Текстовые задачи: целые и дроби, проценты.

Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на следующие темы:

  1. Задачи с округлением.
  2. Задачи на проценты.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут быть под номерами 3 и 6 для базового уровня и под номером 1 для профильного уровня.

Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Задачи с округлением.

Следует различать случаи, когда округление ответа необходимо выполнить по правилам округления, а когда этого требует смысл задачи. Сраните следующие две задачи.

Задача 1

В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Решение

На покупку 3 кг помидоров было потрачено 3×4 = 12 гривен, что составляет 12×3,70 = 44,40 рублей. (Здесь перешли к десятичному представлению стоимости гривны 3 рубля 70 копеек = 3,70 руб., исходя из того, что копейка - это сотая часть рубля. Вряд ли найдется кто-то, кто в одиннадцатом классе этого не знает.) Округляем ответ до целого 44,40 ≈ 44 рубля.

Ответ: 44

Задача 2

Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

Решение

Определим, сколько всего граммов лекарства должен выпить больной: 0,5×3 = 1,5 г за день, и 1,5×21 = 31,5 г за курс лечения. В одной упаковке 0,5×10 = 5 г лекарства. Значит на курс нужно 31,5 : 5 = 6,3 упаковки. 6-ти упаковок не хватит, придется взять 7. Таким образом, наименьшее число упаковок 7.

Ответ: 7

Замечание: Здесь можно было заметить, что одна таблетка весит как раз 0,5 г и решать задачу не в граммах на курс, а в таблетках на курс.

Вернуться и повторить текстовые задачи на темы:

  1. Задачи только на действия с рациональными числами.
  2. Округление ответа.
  3. Задачи на наибольшее/наименьшее с целыми ответами.
  4. Применение пропорций.
 

Задачи на проценты.

Процентом (per cent - на сто) называется сотая часть числа: 1% = 0,01.
Значит 3% это 3 сотых части числа, а 40%, соответственно, сорок сотых.
Поэтому решать задачи на проценты легче всего умножением на соответствующие десятичные дроби.
Например: 5% = 0,05;   50% = 0,50 = 0,5;   100% = 1,00 = 1;   125% = 1,25;   730% = 7,30 = 7,3; ...

1) Найдём 23% от числа 777.
   23% = 0,23;  777·0,23 = 178,71.  Ответ: 178,71
2) Найдём число, 135% от которого составляет 702.
   135% = 1,35;  искомое число = x;   x·1,35 = 702;   x = 702/1,35 = 520.  Ответ: 520
3) Определим, какой процент от числа 600 составляет число 150.
   x% = x/100; 600·(x/100) = 150;  x = (150/600)·100 = 0,25·100 = 25.   Ответ: 25%.

Также бывает удобно записать в явном виде, что принимаем за 100% и решать задачу пропорцией. Сделаем это для предыдущих 3-ёх примеров.
1)х – 23%;   777 – 100%;
   х : 23 = 777 : 100; х = 777×23/100 = 777×0,23 = 178,71.
2) 702 – 135%;   х – 100%;
   702 : 135 = х : 100; х = 702×100/135 = 702/1,35 = 520.
3)150 – х%;   600 – 100%;
   150 : х = 600 : 100; х = (150/600)×100 = 0,25×100 = 25(%).

Другими словами, всё как обычно: часть от числа находится умножением на дробь, число по его части, в конечном итоге, находится делением. Главное - разобраться к какому числу относится процент. Для этого нужно очень внимательно читать текст условия задачи, обращать внимание на все предлоги, особенно на предлоги "от", "из", "среди" и другие ключевые слова-подсказки. Здесь эти слова выделены. Постарайтесь уловить связь между ними и решением задачи.

Задача 3

Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили первую задачу. Сколько человек правильно решили первую задачу?

Решение

Количество выпускников, правильно решивших задачу, дано в процентах от числа всех выпускников города. Т.о. нужно найти 94% от числа 27500.
94% = 0,94;  0,94×27500 = 25850.

Ответ: 25850

Задача 4

В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?

Решение

124 ученика составляют 25% от всех. 25% = 0,25. Всех = x.
x·0,25 = 124;  x = 124 : 0,25 = 496 (учеников).

Ответ: 496

Замечание: Задача на проценты, в которой нужно найти часть от целого, называется прямой и решается умножением. Задача, в которой нужно найти целое по его части, называется обратной. В конечном итоге, она решается обратным действием, т.е. делением.

