Задание ЕГЭ 2018 - экстремумы функции.

Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на темы, связанные с исследованием функций и их производных. В частности, речь идёт о поиске максимальных и минимальных значений функций, заданных аналитически, то есть формулой.

Точкой максимума (минимума) функции y = f(x) называется значение аргумента x = a такое, что существует окрестность точки a, в которой f(x) < f(a)  ( f(x) > f(a) )  для xa.

Максимумом (минимумом) функции называется её значение в точке экстремума, т.е. величина f(a).

Таким образом,

Что касается наибольших и наименьших значений функции на заданном отрезке, то для непрерывной функции они могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Графические иллюстрации к этой теме можно посмотреть здесь.
Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка совпадает с точкой соответствующего экстремума. Для ответа на такой вопрос задания следует сравнить значения функции в точках экстремума с её значениями на концах отрезка. (На практике для решения этой задачи не обязательно определять вид экстремума, достаточно вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка и сравнить их между собой.)

  1. Задачи на нахождение точек экстремума функции.
  2. Задачи на нахождение экстремумов функции.
  3. Задачи на определение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.

В 2018 году это задание имеет номер 12.

Задачи на нахождение точек экстремума функции.

Алгоритм нахождения точек экстремума.

1) Найти область определения функции.
2) Найти её производную f '(x).
3) Найти точки, в которых f '(x) не существует.
4) Найти точки в которых f '(x) = 0.
5) Отметить на числовой прямой область определения функции и все точки, выявленные в п.3 и п.4. Получатся промежутки области определения, на которых производная сохраняет постоянный знак.
6) Определить знак f '(x) для каждого промежутка. (Чаще всего это делается подстановкой "удобного" значения x из этого промежутка в полученную в п.2 формулу для производной.)
7) Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере в каждой из критических точек.

Задача 1

Найдите точку максимума функции y = (x + 7)·e7 − x.

1) Функция представляет собой произведение линейной и показательной функций, которые определены на всей действительной оси.
D(f) = (−∞;∞).

2) Вычисляем производную, пользуясь правилом дифференцирования произведения и формулами для производной степенной и показательной функций.
y' = ( (x + 7)·e7 − x )' =
= (x + 7)'·e7 − x + (x + 7)·(e7 − x)' =
= (1 + 0)·e7 − x + (x + 7)·e7 − x·(7 − x)' =
= e7 − x + (x + 7)·e7 − x·(0 − 1) =
= e7 − x − (x + 7)·e7 − x.
Вычисление производной завершено, но для облегчения действий в следующих пунктах, стоит преобразовать её к наиболее компактному виду.
e7 − x − (x + 7)·e7 − x = e7 − x·(1 − x − 7) = −e7 − x·(x + 6).
Итак, y ' = −e7 − x·(x + 6).

О формулах и правилах для вычисления производной было сказано подробнее в задании 8.

3) Выражение −e7 − x·(x + 6) определено во всех точках действительной оси.
Точек, где y' не существует, нет.

4) Решаем уравнение
e7 − x·(x + 6) = 0.
e7 − x ≠ 0 при любых значениях x,
(x + 6) = 0 при x = −6.

5) Изображаем "бесконечную" числовую ось, совпадающую в нашем случае с областью определения функции. Отмечаем на ней единственную найденную критическую точку x = −6.

6) Определяем знаки производной на получившихся двух участках оси.
При x < −6, например при x = −10, имеем
y' = −e7 − x·(x + 6) = −e7 + 10·(−10 + 6) = −e17·(−4) = 4e17 ≈ 4·2,717 > 0.
При x > −6, например при x = 7, имеем
y' = −e7 − x·(x + 6) = −e7 − 7·(7 + 6) = −e0·13 = −1·13 = −13 < 0.
Отмечаем на оси знаком "+" участок, где y' > 0 и знаком "−", где y' < 0.

7) На участках, где производная положительна, функция возрастает, а где производная отрицательна, фукнция убывает. Расставляем на рисунке соответствующие стрелочки. По стрелочкам видно, что в точке x = −6 функция переходит от возрастания к убыванию, значит это и есть искомая точка максимума.

Ответ: −6

Теперь проверьте свои силы. Сначала постарайтесь решить задачу самостоятельно, затем сравните ответ, потом можно раскрыть моё решение. Если ваше решение не совпадает с моим, оно не обязательно является неправильным.

Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Задача 2

Найдите точку минимума функции y = 4x − ln(x + 11) + 12.

