Простейшие текстовые задачи.

Этот раздел содержит текстовые задачи ЕГЭ по математике на следующие темы.

  1. Задачи только на действия с рациональными числами.
  2. Округление ответа.
  3. Задачи на наибольшее/наименьшее с целыми ответами.
  4. Применение пропорций.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут встретиться под номерами 3 и 6 для базового уровня и под номером 1 для профильного уровня.

Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Задачи только на действия с рациональными числами.

Это обычнейшие текстовые задачи, привычные для школьника средних классов. Выпускники почему-то иногда пугаются и говорят, что не знают как решать, даже не дочитав до конца условие задачи. Я думаю, что это из-за желания вспомнить типовое решение вместо того, чтобы подумать над конкретной ситуацией. Как правило, к 11-му классу школы все знают, сколько грамм в килограмме, копеек в рубле, часов в сутках и т.д., умеют определить часть от целого и целое по его части, представить часть десятичной или обыкновенной дробью.

Задача 1

Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Маша купила 1 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 500 рублей?

Решение

Цена клубники дана за килограмм, поэтому вес купленной клубники нужно выразить в килограммах. В килограмме 1000 грамм, 200 г составляют двести тысячных или 2 десятых килограмма: 200/1000 = 2/10 = 0,2. Следовательно Маша купила 1,2 кг клубники и должна заплатить на неё 80×1,2 = 96 рублей. Она должна получить 500 − 96 = 404 рубля сдачи.

Ответ: 404

Задача 2.

Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 4:20 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

Решение

Обратим внимание на совпадение минут времени отправления и времени прибытия поезда. Это означает, что поезд находится в пути целое число часов. Точно такое же число, как если бы он отправлялся ровно в 15 часов и прибывал ровно в 4. Таким образом, в первый день поезд находится в пути 24 − 15 = 9 часов, а во второй 4 часа. Всего 9 + 4 = 13 часов.

Ответ: 13

Замечание: Задача была бы сложнее, если бы минуты не совпадали. Нужно было бы вспомнить, что час составляет 60 мин, а 20 минут - одну треть часа: 20/60 = 2/6 = 1/3.

Округление ответа.

В связи со спецификой проверки Вашей экзаменационной работы ответы на задания "с кратким ответом" должны быть целыми числами или конечными десятичными дробями. Поэтому во всех заданиях этой группы могут встретиться задачи, в которых нужно округлить полученный результат. Т.е. округление необходимо не по смыслу задачи (эти мы рассмотрим позднее), а по форме ответа. В таких случаях требование округлить число до заданной значащей цифры есть непосредственно в условии задачи.
По этому поводу вы изучали следующее правило:
При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая оставшаяся за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.
Пример.
Округлить число α = 2471,05624 с точностью
а) до тысяч    α ≈ 2000;
б) до сотен    α ≈ 2500;
в) до десятков    α ≈ 2470;
г) до единиц    α ≈ 2471;
д) до десятых    α ≈ 2471,1;
е) до сотых    α ≈ 2471,06;
ж) до тысячных    α ≈ 2471,056.

Обратите внимание: если указания округлить ответ в тексте условия не было, если задача не требовала округления по своему смыслу, а Вы получили ответ в виде бесконечной десятичной дроби или иррационального числа, то нужно искать ошибку.

Задача 3

Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

Решение

Дана связь между милями и метрами: 1 миля равна 1609 м. Знаем, как связан километр с метрами: 1 километр равен 1000 м. Следовательно, можем перейти от миль в час к метрам в час, а затем к километрам в час. 65 миль в час составляет 65×1609 = 104 585 м в час, что в свою очередь составляет 104 585 : 1000 = 104,585 км в час. Округляем ответ до целого 104,585 ≈ 105 км в час.

Ответ: 105

Замечание: Обратите внимание, решение задачи пропорцией вида "миля относится к километру, как скорость в милях к скорости в километрах" (1609 : 1000 = 65 : x, где х - искомая величина) было бы ошибкой. Здесь обратно пропорциональная зависимость - чем больше участок пути, который принят за единицу измерения, тем меньше таких участков можно пройти за единицу времени. Т.е., если решать пропорцией, то вида 1609 : 1000 = x : 65. Не забывайте, что здесь проверяется не только математика, но и умение применять её для решения "задач из различных областей науки и практики."

