверных решений: Типичные ошибки при решении задач на применение правил сложения и умножения вероятностей событий.

Конечно, там можно найти и готовые правильные решения. Но к ним лучше обратиться после самостоятельной работы над задачами.

Задача 5

Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что сканер прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Вопрос задачи сформулирован так, что его легче осмыслить через противоположные события. Определим их вероятности.
Пусть событие А = "сканер прослужит меньше года", его вероятность Р(А) = 1 − 0,98 = 0,2;
событие В = "сканер прослужит меньше двух лет", его вероятность Р(В) = 1 − 0,87 = 0,13.
Событие С = "сканер прослужит меньше двух лет, но больше года", о вероятности которого спрашивается в задаче, по существу означает, что сканер сломается на втором году службы. Один и тот же сканер не может сломаться одновременно и в первый, и во второй годы службы. Поэтому события А и С не совместимы, а событие В распадается на два случая: "сканер сломается на первом году службы" ИЛИ "сканер сломается на втором году службы". Таким образом, событие В является суммой двух несосвметимых событий А и C, к которым применима теорема сложения вероятностей (ИЛИ-правило):
В = А + С
P(B) = P(A) + P(C)
0,13 = 0,02 + P(C)
P(C) = 0,13 − 0,02 = 0,11.

Ответ: 0,11

Замечание: Конечно, 0,98 − 0,87 = 0,11 тоже правильный ответ, и, если переформулировать вопрос задачи, тоже будет правильным решением. Повторюсь, во всех задачах на вероятность главное разобраться в событиях, применяемые формулы здесь являются следствием рассуждений.

Однако не забывайте, что наличие союзов "и" и "или" в тексте задачи вовсе необязательно указывает на то, что это задание на правила сложения и умножения вероятностей. Эти части речи могут использоваться в своём первоначальном назначении - объяснять смыл задачи или события. Сравните:

Задача 6

При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный плдшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.

Решение

Здесь фраза "диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм", фактически, означает, что диаметр будет находиться в диапазоне от 68 − 0,01 = 67,99 мм до 68 + 0,01 = 68,01 мм. Значит фраза "диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм" просто означает, что диаметр подшипника будет находиться за пределами этого диапазона. Таким образом речь идёт о противоположном событии, вероятность которого легко определить:
1 − 0,968 = 0,032.

Ответ: 0,032

Следующую задачу тоже можно решать разными способами, но явно лучше через противоположное событие. Попробуйте.

Задача 7

В уличном фонаре 3 лампы. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Если известна вероятность какого-либо события А, то вероятность противоположного ему события A определяется по формуле P(A) = 1 − P(A).
Так например, если вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,8, то вероятность не перегорания в этот же период равняется 1 − 0,8 = 0,2.

Решение

Пусть событие A = "В течение года хотя бы одна лампа не перегорит". Противоположное ему событие A = "В течение года перегорят все три лампы."
Вероятность последнего события определяем по правилу умножения вероятностей
P(A) = 0,8·0,8·0,8 = 0,512 (перегорит И первая, И вторая, И третья лампы НЕЗАВИСИМО друг от друга).
Следовательно искомая вероятность P(A) = 1 − 0,512 = 0,488.

Ответ: 0,488.

Рекомендую почитать:



Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.