Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на следующие темы:
В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года они могут быть под номерами 2 и 6 для базового уровня, а также стать составной частью задания 8 профильного уровня.
Задачи с округлением.
Следует различать случаи, когда округление ответа необходимо выполнить по правилам округления, а когда этого требует смысл задачи. Сраните следующие две задачи.Задача 1
В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг помидоров по цене 4 гривны за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.Решение
На покупку 3 кг помидоров было потрачено 3×4 = 12 гривен, что составляет 12×3,70 = 44,40 рублей. (Здесь перешли к десятичному представлению стоимости гривны 3 рубля 70 копеек = 3,70 руб., исходя из того, что копейка - это сотая часть рубля. Вряд ли найдется кто-то, кто в одиннадцатом классе этого не знает.) Округляем ответ до целого 44,40 ≈ 44 рубля.Ответ: 44
Задача 2
Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?Решение
Определим, сколько всего граммов лекарства должен выпить больной: 0,5×3 = 1,5 г за день, и 1,5×21 = 31,5 г за курс лечения. В одной упаковке 0,5×10 = 5 г лекарства. Значит на курс нужно 31,5 : 5 = 6,3 упаковки. 6-ти упаковок не хватит, придется взять 7. Таким образом, наименьшее число упаковок 7.Ответ: 7
Замечание: Здесь можно было заметить, что одна таблетка весит как раз 0,5 г и решать задачу не в граммах на курс, а в таблетках на курс.
Вернуться и повторить текстовые задачи на темы:
- Задачи только на действия с рациональными числами.
- Округление ответа.
- Задачи на наибольшее/наименьшее с целыми ответами.
- Применение пропорций.
Задачи на проценты.
Поэтому решать задачи на проценты легче всего умножением на соответствующие десятичные дроби.
Например: 5% = 0,05; 50% = 0,50 = 0,5; 100% = 1,00 = 1; 125% = 1,25; 730% = 7,30 = 7,3; ...
1) Найдём 23% от числа 777.
23% = 0,23; 777·0,23 = 178,71. Ответ: 178,71
2) Найдём число, 135% от которого составляет 702.
135% = 1,35; искомое число = x; x·1,35 = 702; x = 702/1,35 = 520. Ответ: 520
3) Определим, какой процент от числа 600 составляет число 150.
x% = x/100; 600·(x/100) = 150; x = (150/600)·100 = 0,25·100 = 25. Ответ: 25%.
Также бывает удобно записать в явном виде, что принимаем за 100% и решать задачу пропорцией. Сделаем это для предыдущих 3-ёх примеров.
1)х – 23%; 777 – 100%;
х : 23 = 777 : 100; х = 777×23/100 = 777×0,23 = 178,71.
2) 702 – 135%; х – 100%;
702 : 135 = х : 100; х = 702×100/135 = 702/1,35 = 520.
3)150 – х%; 600 – 100%;
150 : х = 600 : 100; х = (150/600)×100 = 0,25×100 = 25(%).
Другими словами, всё как обычно: часть от числа находится умножением на дробь, число по его части, в конечном итоге, находится делением. Главное - разобраться к какому числу относится процент. Для этого нужно очень внимательно читать текст условия задачи, обращать внимание на все предлоги, особенно на предлоги "от", "из", "среди" и другие ключевые слова-подсказки. Здесь эти слова выделены. Постарайтесь уловить связь между ними и решением задачи.
Задача 3
Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили первую задачу. Сколько человек правильно решили первую задачу?Решение
Количество выпускников, правильно решивших задачу, дано в процентах от числа всех выпускников города. Т.о. нужно найти 94% от числа 27500.94% = 0,94; 0,94×27500 = 25850.
Ответ: 25850
Задача 4
В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?Решение
124 ученика составляют 25% от всех. 25% = 0,25. Всех = x.x·0,25 = 124; x = 124 : 0,25 = 496 (учеников).
Ответ: 496
Замечание: Задача на проценты, в которой нужно найти часть от целого, называется прямой и решается умножением. Задача, в которой нужно найти целое по его части, называется обратной. В конечном итоге, она решается обратным действием, т.е. делением.
Задача 5
Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?Решение
Пенсионер заплатил на 40 - 38 = 2 рубля меньше, что и является скидкой. Объявленная магазином цена покупки составляет 40 рублей. Следовательно, задача сводится к определению, какой процент от числа 40 составляет число 2?2/40 = 0,05, 0,05×100 = 5, т.е. 5%.
