Текстовые задачи: целые и дроби, проценты.

Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на следующие темы.

  1. Задачи с округлением.
  2. Задачи на проценты.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2017 года они могут быть под номерами 3 и 6 для базового уровня и под номером 1 для профильного уровня.

Задачи с округлением.

Следует различать случаи, когда округление ответа необходимо выполнить по правилам округления, а когда этого требует смысл задачи. Сраните следующие две задачи.

Задача 1

В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Задача 2

Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

Вернуться и повторить текстовые задачи на темы:

  1. Задачи только на действия с рациональными числами.
  2. Округление ответа.
  3. Задачи на наибольшее/наименьшее с целыми ответами.
  4. Применение пропорций.

Задачи на проценты.

Процентом (per cent - на сто) называется сотая часть числа: 1% = 0,01.
Значит 3% это 3 сотых части числа, а 40%, соответственно, сорок сотых.
Поэтому решать задачи на проценты легче всего умножением на соответствующие десятичные дроби.
Например: 5% = 0,05;   50% = 0,50 = 0,5;   100% = 1,00 = 1;   125% = 1,25;   730% = 7,30 = 7,3; ...

1) Найдём 23% от числа 777.
   23% = 0,23;  777·0,23 = 178,71.  Ответ: 178,71
2) Найдём число, 135% от которого составляет 702.
   135% = 1,35;  искомое число = x;   x·1,35 = 702;   x = 702/1,35 = 520.  Ответ: 520
3) Определим, какой процент от числа 600 составляет число 150.
   x% = x/100; 600·(x/100) = 150;  x = (150/600)·100 = 0,25·100 = 25.   Ответ: 25%.

Также бывает удобно записать в явном виде, что принимаем за 100% и решать задачу пропорцией. Сделаем это для предыдущих 3-ёх примеров.
1)х – 23%;   777 – 100%;
   х : 23 = 777 : 100; х = 777×23/100 = 777×0,23 = 178,71.
2) 702 – 135%;   х – 100%;
   702 : 135 = х : 100; х = 702×100/135 = 702/1,35 = 520.
3)150 – х%;   600 – 100%;
   150 : х = 600 : 100; х = (150/600)×100 = 0,25×100 = 25(%).

Другими словами, всё как обычно: часть от числа находится умножением на дробь, число по его части, в конечном итоге, находится делением. Главное - разобраться к какому числу относится процент. Для этого нужно очень внимательно читать текст условия задачи, обращать внимание на все предлоги, особенно на предлоги "от", "из", "среди" и другие ключевые слова-подсказки. Здесь эти слова выделены. Постарайтесь уловить связь между ними и решением задачи.

Задача 3

Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили первую задачу. Сколько человек правильно решили первую задачу?

Задача 4

В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?

Задача 5

Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

Задачи 3,4,5 относятся к самому простому виду задач на проценты. Они решаются в одно действие так же, как предыдущие числовые примеры. Но таких задач немного. Чаще встречается ситуация, когда кроме процентов нужно провести еще дополнительные вычисления.

Задача 6

Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Задача 7

Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?

Следующие задачи могут показаться более сложными, потому что в них "вложенные" проценты, т.е. требуется определить "часть части". Пусть вас это не смущает, просто решайте последовательно, по действиям. Делая каждое действие, внимательно смотрите к какой величине относится процент.

Задача 8

В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Задача 9

В школе 800 учеников, из них 30% - ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

В заданиях ЕГЭ немало задач на изменение величины, данное в процентах. Их легко отличить по фразам типа "увеличилось на ... процентов" или "уменьшилось на ... процентов".
Советую запомнить как правило: "Если в условии не оговорено ничего другого, то всегда считаем, что перед изменением величина составляла 100%". Если она увеличилась, то, проценты складываем, если уменьшилась - проценты вычитаем.

Задача 10

Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Задача 11

Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Задача 12

Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 10000 рублей?

В следующей задаче обратите внимание на выделенный предлог "под". Он напрямую не указывает на увеличение или на уменьшение числа на несколько процентов. Взять кредит под процент и сделать вклад под процент - это разные вещи. В первом случае банк берет с клиента некоторую дополнительную сумму, во втором - выплачивает вкладчику. В подобных задачах нужно внимательно прочитать всё условие, чтобы вникнуть в предлагаемые обстоятельства.

Задача 13

Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Задача 14

В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Если вы поняли решение последней задачи, то попробуйте ответить на такой вопрос:
За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он или поправился за год?
Решение можно прислать мне на E-mail для проверки.

Продолжить решение текстовых задач ЕГЭ 2017 по математике :

  1. Прямые и обратные задачи.
  2. Задачи смешанные.
  3. Задачи на системы измерения величин.

Перейти   по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2017.

   ©mathematichka

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Для проживающих в Сергиевом Посаде возможны очные занятия.