Задачи на наибольшее/наименьшее с целыми ответами.

Среди текстовых задач можно выделить такие, в условии которых содержится требование определить наибольшее или наименьшее целое значение. Они решаются как обычные, затем ответ округляется до целого в большую или в меньшую сторону.
Внимание: не по правилам округления! а по смыслу условия задачи.

Задача 4

Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?

Решение

Выражаем стоимость сырка в виде десятичной дроби, пользуясь тем, что копейка - сотая часть рубля. 7 рублей 20 копеек = 7,20 руб. Делим имеющуюся наличность на стоимость одного сырка 60 : 7,20 = 8,33333 и получаем количество сырков, которые могли бы купить за эти деньги, если бы сырки при продаже разрезали. Реально можем купить не более 8-ми сырков, таким образом, наибольшее число сырков 8.

Ответ: 8

Замечание: Чтобы определить наибольшее значение - округляем в меньшую сторону!

Задача 5

В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели?

Решение

За 4 недели будет израсходовано 1200×4 = 4800 листов бумаги, что составляет 4800/500 = 9,6 пачки. Надо купить 10 пачек бумаги.

Ответ: 10

Замечание: Чтобы определить наименьшее значение - округляем в большую сторону!

Чуть более сложный случай, когда в явном виде не сказано, что требуется указать в ответе - наибольшее или наименьшее значение. Об этом нужно догадаться по смыслу задачи.

Задача 6

В летнем лагере 218 детей и 26 воспитателей. В автобус помещается не более 45 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?

Решение

Всего нужно перевезти 218 + 26 = 244 пассажира. Если все автобусы заполнять по 45 человек, то потребуется 244 : 45 = 5,42222 автобуса. Но автобусы бывают только целыми и увезти нужно всех. Поэтому округляем до целого в большую сторону. Потребуется 6 автобусов.

Ответ: 6

Задача 7

Шоколадка стоит 35 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 200 рублей в воскресенье?

Решение

На 200 рублей в обычный день можно было бы купить 200 : 35 = 5,714 шоколадок, если бы их резали, а реально только 5 шоколадок. В воскресенье на каждые 2 из них добавляется 3-я. У нас 5 : 2 = 2,5 пары шоколадок, следовательно получим 2 дополнительных шоколадки. Всего 5 + 2 = 7 шоколадок.

Ответ: 7

Замечание: есть другой способ решения. Заплатив за две шоколадки 2×35 = 70 руб., покупатель получает три. Определим сколько раз у нас есть по 70 рублей. 200 : 70 = 2 раза и 60 руб. в остатке. Значит на 140 рублей можем получить 2×3 = 6 шоколадок, за 35 рублей купить еще одну, и 60 − 35 = 25 руб. останутся в виде сдачи. Всего 7 шоколадок.

Выше для решения задач использовалось округление до меньшего или большего целого. Часто более красивое и понятное решение получается с использованием не округления, а понятия деления с остатком. Правда, ученики, привыкшие к калькулятору, не очень умело им владеют. Пример, такого решения был в замечании к предыдущей задаче. Рассмотрим еще две.

Задача 8

В доме, в котором живет Петя, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Петя живет в квартире 50. На каком этаже живет Петя?

Решение

50 : 6 = 8 и 2 в остатке. Петя живет на 9-ом этаже.

Замечание: есть другой способ решения. 50 : 6 = 8,333333. Округляем до большего целого. Вывод: Петя живет на 9-ом этаже.
Этот способ привычнее и проще для любителей калькулятора, но уверена, что в реальной жизни в лифте большинство пользуется именно делением с остатком, потому что так мы можем определить не только этаж, но и примерное расположение квартиры. Петина квартира вторая с краю.

