Задание по планиметрии.

Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Этот раздел содержит геометрические задачи ЕГЭ по математике на следующие темы.

  1. Задачи на формулы площади.
  2. Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.
  3. Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2017 года они могут встретиться под номерами 8 и 15 для базового уровня и под номером 3 для профильного уровня.

Задачи на формулы площади.

Среди этих задач есть как прямые, так и обратные. Прямыми мы здесь называем задачи, в которых по данным элементам фигуры нужно найти её площадь. Обратными - в которых площадь известна и, наоборот, нужно найти какой-либо из элементов фигуры. Простейшие примеры таких задач:

Задача 1

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8.

Задача 2

Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет.

Задача 3

Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Задача 4

Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.

Решая эти пары задач, вы могли заметить, что разница между ними только в порядке использования формул при алгебраических преобразованиях. (Мы, обычно, используем формулы, двигаясь от известного к неизвестному.) Дополнительных знаний геометрии здесь не требуется. Поэтому не бойтесь обратных задач так же, как и любых других с неожиданной формулировкой условия. Если вам знаком сам геометрический объект и его элементы: квадрат, диагональ..., то с заданием вы справитесь.

Только необходимо убедиться, что среди понятий, перечисленных ниже, действительно нет незнакомых:
четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция...
треугольники: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний...
отрезки: сторона, высота, основание, диагональ, катеты, гипотенуза, средняя линия, диаметр, радиус, хорда...
характеристики: подобные фигуры, периметр, градус, радиан...

Чтобы сделать такую проверку быстро, пройдите мои тесты по планиметрии. Если вдруг найдутся доселе неизвестные вам понятия - срочно открывайте учебник геометрии, а еще лучше справочник по математике с алфавитным указателем.

А затем ещё раз проверьте себя:
Окружность и круг одно и то же или нет?
Что больше площадь кругового сектора или площадь кругового сегмента, если длины их дуг равны?

Задача 5

Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.

Задача 6

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, а отношение соседних сторон равно 1 : 2.

Задачи на площадь прямоугольника относятся к самым простым, но всё-таки иногда их трудно решить без чертежа. Решения следующих 2-ух задач демонстрируются с привлечением интерактивных анимаций. Дождитесь их загрузки и пользуйтесь внутренней кнопкой для пошагового просмотра.

Задача 7

Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.

Задача 8

Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как 4 : 5, а другая сторона равна 6. Найдите площадь прямоугольника.

Задача 9

Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.

Задача 10

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

Задача 11

Площадь остроугольного треугольника равна 36. Две его стороны равны 6 и 24. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

Тема "решение задач на формулы площади плоских фигур" неисчерпаема. Вы должны знать несколько формул для площади треугольника, формулы площадей четырехугольников (параллелограмма, трапеции, ромба), круга и кругового сектора, правильного многоугольника. Прототипов таких задач в банке заданий, пожалуй, больше, чем в других группах. К сожалению, нереально поместить все в пределах одной страницы сайта. Постараюсь дополнять по мере занятий с учениками. Следите за обновлениями.

Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.

Эта группа задач следующего типа: дано изображение геометрической фигуры на клетчатой бумаге, требуется найти площадь этой фигуры. В связи с тем, что в этом разделе предполагается много рисунков, то большинство задач вынесено на flash-страницу сайта. Ссылка расположена ниже.

Сейчас мы обсудим главное - эту задачу может решить любой школьник, независимо от того, насколько хорошо он усвоил курс геометрии. Навыки, необходимые для решения этой задачи, вы начали приобретать еще в детском саду, когда впервые взяли в руки ножницы и бумагу. Вопрос только в том, насколько эффективно вы сможете распорядиться своим экзаменационным временем. Для доказательства этого положения, я беру одну и ту же задачу и решу её несколько раз.

Задача 12

чертёж трапеции



Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.




Посмотрите на рисунок, там указан масштаб. Видно, что размер одной клетки равен 1 см (это же сказано и в условии), соответственно, площадь одной клетки равна 1 см2. Поэтому требование дать ответ в квадратных сантиметрах равносильно требованию дать ответ в клеточках.

Первое решение рассмотрим в предположении, что вы хорошо знаете формулы и определения. Чтобы мне было легче объяснять его, я обозначу буквами A, B, C, D вершины заданного четырёхугольника. Итак:

Решение I.

чертёж трапеции вариант 1 ABCD - трапеция, т.е. четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. На рисунке параллельны стороны ВС и AD, они проходят по вертикальным линиям сетки, значит они являются основаниями трапеции. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту (обозначим её - h). Длину оснований определяем простым подсчётом клеточек на рисунке. ВС = 2, AD = 4. Как определить h? Вспомним, что высота трапеции это расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания. Обычно, для определения этого расстояния, нужно из какой-либо вершины трапеции опустить перпендикуляр на противолежащую параллельную прямую, но здесь у нас такие перпендикуляры уже есть - это горизонтальные линии сетки. Возьмем, например, линию, на которой находятся точки А и С, на ней укладывается ровно 4 клеточки. Следовательно h = 4. Подставляем значения в формулу:

S = h·(BC + AD)/2 = 4·(2 + 4)/2 = 12.