Решение

По определению логарифма x + 11 > 0, следовательно D(f) = (−11;+∞).

y' = 4 −    1______x + 11 = ______4x + 43 x + 11.

В производной x ≠ −11, но это значение не входит в область определения функции, поэтому критической точкой не является.

y' = 0 при 4x + 43 = 0; x = −10,75.

y'(−10,9) = −0,6/0,1 = −6 < 0;
y'(−10) = 3/1 = 3 > 0;

Следовательно, x = −10,75 точка минимума функции.

Ответ: −10,75

Задача 3

Найдите точку максимума функции y = √16 − 4xx2___________ .

Решение

По определению арифметического корня 16 − 4xx2 ≥ 0. Полностью решать это неравенство пока не будем. Заметим только, что это квадратное неравенство и ветви соответствующей параболы направлены вниз. Можно сделать вывод, что неотрицательные значения квадратный трёхчлен будет иметь на участке между его корнями. D(f) = [x1 ; x2].

y' =    1____________2√16 − 4xx2__________ ·(16 − 4xx2)' = −   x + 2___________√16 − 4xx2__________ .

y' не существует в точках, где знаменатель дроби равен нулю, т.е.
при 16 − 4xx2 = 0. Эти точки мы уже обозначили x1 и x2. Они являются краями области определения функции.

y' = 0 при x + 2 = 0, x = −2.

Выбираем значения x для проверки знаков производной на получившихся двух участках. Пусть это будут −3 и 0. Убедимся, что не промахнулись мимо области определения функции, т.е. в том, что для этих точек выполняется неравенство для подкоренного выражения. (Если бы мы сразу дорешали неравенство до конца, то этого делать бы не пришлось. Точки выбирались бы по рисунку.)
16 − 4xx2 ≥ 0.
16 − 4·(−3) − (−3)2 = 19 ≥ 0.
16 − 4·0 − 02 = 16 ≥ 0.
Определяем знаки производной в этих точках

y'(x) = −   x + 2___________√16 − 4xx2__________ .



y'(−3) = − −3 + 2_____√19 __ =  1___√19 __ > 0.

y'(0) = − 0 + 2____√16 __ = − 2_4 = −0,5 < 0.

Следовательно, x = −2 точка максимума функции.

Ответ: −2

Замечание: Для кого-то может оказаться легче сразу решить квадратное уравнение и рисовать итоговый чертёж явно. Делайте так.
В данном случае x1 = −2 − 2√5_ ≈ −6,5; x2 = −2 + 2√5_ ≈ 2,5.

Задача 4

Найдите точку минимума функции y = (0,5 − x)cosx + sinx, принадлежащую промежутку (0, π/2).

Решение

D(f) = (−∞;∞).

y' = (0,5 − x)'·cosx + (0,5 − x)·(cosx)' + (sinx)' =
= −cosx − (0,5 − x)·sinx + cosx = (x − 0,5)·sinx

Точек, где y' не существует, нет.

Решаем уравнение y' = 0.
(x − 0,5)·sinx = 0 в случаях, когда
либо (x − 0,5) = 0, x = 0,5;
либо sinx = 0, xn = πn.

Проверяем принадлежность найденных значений x заданному промежутку.
Значения, кратные π, не принадлежат промежутку. При n = 0, x0 = 0, но заданный помежуток интервал и 0 в него не входит. Остальные значения больше π/2 или меньше 0.
0 < 0,5 < π/2 ≈ 1,57. Точка x = 0,5 входит в заданный промежуток и является точкой экстремума. Она является единственным кандидатом на ответ. Однако, следует убедиться, что это именно минимум функции. Для проверки знаков производной в окрестности x = 0,5 возьмём, например, x = 0,45 и x = 0,55.
y'(0,45) = (0,45 − 0,5)·sin0,45 = −0,05sin0,45 < 0;
y'(0,45) = (0,55 − 0,5)·sin0,55 = 0,05sin0,55 > 0
Таким образом, левеее точки 0,5 функция убывает, правее возрастает. Точка является точкой минимума.

Ответ: 0,5

Замечание: sin0,45 и sin0,55 положительны, т.к. исследуемый интервал соответствует первой четверти тригонометрического круга.

Задачи на нахождение экстремумов функции.

