Текстовые задачи на уравнения и системы.



Внимание:
Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

   

Здесь Вы сможете потренироваться в решении текстовых задач ЕГЭ по математике, для которых, как правило, требуется составить и решить уравнение или систему уравнений, реже - неравенство или сиcтему неравенств. В демонстрационном варианте профильного уровня ЕГЭ 2017 года эти задачи могут встретиться под номером 11.

Рекомендую начинать решение таких задач с краткой записи их условия. И ни в коем случае не спешите смотреть ответы и решения раньше, чем успеете сами подумать о них. Возможны разные способы решения, и не факт, что Ваш способ намного хуже моего.

Задачи с участием водного транспорта.

Такие задачи очень часто сводятся к решению квадратного уравнения. Повторите его.

Задача 1

Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Задача 2

Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Задача 3

Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

В следующей задаче появляется дополнительное "действующее лицо" - время года, поэтому становится удобнее решать не уравнением, а системой уравнений.

Задача 4

Весной катер идёт против течения реки в 12/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 11/2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Задачи на проценты с уравнениями и без них.

Следующую задачу можно отнести к задачам на сплавы и растворы, а можно считать такой же обычной задачей на проценты, как простые текстовые задачи на проценты. В этот раздел, как я полагаю, она отнесена не за математическую трудность, а за "трудность" понятий "виноград" и "изюм". Не так ли?

Задача 5

Виноград содержит 90% влаги, а изюм - 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

И еще одна простая задача на проценты, подобная тем, которые мы решали в разделе "Простые текстовые задачи".

Задача 6

В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году - на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

А теперь сравните следующую и предыдущую задачи. Похожи?

Задача 7

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Задача 8

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон - 42000 рублей, Гоша - 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Задачи на системы линейных уравнений.

Задача 9

Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй - 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Одна из главных трудностей при алгебраическом решении текстовых задач состоит в выборе неизвестной величины или величин, которые будут обозначены буквами. Я советую начинать либо с того, что спрашивается в вопросе задачи, либо с того, что содержится в основной формуле, которая описывает процесс. Например, решение задачи на движение основано на применении правила "расстояние = скорость × время". Значит либо расстояние = x, либо время = t, либо скорость = v, смотря что дано, а что неизвестно. При этом, можно получить алгебраические уравнения разного вида. Ведь и "скорость = расстояние : время" и "время = расстояние : скорость". Собственно это варианты одной и той же физической формулы. И от того, в каком варианте вы её раньше вспомните, будет зависеть, как вы введёте обозначения и какие получите уравнения. Здесь не может быть правильного или неправильного начала решения задачи, начните как-нибудь, важно, чтобы было правильным окончание. Однако, решение может оказаться оптимальным и неоптимальным. Вы можете получить слишком громоздкие и сложные уравнения. В этом случае стоит попробовать вернуться к началу задачи и ввести другое обозначение.

Системы уравнений имеет смысл составлять тогда, когда в задаче идет речь о двух или нескольких объектах, на которые одновременно действуют два или несколько факторов, накладывается два или несколько совместимых условий и т.п. Таких ситуаций много в быту, в технике и, особенно много, в экономике. Те из вас, кто собирается продолжать образование, еще не раз столкнутся с системами из разного количества уравнений с разным количеством неизвестных. На экзамене, как правило, вы будете составлять и решать системы из двух уравнений с двумя неизвестными.

Задачи на объезд, обгон и встречное движение.

Когда мы решаем на уроке математики задачи на движение, мы редко вспоминаем о том, что все формулы относятся к описанию движения материальной точки. Происходит это потому, что движущийся объект, как правило, очень мал по сравнению с расстоянием, которое он проходит. Например, поезд, который следует из Москвы в Тюмень всего лишь точка на карте России. Но поезд, который едет по железной дороге в то время, когда мы стоим на переезде и ждем его, вовсе не точка. Его проезд вдоль закрытого шлагбаума занимает порой значительное время. Можно ли в этом случае применять те же формулы? Давайте заглянем в учебник физики, раздел механика. Ответ: можно, если не требуется учитывать вращение или деформирование движущегося объекта. Как применять? Записать их для некоторой точки этого объекта, чаще всего, для центра тяжести. Однако это необязательно, можно выбрать любую точку, которая неподвижна относительно самого объекта.

Итак, чтобы решать задачи на поступательное движение с протяженным объектом, ставим на нём точку в удобном месте, затем чертим схему, на которой отмечаем положение этой точки в заданные моменты времени. И не забываем перейти к одинаковым единицам измерения.

В следующих задачах с поездами, точку я ставила в самом начале - "на носу" поезда. Схему рисовала на нижней линии, а выше рисунки, которые её поясняют.