Ответ: 5
Задачи 3,4,5 относятся к самому простому виду задач на проценты. Они решаются в одно действие так же, как предыдущие числовые примеры. Но таких задач немного. Чаще встречается ситуация, когда кроме процентов нужно провести еще дополнительные вычисления.
Задача 6
Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?Решение
Определим стоимость билета школьника. Она дана в процентах от стоимости взрослого билета, равной 720 руб. Поэтому 50% = 0,5. 0,5×720 = 360.Билеты для школьников стоят 15×360 = 5400, билеты для взрослых 2×720 = 1440. Всего 5400 + 1440 = 6840 (руб.)
Ответ: 6840
Задача 7
Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?Решение
Процент дан от полной стоимости всей покупки, поэтому сначала определим эту стоимость. 24×60 = 1440. Тогда скидка составляет 10% = 0,1; 0,1×1440 = 144 (рубля). Стоимость покупки со скидкой 1440 - 144 = 1296. Покупатель берет больше 50-ти тетрадей, значит он заплатит стоимость покупки со скидкой, т.е. 1296 рублей.Ответ: 1296
Замечание: Число 50 присутствует в задаче, но не участвует в вычислениях. Оно нужно для выбора ответа. Подумайте, как бы изменилась задача, если бы покупалось 45 тетрадей.
Следующие задачи могут показаться более сложными, потому что в них "вложенные" проценты, т.е. требуется определить "часть части". Пусть вас это не смущает, просто решайте последовательно, по действиям. Делая каждое действие, внимательно смотрите к какой величине относится процент.
Задача 8
В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?Решение
Способ I.1) Среди них (= среди всех жителей города) 15% детей и подростков. 15% = 0,15. 0,15×200000 = 30000. Значит в городе 30000 детей и подростков. Остальные взрослые. 200000 - 30000 = 170000 взрослых.
2) Среди взрослых 45% неработающих. 45% = 0,45. 0,45×170000 = 76500. Значит в городе 76500 неработающих взрослых. Остальные работают. 170000 - 76500 = 93500 взрослых жителей работает.
Способ II.
1) Среди жителей города 15% детей и подростков, остальные 100% - 15% = 85% взрослых. 85% = 0,85. 0,85×200000 = 170000 взрослых жителей.
2) Среди взрослых 45% неработающих, остальные 100% - 45% = 55% работают. 55% = 0,55. 0,55×170000 = 93500
Ответ: 93500
Замечания:
- Два раза встретился знак % - два раза разбираемся к чему он относится.
- Второй способ основан на том, что полное число, т.е. то число, от которого нужно вычислить процент можно обозначить как 100%. Ведь 100% = 1, а от умножения на единицу ничего не изменится.
- Решение способом II логически такое же, как способом I, но вычисления выглядят короче, потому что на этапе вычитания мы работаем с меньшими числами. Собственно для этого проценты и придуманы.
Задача 9
В школе 800 учеников, из них 30% - ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?Решение
1) Из них (всех учеников школы) 30% в начальной школе. 30% = 0,30. 0,30×800 = 240. Значит 240 учеников в начальной школе. Остальные старше. 800 - 240 = 560 учеников в средней и старшей школе.2) Среди средних и старших 20% учат немецкий. 20% = 0,20; 0,20×560 = 112. Значит 112 учеников средней и старшей школы учат немецкий.
Всего учат немецкий в школе 112 + 0 = 112 учеников. (0 учеников учат немецкий в начальной школе.)
Ответ: 112
Замечание: Первое действие можно сделать иначе.
Из всех учеников школы 30% в начальной школе, остальные 100% - 30% = 70% старше. 70% = 0,70. 0,70×800 = 560.
В заданиях ЕГЭ немало задач на изменение величины, данное в процентах. Их легко отличить по фразам типа "увеличилось на ... процентов" или "уменьшилось на ... процентов".
Советую запомнить как правило: "Если в условии не оговорено ничего другого, то всегда считаем, что перед изменением величина составляла 100%". Если она увеличилась, то, проценты складываем, если уменьшилась - проценты вычитаем.
Задача 10
Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?Решение
Способ I.Цена чайника увеличилась на 16% и стала составлять 100% + 16% = 116% от первоначальной (116% = 1,16). Если сначала чайник стоил x рублей, то после повышения стал стоить 1,16·x рублей, что составляет 3480 рублей.