1) Находим точки экстремумов функции и определяем их характер так же, как в задачах выше.
2) Определяем значения функции в точках максимума или минимума в соответствии с вопросом задачи.
3) Если точек максимума (минимума) на области определения функции несколько, то максимумы (минимумы) называются локальными, а самый большой (самый маленький) называется глобальным максимумом (минимумом) или наибольшим (наименьшим) значением функции. Ещё раз читаем вопрос задачи и выбираем нужный.

Задача 5

Найдите наибольшее значение функции y = √5 − 4xx2_________ .

Решение

Первая часть решения полностью совпадает с решением задачи 3.

5 − 4xx2 ≥ 0. D(f) = [x1 ; x2]. Здесь x1 = −5; x2 = 1.

y' = −   x + 2___________√5 − 4xx2__________ .

y' не существует в точках −5 и 1.

y' = 0 при x + 2 = 0, x = −2.

y'(−3) = 1__√8_ > 0;  y'(0) = − 2__√5_ < 0.

Следовательно, x = −2 точка максимума функции.

Определяем значение функции в этой точке
y(x) = √5 − 4xx2__________
y(−2) = √5 − 4·(−2) − (−2)2_______________ = √9_ = 3.
По стрелкам на рисунке видно, что максимум на всей области определения функции единственный, поэтому полученное значение y(−2) = 3 и будет наибольшим значением функции.

Ответ: 3

Задача 6

Найдите наименьшее значение функции y = log3(x2 − 6x + 10) + 2.

Решение

По определению логарифма x2 − 6x + 10 > 0. Дискриминант этого квадратного трёхчлена D = 36 − 40 < 0, коэффициент при x2 равен 1 > 0, следовательно все его значения положительны. Область определения функции D(f) = (−∞;+∞).

y' =    1______________ (x2 − 6x + 10)·ln3·(x2 − 6x + 10)'+ 0 = ______________ 2x − 6(x2 − 6x + 10)·ln3.


Знаменатель этой дроби > 0 (ln3 > 1, т.к. 3 > e ≈ 2,7), поэтому точек, где y' не существует, нет.

y' = 0, если 2x − 6 = 0; x = 3.

Найденная точка экстремума единственная на области определения функции, разбивает её на два участка, причем при x < 3 y' < 0, а при x > 3 y' > 0, значит это точка глобального минимума.

Находим значение функции в этой точке
y(3) = log3(x2 − 6x + 10) + 2 = log3(32 − 6·3 + 10) + 2 = log31 + 2 = 0 + 2 = 2.
Это наименьшее значение функции на всей области определения.

Ответ: 2

Задачи на определение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.

Непрерывная на отрезке функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений либо во внутренних точках промежутка, либо на его концах. Поэтому для решения задач этого раздела достаточно определить значения функции в точках экстремума и сравнить их с её значениями на концах отрезка. Выявлять тип экстремума необязательно.

Если не будет соблюдено хотя бы одно из двух условий - функция окажется разрывной или в качестве промежутка будет задан интервал (полуинтервал), то потребуется полный анализ поведения функции и её производной, и не факт, что ответ будет существовать. На ЕГЭ задач с такими усложненными условиями пока не обнаружено, а те, кому просто интересно, могут пройти по ссылке и посмотреть здесь.

Задача 7

Найдите наибольшее значение функции y = x3 + 2x2 + x + 3 на отрезке [−4;−1].

D(f) = (−∞;+∞).
y' = 3x2 + 4x + 1.
Функция непрерывна на всей области определения.
Точек, где y' не существует, нет.
Решаем уравнение y' = 0: 3x2 + 4x + 1 = 0
Дискриминант D = 16 − 12 = 4. Корни x1,2 = −4 ± 2______  6, x1 = −1/3; x2 = −1.

Находим значения функции в этих точках и на краях отрезка
y(x) = x3 + 2x2 + x + 3;
y(−4) = (−4)3 + 2(−4)2 − 4 + 3 = −64 + 2·16 − 4 + 3 = −33;
y(−1/3) = (−1/3)3 + 2(−1/3)2 − 1/3 + 3 = −1/27 + 2·1/9 −1/3 + 3 = 223__27;
y(−1) = (−1)3 + 2·(−1)2 − 1 + 3 = −1 + 2 − 1 + 3 = 3.

Выбираем самое большое из получившихся значений y. Это y(−1) = 3.

Ответ: 3

Задача 8

Найдите наибольшее значение функции y = 36tgx − 36x + 9π + 7 на отрезке [−π/4; π/4].

