Задание ЕГЭ 2017 - экстремумы функции.

Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Точкой максимума (минимума) функции y = f(x) называется значение аргумента x = a такое, что существует окрестность точки a, в которой f(x) < f(a) (f(x) > f(a)) для xa.

Максимумом (минимумом) функции называется её значение в точке экстремума, т.е. величина f(a).

Таким образом, если в задании стоит требование определить точки экстремума в ответе следует писать найденные значения x, если нужно указать сами экстремумы, то нужно определить значения y в этих точках, подставив их в формулу функции y = f(x).

Что касается наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке, то для непрерывной функции они могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка совпадает с точкой соответствующего экстремума.

Для ответа на такой вопрос следует сравнить значения функции в точках экстремума с её значениями на концах отрезка. (На практике для решения этой задачи не обязательно определять вид экстремума, достаточно вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка и сравнить их между собой.)
  1. Задачи на нахождение точек экстремума функции.
  2. Задачи на нахождение экстремумов функции.
  3. Задачи на определение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.

В 2017 году это задание имеет номер 12.

Задачи на нахождение точек экстремума функции.

Алгоритм нахождения точек экстремума.

1) Найти область определения функции.
2) Найти её производную f '(x).
3) Найти точки, в которых f '(x) не существует.
4) Найти точки в которых f '(x) = 0.
5) Отметить на числовой прямой область определения функции и все точки, выявленные в п.3 и п.4. Получатся промежутки области определения, на которых производная сохраняет постоянный знак.
6) Определить знак f '(x) для каждого промежутка. (Чаще всего это делается подстановкой "удобного" значения x из этого промежутка в полученную в п.2 формулу для производной.)
7) Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере в каждой из критических точек.

Задача 1

Найдите точку максимума функции y = (x + 7)e7 − x.

1) Функция представляет собой произведение линейной и показательной функций, которые определены на всей действительной оси.
D(f) = (−∞;∞).

2) Вычисляем производную, пользуясь правилом дифференцирования произведения и формулами для производной степенной и показательной функций.
y' = ( (x + 7)·e7 − x )' =
= (x + 7)'·e7 − x + (x + 7)·(e7 − x)' =
= (1 + 0)·e7 − x + (x + 7)·e7 − x·(7 − x)' =
= e7 − x + (x + 7)·e7 − x·(0 − 1) =
= e7 − x − (x + 7)·e7 − x.
Вычисление производной завершено, но для облегчения действий в следующих пунктах, стоит преобразовать её к наиболее компактному виду.
e7 − x − (x + 7)·e7 − x = e7 − x·(1 − x − 7) = −e7 − x·(x + 6).
Итак, y ' = −e7 − x·(x + 6).

О формулах и правилах для вычисления производной было сказано подробнее в задании 8.

3) Выражение −e7 − x·(x + 6) определено во всех точках действительной оси.
Точек, где y' не существует, нет.

4) Решаем уравнение
e7 − x·(x + 6) = 0.
e7 − x ≠ 0 при любых значениях x,
(x + 6) = 0 при x = −6.

5) Изображаем "бесконечную" числовую ось, совпадающую в нашем случае с областью определения функции. Отмечаем на ней единственную найденную критическую точку x = −6.

6) Определяем знаки производной на получившихся двух участках оси.
При x < −6, например при x = −10, имеем
y' = −e7 − x·(x + 6) = −e7 + 10·(−10 + 6) = −e17·(−4) = 4e17 ≈ 4·2,717 > 0.
При x > −6, например при x = 7, имеем
y' = −e7 − x·(x + 6) = −e7 − 7·(7 + 6) = −e0·13 = −1·13 = −13 < 0.
Отмечаем на оси знаком "+" участок, где y' > 0 и знаком "−", где y' < 0.

7) На участках, где производная положительна, функция возрастает, а где производная отрицательна, фукнция убывает. Расставляем на рисунке соответствующие стрелочки. По стрелочкам видно, что в точке x = −6 функция переходит от возрастания к убыванию, значит это и есть искомая точка максимума.

Ответ: −6

Задача 2

Найдите точку минимума функции y = 4x − ln(x + 11) + 12.

Задача 3

Найдите точку максимума функции y = √16 − 4xx2___________ .

Задача 4

Найдите точку минимума функции y = (0,5 − x)cosx + sinx, принадлежащую промежутку (0, π/2).

Задачи на нахождение экстремумов функции.

1) Находим точки экстремумов функции и определяем их характер так же, как в задачах выше.
2) Определяем значения функции в точках максимума или минимума в соответствии с вопросом задачи.
3) Если точек максимума (минимума) на области определения функции несколько, то максимумы (минимумы) называются локальными, а самый большой (самый маленький) называется глобальным максимумом (минимумом) или наибольшим (наименьшим) значением функции. Ещё раз читаем вопрос задачи и выбираем нужный.

Задача 5

Найдите наибольшее значение функции y = √5 − 4xx2_________ .

Задача 6

Найдите наименьшее значение функции y = log3(x2 − 6x + 10) + 2.

Задачи на определение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.

Непрерывная на отрезке функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений либо во внутренних точках промежутка, либо на его концах. Поэтому для решения задач этого раздела достаточно определить значения функции в точках экстремума и сравнить их с её значениями на концах отрезка. Выявлять тип экстремума необязательно.

Если не будет соблюдено хотя бы одно из двух условий - функция окажется разрывной или в качестве промежутка будет задан интервал (полуинтервал), то потребуется полный анализ поведения функции и её производной, и не факт, что ответ будет существовать. На ЕГЭ задач с такими усложненными условиями пока не обнаружено, а те, кому просто интересно, могут пройти по ссылке и посмотреть здесь.

Задача 7

Найдите наибольшее значение функции y = x3 + 2x2 + x + 3 на отрезке [−4;−1].
D(f) = (−∞;+∞).
y' = 3x2 + 4x + 1.
Функция непрерывна на всей области определения.
Точек, где y' не существует, нет.
Решаем уравнение y' = 0: 3x2 + 4x + 1 = 0
Дискриминант D = 16 − 12 = 4. Корни x1,2 = −4 ± 2______  6, x1 = −1/3; x2 = −1.

Находим значения функции в этих точках и на краях отрезка
y(x) = x3 + 2x2 + x + 3;
y(−4) = (−4)3 + 2(−4)2 − 4 + 3 = −64 + 2·16 − 4 + 3 = −33;
y(−1/3) = (−1/3)3 + 2(−1/3)2 − 1/3 + 3 = −1/27 + 2·1/9 −1/3 + 3 = 223__27;
y(−1) = (−1)3 + 2·(−1)2 − 1 + 3 = −1 + 2 − 1 + 3 = 3.

Выбираем самое большое из получившихся значений y. Это y(−1) = 3.

Ответ: 3

Задача 8

Найдите наибольшее значение функции y = 36tgx − 36x + 9π + 7 на отрезке [−π/4; π/4].

Задача 9

Найдите наибольшее значение функции y = 2x2 − 13x + 9lnx + 8 на отрезке [13__14 ; 15__14] .

Задача 10

Найдите наименьшее значение функции y = x2 + 25______    x на отрезке [1;10].

Вернуться и повторить другие задачи на производную.

  1. Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
  2. Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.
  3. Задачи на геометрический смысл производной.
  4. Задачи на физический смысл производной.

Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2017.
 

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.