1,16·x = 3480; x = 3480 : 1,16 = 3000.
Способ II.
Цена на чайник была x рублей, что составляло 100%. Стала 3480 рублей, что составляет 100% + 16% = 116%.
Составим пропорцию: x : 3480 = 100 : 116; x/3480 = 100/116; x = 3480×100/116 = 3000.
Ответ: 3000
Замечание: Задачи на проценты бывает удобно решать пропорцией, когда в явном виде записано, что принимаем за 100%.
Задача 11
Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?Решение
Способ I.Цена футболки уменьшилась на 800 - 680 = 120 рублей. Определим, какую часть от первоначальной цены (800 рублей) составляет скидка (120 рублей): 120/800 = 12/80 = 3/20 = 0,15. 0,15 = 15% (по определению " % " - это и есть сотая часть). Цена снижена на 15%.
Способ II.
Цена футболки была 800 рублей, что составляло 100%. Стала 680 рублей, что составляет x%.
Составим пропорцию: 800 : 680 = 100 : x; 800/680 = 100/x; x = 680×100/800 = 85(%);
Цена стала составлять 85% от первоначальной, значит она уменьшилась на 100% - 85% = 15%. Цена снижена на 15%.
Ответ: 15
Замечание: Задачи на проценты бывает удобно решать пропорцией, когда в явном виде записано, что принимаем за 100%.
Задача 12
Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 10000 рублей?Решение
Определим оптовую цену, например, с помощью пропорции.х рублей – 100%; 180 рублей – 120%;
х : 100 = 180 : 120; х = (180/120)·100 = 150 рублей;
На 10000 рублей по такой цене можно было бы купить 10000/150 = 66,6666... учебников, если бы они продавались "на вес". Но поскольку учебники продаются штуками, то округляем до меньшего целого. Получаем 66 учебников.
Ответ: 66
Замечание: Не перепутайте - розничная цена на 30 рублей выше оптовой это то же самое, что оптовая цена на 30 рублей ниже розничной. Но! розничная цена на 20% выше оптовой, это не то же самое, что оптовая цена на 20% ниже розничной! Процент - это не единица измерения, это часть числа. Поэтому всегда надо сначала определиться с ответом на вопрос "какого числа?" (или "что составляет 100%?"). За основное берется то число, с которым сравнивают в условии задачи.
В данном случае имеем: 30/150 = 0,20 и 30/180 ≈ 0,17, т.е. разница в ценах составляет 20% от оптовой цены и примерно 17% от розничной.
В следующей задаче обратите внимание на выделенный предлог "под". Он напрямую не указывает на увеличение или на уменьшение числа на несколько процентов. Взять кредит под процент и сделать вклад под процент - это разные вещи. В первом случае банк берет с клиента некоторую дополнительную сумму, во втором - выплачивает вкладчику. В подобных задачах нужно внимательно прочитать всё условие, чтобы вникнуть в предлагаемые обстоятельства.
Задача 13
Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?Решение
Клиент должен вернуть банку на 16% больше, чем взял, т.е. всего 12000×1,16 = 13920 рублей. В месяц он должен вносить 13920/12 = 1160 рублей.Ответ: 1160
Задача 14
В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?Решение
Прежде всего вспомним правило "Всегда считаем, что перед изменением величина составляла 100%."1) Определим, сколько стоил виноград в октябре. 60 рублей это 100%, x рублей это 100% + 25% = 125% = 1,25. В октябре виноград стоил 60×1,25 = 75 (руб.)
2) Определим сколько стоил виноград в ноябре. 75 рублей это 100%, x рублей это 100% + 20% = 120% = 1,20. В ноябре виноград стоил 75×1,2 = 90 (руб.)
Ответ: 90
Замечание: 25% и 20% подорожания нельзя складывать, так как они относятся к разным ценам. В октябре виноград дорожал относительно сентябрьской цены, а в ноябре - относительно октябрьской. Перед изменением цены в октябре было 30 сентября, виноград в этот день стоил 60 рублей, и это составляло 100%. А перед изменением цены в ноябре было 31 октября, когда виноград стоил 75 рублей, и это составляло (другие) 100%
Если вы поняли решение последней задачи, то попробуйте ответить на такой вопрос:
За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он или поправился за год?
Решение можно прислать мне на E-mail для проверки.
Продолжить решение текстовых задач ЕГЭ по математике :
Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ по математике.