Текстовые задачи: смешанные, прямые и обратные.

Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на следующие темы.

  1. Прямые и обратные задачи.
  2. Задачи смешанные.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут быть под номерами 3 и 6 для базового уровня и под номером 1 для профильного уровня.

Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Прямые и обратные задачи.

Основная трудность при решении текстовых задач, особенно, задач на проценты, не в математике, а в неумении многих школьников вдумчиво читать текст. Согласны? А ведь в банке заданий много задач очень похожих по тексту, но противоположных по смыслу, так называемых, прямых и обратных. Прямые задачи школьники обычно решают лучше. Обратные часто решают через x. В этом случае они становятся похожими на прямые. Но вовсе не обязательно решать все обратные задачи введением x, непосредственным рассуждением получается короче. В любом случае нужно:
Внимательно читать условие!
Никогда не пытаться вспомнить решение, если кажется, что такую задачу уже решали.
Всегда решать заново!

Задача 1

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

Решение

Заработная плата = 12500 рублей. Определяем величину налога: 13% = 0,13  0,13×12500 = 1625 (руб.) Вычитаем налог 12500 - 1625 = 10875. Получит 10875 рублей.

Ответ: 10875

Задача 2

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Решение

Способ I.
Заработная плата = x рублей. Определяем величину налога: 13% = 0,13;  0,13·x (руб.) Вычитаем налог x - 0,13·x = 0,87·x. Получила 0,87·x = 9570 рублей.
0,87·x = 9570;  x = 9570/0,87 = 11000.
Заработная плата составляет 11000 рублей.

Способ II.
Если из полной заработной платы вычесть налог, то останется 100% - 13% = 87% от неё, которые и были получены. Значит 9570 рублей составляет 87%. Чтобы найти целое по его части - делим:  9570/0,87 = 11000.

Ответ: 11000

Замечание: Обязательно сравните оба решения с решением предыдущей задачи.

Задача 3

На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 28 литров бензина по цене 28 руб. 50 коп. за литр. Сколько рублей сдачи он должен получить у кассира?

Решение

Залито 28 литров бензина. Определяем стоимость покупки 28×28,50 = 798. Вычисляем сдачу 1000 - 798 = 202.

Ответ: 202

Задача 4

На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина 31 руб. 20 коп. Сдачи клиент получил 1 руб. 60 коп. Сколько литров бензина было залито в бак?

Решение

Способ I.
Залито x литров бензина. Определяем стоимость покупки x·31,20. Вычисляем сдачу 1000 - x·31,20 = 1,60.
Значит 1000 - 1,6 = x·31,20 или x·31,20 = 1000 - 1,6;  x = (1000 - 1,6)/31,2 = 32 (литра).

Способ II.
За весь бензин уплачено 1000 - 1,6 = 998,4. За один литр уплачено 31,20. Значит всего литров 998,4/31,2 = 32.

Ответ: 32

Замечание: Обязательно сравните оба решения с решением предыдущей задачи.

Задачи смешанные.

Эти задачи содержат в себе элементы предыдущих типов, а значит решаются, как минимум, в два действия. Однако, это не делает их намного сложнее с вычислительной точки зрения. Просто переформулируйте вопрос задачи так, чтобы на него можно было дать два или несколько последовательных ответов.

Задача 5

Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

Решение

1. Сколько стоит флакон шампуня во время распродажи?
На 25% меньше, т.е. 100 - 25 = 75% от первоначальной цены. 160×0,75 = 120 рублей.
2. Какое наибольшее число флаконов по 120 рублей можно купить на 1000 рублей?
1000 : 120 = 8,33333. Округляем до целого в меньшую сторону. Получится 8 флаконов.

Ответ: 8

Задача 6

При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

Решение

1. Какую сумму составит комиссия, если положить на счёт 300 рублей?
5% = 0,05; 300×0,05 = 15 рублей.
2. Какую минимальную сумму нужно положить в приёмное устройство?
Нужно заплатить не меньше, чем 300 + 15 = 315 рублей. Так как сумма должна быть кратна 10 рублям, округляем до десятков в большую сторону. Получится 320 рублей.

Ответ: 320

Замечание: Давайте в качестве дополнительного упражнения на проценты вычислим, сколько точно денег придет на счёт Анны. На счёт приходит х рублей, если в приёмник терминала положили на 5% больше, т.е. 105% от этой суммы или x·1,05 рублей. Таким образом, 320 рублей = x·1,05 рублей. Значит х = 320/1,05 = 304,7619. На счёт придет 304 рубля 76 копеек.

Задача 7

Студент получил свой первый гонорар в размере 700 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет тюльпанов для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество тюльпанов сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, тюльпаны стоят 60 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

Решение

1. Сколько денег осталось у студента после удержания налога?
На 13% меньше, т.е. 100 - 13 = 87% от гонорара. 700×0,87 = 609 рублей.
2. Какое наибольшее число тюльпанов можно купить на 609 рублей?
609 : 60 = 10,15. Округляем до целого в меньшую сторону. Получится 10 тюльпанов.
3. Можно ли подарить 10 тюльпанов? 10 делится на 2 без остатка, т.е. является четным числом. Поскольку принято дарить нечетное число цветов, нужно купить на один меньше, т.е. 9 цветов.

Ответ: 9

Для решения текстовых задач иногда необходимо привлечь знания из других разделов математики, например, из геометрии.

Задача 8

Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,6 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размерами 2,3 м на 4,1 м?

Решение

Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Здесь размеры основания параллелепипеда 2,3м × 4,1м. Стены комнаты - боковая поверхность этого параллелепипеда. Развертка боковой поверхности - прямоугольник, длинная сторона которого равна периметру основания, а короткая - высоте комнаты. Значит, нужно определить сколько полос шириной 1,6 м укладывается по периметру основания комнаты.
P = 2,3 + 4,1 + 2,3 + 4,1 = 12,8 (м);
12,8/1,6 = 8 (полос).

Ответ: 8

Продолжить решение текстовых задач ЕГЭ 2018 по математике:

  1. Задачи на системы измерения величин.

Повторить решение задач ЕГЭ 2018 по математике следующих типов:

  1. Задачи с округлением.
  2. Задачи на проценты.

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.