Задача 10

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение

1) Время дано в секундах, длину проезда нужно найти в метрах, поэтому выразим скорость в м/c. Умножим на 1000, чтобы перейти от километров к метрам, и дважды разделим на 60, чтобы перевести часы в минуты, а минуты в секунды: 80 км/ч = 80·1000/60/60 = 800/36 м/с.
2) Ставим красную точку "на носу" поезда. Чертим схему, на которой отмечаем положение этой точки, когда поезд только начал движение мимо столба, и положение этой точки через 36 секунд, когда поезд проехал мимо столба.

3) По схеме видно, что точка прошла расстояние AB. Известно время (36 с), известна скорость (800/36 м/с), можем найти это расстояние.
AB = (800/36)·36 = 800 (м).
4) Из рисунка видно, что это расстояние совпадает с длиной поезда.

Ответ: 800

Замечание: иногда лучше не производить до конца деление в промежуточных выкладках, потому что в конце дробь может легко сократиться, как это получилось здесь с числом 36.

Задача 11

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Решение

1) Время дано в минутах, длину проезда нужно найти в метрах, поэтому выразим скорость в м/мин: 60 км/ч = 60·1000/60 м/мин = 1000 м/мин.
2) Ставим красную точку "на носу" поезда. Чертим схему, на которой отмечаем положение этой точки, когда поезд начал движение мимо лесополосы, и положение этой точки через минуту, когда поезд только что проехал её полностью.

3) По схеме видно, что точка прошла расстояние . Известно время (1 мин), известна скорость (1000 м/мин), можем найти это расстояние: AC = 1000·1 = 1000 (м).
4) Из рисунка видно, что это расстояние состоит из двух частей - отрезок равен длине поезда и отрезок ВС равен длине лесополосы.
Находим = ACBC = 1000 − 400 = 600 (м).

Ответ: 600

Задача 12

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение

1) Время дано в минутах, ответ нужно дать в метрах, поэтому выражаем обе скорости в м/мин: 90 км/ч = 90·1000/60 = 1500 м/мин; 30 км/ч = 30·1000/60 = 500 м/мин.
2) Ставим красную точку "на носу" пассажирского поезда, и фиолетовую точку "на носу" товарного поезда. Чертим схему, на которой отмечаем положение обоих точек в момент, когда пассажирский поезд догнал товарный, и их положение через минуту, когда пассажирский поезд закончил обгон товарного.

3) По схеме видно, что красная точка прошла расстояние AD за 1 минуту со скоростью 1500 м/мин, следовательно AD = 1500·1 = 1500 (м). Аналогично, фиолетовая точка прошла расстояние за 1 минуту со скоростью 500 м/мин, следовательно BC = 500·1 = 500 (м).
4) Из рисунка видно, что AD = AB + ВС + CD, где отрезок равен длине пассажирского поезда, отрезок СD равен длине товарного поезда.
Находим длину пассажирского поезда = ADBCCD = 1500 − 500 − 600 = 400 (м).

Ответ: 400

Задача 13

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
1) Время дано в секундах, ответ нужно дать в метрах, поэтому выражаем обе скорости в м/с: 65 км/ч = 65·1000/60/60 м/с = 650/36 м/с; 35 км/ч = 35·1000/60/60 м/с = 350/36 м/с.
2) Ставим красную точку "на носу" скорого поезда и фиолетовую точку "на носу" пассажирского поезда. Чертим схему, на которой отмечаем положение обоих точек в момент, когда поезда встретились, и их положение через 36 секунд, когда они прошли друг друга.

3) По схеме видно, что фиолетовая точка прошла расстояние AB = (350/36)·36 = 350 метров, a красная точка прошла расстояние BD = (650/36)·36 = 650 метров.
4) Из рисунка видно, что сумма пройденных расстояний - отрезок AD - равна общей длине двух поездов. Найдем длину скорого поезда:
СD = AB + BDAC = 350 + 650 − 700 = 300 (метров).

Ответ: 300

Для тех из вас, кто знает, что такое относительная скорость, и не боится элементов физики в математических задачах, напоминаю, что существует приём, позволяющий заметно упростить решение задач на объезд, обгон и встречное движение. Нужно один объект "остановить", а скорость другого увеличить на величину скорости первого, если они движутся навстречу друг другу, или, соответственно, уменьшить, если оба движутся в одном направлении. Ниже приведено решение задач 12 и 13 этим способом.

Решение способом II для задачи 12.
Рассмотрим движение пассажирского поезда относительно товарного. Тогда товарный поезд "стоит", а пассажирский едет со скоростью 90 - 30 = 60 км/ч = 1000 м/мин. С этой скоростью за 1 минуту он проезжает расстояние 1000 м, равное длине товарного поезда плюс его собственная длина. (См. картинку к задаче 11 про лесополосу, в качестве которой теперь выступает "стоящий" товарный поезд.) Следовательно, его собственная длина = 1000 - 600 = 400 м.

Ответ: 400.