Задача 5

Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

Решение

Пенсионер заплатил на 40 - 38 = 2 рубля меньше, что и является скидкой. Объявленная магазином цена покупки составляет 40 рублей. Следовательно, задача сводится к определению, какой процент от числа 40 составляет число 2?
2/40 = 0,05, 0,05×100 = 5, т.е. 5%.

Ответ: 5

Задачи 3,4,5 относятся к самому простому виду задач на проценты. Они решаются в одно действие так же, как предыдущие числовые примеры. Но таких задач немного. Чаще встречается ситуация, когда кроме процентов нужно провести еще дополнительные вычисления.

Задача 6

Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Решение

Определим стоимость билета школьника. Она дана в процентах от стоимости взрослого билета, равной 720 руб. Поэтому 50% = 0,5.  0,5×720 = 360.
Билеты для школьников стоят 15×360 = 5400, билеты для взрослых 2×720 = 1440. Всего 5400 + 1440 = 6840 (руб.)

Ответ: 6840

Задача 7

Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?

Решение

Процент дан от полной стоимости всей покупки, поэтому сначала определим эту стоимость. 24×60 = 1440. Тогда скидка составляет 10% = 0,1;  0,1×1440 = 144 (рубля). Стоимость покупки со скидкой 1440 - 144 = 1296. Покупатель берет больше 50-ти тетрадей, значит он заплатит стоимость покупки со скидкой, т.е. 1296 рублей.

Ответ: 1296

Замечание: Число 50 присутствует в задаче, но не участвует в вычислениях. Оно нужно для выбора ответа. Подумайте, как бы изменилась задача, если бы покупалось 45 тетрадей.

Следующие задачи могут показаться более сложными, потому что в них "вложенные" проценты, т.е. требуется определить "часть части". Пусть вас это не смущает, просто решайте последовательно, по действиям. Делая каждое действие, внимательно смотрите к какой величине относится процент.

Задача 8

В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Решение

Способ I.
1) Среди них (= среди всех жителей города) 15% детей и подростков. 15% = 0,15.  0,15×200000 = 30000. Значит в городе 30000 детей и подростков. Остальные взрослые. 200000 - 30000 = 170000 взрослых.
2) Среди взрослых 45% неработающих. 45% = 0,45.  0,45×170000 = 76500. Значит в городе 76500 неработающих взрослых. Остальные работают. 170000 - 76500 = 93500 взрослых жителей работает.

Способ II.
1) Среди жителей города 15% детей и подростков, остальные 100% - 15% = 85% взрослых.  85% = 0,85.  0,85×200000 = 170000 взрослых жителей.
2) Среди взрослых 45% неработающих, остальные 100% - 45% = 55% работают.  55% = 0,55.  0,55×170000 = 93500

Ответ: 93500

Замечания:
- Два раза встретился знак % - два раза разбираемся к чему он относится.
- Второй способ основан на том, что полное число, т.е. то число, от которого нужно вычислить процент можно обозначить как 100%. Ведь 100% = 1, а от умножения на единицу ничего не изменится.
- Решение способом II логически такое же, как способом I, но вычисления выглядят короче, потому что на этапе вычитания мы работаем с меньшими числами. Собственно для этого проценты и придуманы.

Задача 9

В школе 800 учеников, из них 30% - ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

Решение

1) Из них (всех учеников школы) 30% в начальной школе. 30% = 0,30.  0,30×800 = 240. Значит 240 учеников в начальной школе. Остальные старше. 800 - 240 = 560 учеников в средней и старшей школе.
2) Среди средних и старших 20% учат немецкий. 20% = 0,20;  0,20×560 = 112. Значит 112 учеников средней и старшей школы учат немецкий.
Всего учат немецкий в школе 112 + 0 = 112 учеников. (0 учеников учат немецкий в начальной школе.)

Ответ: 112

Замечание: Первое действие можно сделать иначе.
Из всех учеников школы 30% в начальной школе, остальные 100% - 30% = 70% старше. 70% = 0,70.  0,70×800 = 560.

В заданиях ЕГЭ немало задач на изменение величины, данное в процентах. Их легко отличить по фразам типа "увеличилось на ... процентов" или "уменьшилось на ... процентов".
Советую запомнить как правило: "Если в условии не оговорено ничего другого, то всегда считаем, что перед изменением величина составляла 100%". Если она увеличилась, то, проценты складываем, если уменьшилась - проценты вычитаем.

Задача 10

Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Решение

Способ I.
Цена чайника увеличилась на 16% и стала составлять 100% + 16% = 116% от первоначальной (116% = 1,16). Если сначала чайник стоил x рублей, то после повышения стал стоить 1,16·x рублей, что составляет 3480 рублей.
1,16·x = 3480;  x = 3480 : 1,16 = 3000.