Ответ: 9

Задача 9

В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 3 курсов, по 360 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 9 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

Решение

Определим, сколько всего книг привезли в библиотеку?
360×3 = 1080.
И сколько книг помещается в одном шкафу?
25×9 = 225.
Вычислим необходимое количество шкафов делением в столбик.
  1080   | 225
−  900    ¯¯¯¯
——
  180
4

Получили 4 целых и 180 в остатке. Значит полностью заполнены новыми учебниками только 4 шкафа.

Ответ: 4

Замечание: можно иначе. 1080 : 225 = 4,8. Округляем до меньшего целого.

Применение пропорций.

Пропорцию вы изучали на уроках математики в пятом-шестом классах. Многие уже подзабыли её основное свойство, хотя само понятие пропорциональности уже прочно вошло в сознание благодаря урокам физики, химии, процентам ...
Пусть a, b, c, d – действительные числа, неравные нулю, и пусть верно равенство a : b = c : d. Это равенство называют пропорцией, числа a и d - крайними членами, числа b и c - средними членами пропорции.
Основное свойство - произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов: a·d = b·c.
Кроме того, крайние члены пропорции можно поменять местами, т.е. если a : b = c : d, то d : b = c : a, и средние члены пропорции можно поменять местами, т.е. если a : b = c : d, то a : c = b : d

Впрочем пропорцию можно записать и в виде равенства двух дробей  ab = cd  . Тогда свойства пропорции будут получаться в результате приведения дробей к общему знаменателю и последующего деления обеих частей равенства на одно и то же число. Попробуйте самостоятельно вывести приведенные выше утверждения таким способом.

Главное, что следует помнить при составлении пропорций для решения текстовых задач, в обеих частях равенства должны получаться одинаковые отношения единиц измерения величин. А еще лучше, если пропорция будет составлена так, что единицы измерения сократятся.

Задача 10

Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 36 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)

Решение

Искомую скорость в милях в час обозначим переменной х. Тогда условие задачи коротко можно записать так:
1 миля равна 1,6 км;
х миль равны 36 км.
Последнее утверждение верно потому, что в обоих случаях мы рассматриваем скорость как расстояние, пройденное за 1 час.
Составляем пропорцию 1 : 1,6 = x : 36.
Проверяем размерности миля/км = миля/км.
Используем основное свойство пропорции, чтобы найти x.
x·1,6 = 1·36; x = 36/1,6 = 22,5.

Ответ: 22,5

Замечание: обязательно вернитесь к задаче № 3 и проанализируйте её. Как нужно кратко записать условие, чтобы не сделать ошибку при составлении пропорции?

Задача 11

Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина — 20 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

Решение

Определим стоимость 9 литров топлива 9×20 = 180 (рублей), и составим пропорцию
расход средств на 100 км – 180 рублей;
расход средств на 6000 км – x рублей.
Тогда 100 : 180 = 6000 : x.
x·100 = 180·6000; x = 180·6000/100 = 10800.

Ответ: 10800


Задача 11A

Три толстяка ели галушки в ресторане "Золотое сечение". Количество галушек, съеденных каждым толстяком, было пропорционально его весу. Когда принесли счёт, они обнаружили, что общая стоимость обеда составила 3240 рублей. Сколько рублей должен внести каждый толстяк на оплату счёта, если первый из них весил 90 кг, второй - 120 кг, а третий - 150 кг?

Решение

Общий вес толстяков составил 90 + 120 + 150 = 360 кг. Следовательно, за галушки, приходящиеся на 1 кг веса, нужно заплатить 3240/360 = 9 рублей. Поэтому первый толстяк должен внести 9×90 = 810 рублей, второй — 9×120 = 1080 рублей и третий — 9×150 = 1350 рублей.

Если тебя зовут Нина К., то, пожалуйста, подумай над решением сама. Если иначе - можешь посмотреть моё решение.


Перейти к решению текстовых задач ЕГЭ по математике на другие темы:

  1. Задачи с округлением.
  2. Задачи на проценты.
  3. Прямые и обратные задачи.
  4. Задачи смешанные.
  5. Задачи на системы измерения величин.

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.