Решение способом II для задачи 13.
Рассмотрим движение скорого поезда относительно пассажирского. Тогда пассажирский поезд "стоит", а скорый едет со скоростью 65 + 35 = 100 км/ч = 100×1000/3600 = 1000/36 м/c. С этой скоростью за 36 секунд он проезжает расстояние 1000 м, равное длине пассажирского поезда плюс его собственная длина. (См. картинку к задаче 11 про лесополосу, в качестве которой теперь выступает "стоящий" пассажирский поезд.) Следовательно, его собственная длина = 1000 - 700 = 300 м.

Ответ: 300.

Какой способ лучше - судить вам. Но сначала попробуйте самостоятельно решить следующую задачу.

Задача 14

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй - длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Задачи на среднюю скорость.

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно их сложить и разделить сумму на количество слагаемых. Например, среднее арифметическое чисел 1, 12, 30, 45 равно 22. Но всегда ли на практике нас интересует именно среднее арифметическое? Если 19 учеников сдали экзамен на 5-ку и только один на 2-ку, можно ли считать, что класс в целом успевает посредственно и заслужил среднюю оценку (5 + 2)/2 = 3,5? Не справедливее ли было учесть "вес" 5-ки и 2-ки? В данном случае это можно сделать, сложив все оценки всех учеников и разделив сумму на число учеников в классе: (19×5 + 1×2)/20 = 4,85. Вполне достойный результат.

Итак, средняя величина и среднее арифметическое чисел, характеризующих эту величину, не одно и то же.
Средняя скорость движения на участке пути длиной S, пройденном за время t, определяется по формуле v = S/t.

Например, если автомобиль двигался 3 часа со скоростью 100 км/ч и 1 час со скоростью 10 км/ч, то за 4 часа он проехал расстояние S = 100×3 + 10×1 = 310 (км). Значит его средняя скорость составляла 310/4 = 77,5 км/ч. А если автомобиль двигался 3 часа со скоростью 10 км/ч и 1 час со скоростью 100 км/ч, то за 4 часа он проехал расстояние S = 10×3 + 100×1 = 130 (км), и его средняя скорость составляла 130/4 = 32,5 км/ч.

Для сравнения вычислим среднее арифметическое значение: (110 + 10)/2 = 55 (км/ч). В первом случае автомобиль большую часть времени ехал быстро, поэтому его средняя скорость больше среднего арифметического значения, а во втором - большую часть времени медленно, поэтому средняя скорость меньше среднего арифметического.

Рассмотрим еще два случая.
Пусть автомобиль двигался 2 часа со скоростью 100 км/ч и 2 часа со скоростью 10 км/ч, тогда за 4 часа он проехал расстояние S = 100×2 + 10×2 = 220 (км). Значит его средняя скорость составляла 220/4 = 55 км/ч, что совпадает со средним арифметическим значением. Так получилось потому, что вклад быстрого и медленного движения был одинаковым по времени.
И, наконец, пусть автомобиль двигался первые 110 км со скоростью 100 км/ч, а следующие 110 км со скоростью 10 км/ч, в итоге на первую половину пути он потратил 110/100 = 1,1 часа, а на вторую - 110/10 = 11 часов. Тогда весь путь 220 км он проехал за 1,1 + 11 = 12,1 часа со средней скоростью 220/12,1 = 18,18182 км/ч, что снова сильно отличается от среднего арифметического значения. Так получилось потому, что вклад быстрого и медленного движения был разным по времени, хотя и одинаковым по длине пройденных участков.

Задача 15

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час - со скоростью 100 км/ч, а затем два часа - со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача 16

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км - со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км - со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача 17

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть - со скоростью 120 км/ч, а последнюю - со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задачи на производительность.

Производительность труда - эффективность труда в процессе производства. Измеряется количеством продукции, произведенной в единицу времени, или количеством времени, затраченного на производство единицы продукции.
Производительность оборудования - объём продукции (работы), производимой в единицу времени данным оборудованием. Измеряется в тоннах, штуках, метрах и т.п. на единицу времени.

В любом случае к задачам на производительность, надо относиться так же, как к задачам на движение с заданной (или искомой) скоростью, так как

Производительность, проще говоря, это скорость производства:
- скорость движения = расстояние/время;
- производительность труда = объем продукции/время;
- производительность "трубы" = объем воды/время; и т.п.
Просто, читая условие задачи, нужно помнить, что трубы, насосы, станки ... - это оборудование, подготовка к экзамену, выполнение заказа, покраска забора ... - это труд.

Задача 18

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Задача 19

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня - на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Задача 20

Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй - за 30 минут, а третий - за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Задача 21

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Если у Вас возникли трудности с решением этих задач, то уверены ли Вы, что разобрались с более простыми текстовыми задачами в заданиях с меньшими номерами демонстрационного варианта?

Вернуться и повторить:
  1. Задачи только на действия с рациональными числами.
  2. Округление ответа.
  3. Задачи на наибольшее/наименьшее с целыми ответами.
  4. Применение пропорций.
  5. Задачи с округлением.
  6. Задачи на проценты.
  7. Прямые и обратные задачи.
  8. Задачи смешанные.
  9. Задачи на системы измерения величин.


Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2017.
 

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.