Способ II.
Цена на чайник была x рублей, что составляло 100%. Стала 3480 рублей, что составляет 100% + 16% = 116%.
Составим пропорцию: x : 3480 = 100 : 116;  x/3480 = 100/116;  x = 3480×100/116 = 3000.

Ответ: 3000

Замечание: Задачи на проценты бывает удобно решать пропорцией, когда в явном виде записано, что принимаем за 100%.

Задача 11

Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Решение

Способ I.
Цена футболки уменьшилась на 800 - 680 = 120 рублей. Определим, какую часть от первоначальной цены (800 рублей) составляет скидка (120 рублей): 120/800 = 12/80 = 3/20 = 0,15. 0,15 = 15% (по определению " % " - это и есть сотая часть). Цена снижена на 15%.

Способ II.
Цена футболки была 800 рублей, что составляло 100%. Стала 680 рублей, что составляет x%.
Составим пропорцию: 800 : 680 = 100 : x;  800/680 = 100/x;  x = 680×100/800 = 85(%);
Цена стала составлять 85% от первоначальной, значит она уменьшилась на 100% - 85% = 15%. Цена снижена на 15%.

Ответ: 15

Замечание: Задачи на проценты бывает удобно решать пропорцией, когда в явном виде записано, что принимаем за 100%.

Задача 12

Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 10000 рублей?

Решение

Определим оптовую цену, например, с помощью пропорции.
х рублей – 100%;    180 рублей – 120%;
х : 100 = 180 : 120; х = (180/120)·100 = 150 рублей;
На 10000 рублей по такой цене можно было бы купить 10000/150 = 66,6666... учебников, если бы они продавались "на вес". Но поскольку учебники продаются штуками, то округляем до меньшего целого. Получаем 66 учебников.

Ответ: 66

Замечание: Не перепутайте - розничная цена на 30 рублей выше оптовой это то же самое, что оптовая цена на 30 рублей ниже розничной. Но! розничная цена на 20% выше оптовой, это не то же самое, что оптовая цена на 20% ниже розничной! Процент - это не единица измерения, это часть числа. Поэтому всегда надо сначала определиться с ответом на вопрос "какого числа?" (или "что составляет 100%?"). За основное берется то число, с которым сравнивают в условии задачи.
В данном случае имеем: 30/150 = 0,20 и 30/180 ≈ 0,17, т.е. разница в ценах составляет 20% от оптовой цены и примерно 17% от розничной.

В следующей задаче обратите внимание на выделенный предлог "под". Он напрямую не указывает на увеличение или на уменьшение числа на несколько процентов. Взять кредит под процент и сделать вклад под процент - это разные вещи. В первом случае банк берет с клиента некоторую дополнительную сумму, во втором - выплачивает вкладчику. В подобных задачах нужно внимательно прочитать всё условие, чтобы вникнуть в предлагаемые обстоятельства.

Задача 13

Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Решение

Клиент должен вернуть банку на 16% больше, чем взял, т.е. всего 12000×1,16 = 13920 рублей. В месяц он должен вносить 13920/12 = 1160 рублей.

Ответ: 1160

Задача 14

В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Решение

Прежде всего вспомним правило "Всегда считаем, что перед изменением величина составляла 100%."
1) Определим, сколько стоил виноград в октябре. 60 рублей это 100%,  x рублей это 100% + 25% = 125% = 1,25. В октябре виноград стоил 60×1,25 = 75 (руб.)
2) Определим сколько стоил виноград в ноябре. 75 рублей это 100%, x рублей это 100% + 20% = 120% = 1,20. В ноябре виноград стоил 75×1,2 = 90 (руб.)

Ответ: 90

Замечание: 25% и 20% подорожания нельзя складывать, так как они относятся к разным ценам. В октябре виноград дорожал относительно сентябрьской цены, а в ноябре - относительно октябрьской. Перед изменением цены в октябре было 30 сентября, виноград в этот день стоил 60 рублей, и это составляло 100%. А перед изменением цены в ноябре было 31 октября, когда виноград стоил 75 рублей, и это составляло (другие) 100%

Если вы поняли решение последней задачи, то попробуйте ответить на такой вопрос:
За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он или поправился за год?
Решение можно прислать мне на E-mail для проверки.

Продолжить решение текстовых задач ЕГЭ 2018 по математике :

  1. Прямые и обратные задачи.
  2. Задачи смешанные.
  3. Задачи на системы измерения величин.

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.