Решение

На отрезке [−π/4; π/4] заданная функция определена и непрерывна (см. график tgx).

y' = 36·_____  1cos2x − 36 + 0;

y' не существует при cosx = 0, xn = _π2·n, n Є Z. Ни одна из этих точек не входит в промежуток [−π/4; π/4].

y' = 0 при cos2x = 1, cosx = ±1, xk = πk, k Є Z. Отрезку [−π/4; π/4] принадлежит только точка x0 = 0.

Определяем значения функции в этой точке и на концах отрезка.
y(x) = 36tgx − 36x + 9π + 7
y(0) = 36tg0 − 36·0 + 9π + 7 = 0 − 0 + 9π + 7 ≈ 9·3,14 + 7 = 35,26
y(−π/4) = 36tg(−π/4) − 36·(−π/4) + 9π + 7 = 36·(−1) + 9π + 9π + 7 = −29 + 18π ≈ −29 + 18·3,14 = 27,52
y(π/4) = 36tg(π/4) − 36·π/4 + 9π + 7 = 36·1 − 9π + 9π + 7 = 43.
Самым большим из этих чисел является число 43.

Ответ: 43

Замечание: При дифференцировании не забудьте, что π - такая же константа, как любое другое число. Поэтому π' = 0.

Задача 9

Найдите наибольшее значение функции y = 2x2 − 13x + 9lnx + 8 на отрезке [13__14 ; 15__14] .

Решение

Функция определена и непрерывна при всех x > 0, в том числе и на отрезке [13__14 ; 15__14].

y' = 4x − 13 + 9·1_x + 0 = 4x2 − 13x + 9___________  x

y' не существует при x = 0. Эта точка не входит в заданный промежуток. Не рассматриваем.

y' = 0 при 4x2 − 13x + 9 = 0
Решаем это квадратное уравнение через дискриминант, находим корни x1 = 1, x2 = 9/4 = 2,25.

x1 = 1 является серединой заданного отрезка, x2 = 2,25 не принадлежит отрезку. Значит нужно определить значения функции y(13/14), y(1) и y(15/14) и сравнить их между собой. Однако в данном случае вычисление значений y(13/14) и y(15/14) может оказаться слишком громоздким и с большой вероятностью привести к ошибкам. Проще вернуться к исследованию поведения производной в окрестности найденной точки экстремума.

y' представляет собой дробь, знаменатель которой на отрезке [13/14;15/14] положителен. Значит знак производной на этом отрезке зависит только от числителя, т.е. определяется знаком квадратного трёхчлена 4x2 − 13x + 9. Графиком этого квадратного трёхчлена является парабола с ветвями, направленными вверх (4 > 0), пересекающая ось абсцисс в двух точках x1 и x2. Чертим "от руки" эскиз этого графика и видим, что левее корня x1 квадратный трёхчлен, а значит и вся производная будут иметь знак "+", а правее - знак "−".
Вывод: заданная в условии задачи функция на заданном отрезке левее x1 = 1 возрастает, правее - убывает. Эта точка является точкой максимума внутри отрезка, значение функции в ней будет наибольшим.

Определяем его
y(x) = 2x2 − 13x + 9lnx + 8
y(1) = 2·12 − 13·1 + 9·ln1 + 8 = 2 − 13 + 9·0 + 8 = −3.

Ответ: −3

Задача 10

Найдите наименьшее значение функции y = x2 + 25______    x на отрезке [1;10].

Решение

На отрезке [1;10] функция определена и непрерывна (x = 0 не принадлежит отрезку).

y' = (x2 + 25)'·xx'·(x2 + 25)_____________________    (x)2 = (2x + 0)·x − 1·(x2 + 25)___________________     x2 = x2 − 25______    x2.

y' не существует при x = 0. Эта точка не входит в заданный промежуток.

y' = 0 при x2 − 25 = 0, x2 = 25, x = ±5.

x1 = −5 не принадлежит отрезку [1;10], x2 = 5 внутренняя точка отрезка.
Находим значения функции

y(x) = x2 + 25______    x;

y(1) = 12 + 25______    1 = 26;

y(5) = 52 + 25______    5 = 10;

y(10) = 102 + 25_______    10 = 12,5.

Наименьшее значение y(5) = 10.

Ответ: 10

Вернуться и повторить другие задачи на производную.

  1. Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
  2. Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.
  3. Задачи на геометрический смысл производной.
  4. Задачи на физический смысл производной.


Вернуться  к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ 2018.