Ответ: 12

Второе решение относится к случаю, когда вы уверенно помните только самые простые формулы площади: площадь прямоугольника S = a·, где a и стороны, и площадь прямоугольного треугольника S = a·/2, где a и катеты. Суть метода заключается в том, что нам нужно разбить заданную фигуру на эти простые части по линиям сетки.

Решение II.

чертёж трапеции вариант 2 Проводим дополнительную линию AC, которая "разрезает" нашу трапецию на два прямоугольных треугольника. Первый с катетами AC = 4 и BC = 2, его площадь S1 = 4×2/2 = 4. Второй с катетами AC = 4 и AD = 4, его площадь S2 = 4×4/2 = 8. (Длины сторон мы также определили прямым подсчётом клеточек.)
Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ACB и DAC.
S = S1 + S2 = 4 + 8 = 12.

Ответ: 12

Третий способ требует тех же самых знаний, что и второй, только немножко иного взгляда на картинку. Теперь мы будем не "разрезать" нашу трапецию на части, а "вырезать" её из прямоугольника, стороны которого проходят по линиям сетки через вершины заданной трапеции.

Решение III.

чертёж трапеции вариант 3 Проводим горизонтальные линии через вершины В и D, продолжаем вертикальные линии AD и ВС до пересечения с горизонтальными. Точки пересечения обозначим символами E и F. Получили прямоугольник DEBF со сторонами DE = 6 и DF = 4, его площадь 6×4 = 24. Чтобы получить искомую площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади (зелёных) треугольников AEB и DFC.
SAEB = AE·EB/2 = 2·4/2 = 4 и SDFC = DF·FC/2 = 4·4/2 = 8
Следовательно, площадь трапеции равна
S = 24 − 4 − 8 = 12.

Ответ: 12

И, наконец, последний, четвертый способ нужен на случай, когда вы вообще не знаете никаких формул, но обладаете хорошим воображением. Способ сродни решению головоломки - как разрезать плоскую фигуру на части, чтобы из этих частей, используя каждую из них одинаковое число раз, сложить прямоугольник? Затем, просто посчитать количество клеточек внутри прямоугольника, и разделить на число повторов деталей заданной фигуры. Смотрите, пример.

Решение IV.

чертёж трапеции вариант 4 Проводим дополнительную линию AC и "разрезаем" трапецию на две части, как в решении вторым способом. Проводим дополнительные линии и строим вершины E и F, как в решении третьим способом. Убеждаемся в том, что получившиеся зеленые и желтые треугольники попарно равны (подсчетом клеточек на соответствующих сторонах). Значит, для построения прямоугольника детали заданной фигуры использованы 2 раза, один комплект желтый, второй - зеленый. Считаем общее количество клеточек в закрашенном прямоугольнике. Получается 24. Делим на 2. 24/2 = 12.

Ответ: 12

    Перейти к решению таких задач.

Комментарии к выбору способа решения.

1) Из-за разнообразия фигур, которые могут встретится в задании, нельзя рекомендовать однозначно лучший.
2) Большинство задач можно решить любым из этих способов. Выберите наиболее понравившийся лично вам, и потренируйте его на разных задачах.
3) Первый способ, опирающийся на знание формул, бывает необходим, когда в задании присутствует круг или его часть. Круг нельзя разрезать на прямоугольники, и треугольники. Нужно на чертеже найти центр круга и линию сетки, которая касается окружности, определить по клеточкам радиус и подставить в формулу.
4) Второй и третий способ нужны, если многоугольник, площадь которого требуется вычислить, не стандартный: не трапеция, не ромб, не параллелограмм ..., т.е. если таких формул вы не учили. При этом второй способ лучше, когда у многоугольника есть стороны, лежащие на линиях сетки, а третий - когда нет.
5) Четвертый способ хорош тем, что начав его тренировать, вы быстро научитесь находить ответ раньше, чем дойдете до пересчета клеточек в прямоугольнике. (Предложение делать это - почти шутка.) Этот способ решения фактически комбинация второго и третьего.
6) И главное, что касается всех способов, следите за тем, чтобы вершины всех ваших фигур и их частей находились в узлах сетки.

Комментарии к задаче.

Текстовая часть постановки задач на эту тему практически не изменялась с момента её появления в банке заданий ЕГЭ. Она почти всегда такова: "Найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в см2." От варианта к варианту могут изменяться вид фигуры, единица измерения длины, например, сантиметр на метр, вводные слова, например, в демоверсии базового уровня есть обоснование практической значимости "План местности разбит на клетки ... Найдите площадь участка, изображенного на плане ..."
Но давайте сравним чертежи, которыми сопровождаются эти задачи.


С одной стороны, явно прослеживалась тенденция к усложнению задания для профильного уровня и упрощению для базового, с другой стороны, эти различия были очень незначительны с точки зрения необходимых математических навыков. Если посмотреть эту задачу в Демонстрационном варианте базового уровня 2017 года, то по сравнению с предыдущими годами для обоих уровней более востребованным станет способ решения, опирающийся на знание формул площадей геометрических фигур. Но никто и ничто не мешает Вам аккуратно продолжить линии сетки за пределы заштрихованной фигуры и получить основу для выбора предпочтительного способа решения. Разница только во времени, которое будет затрачено на выполнение этого задания.
В любом случае помните - ЕГЭ по математике не проверяет ваш глазомер! Поэтому ни для каких расчётов не используйте отрезков, начало или конец которых не связаны с узлами сетки.

Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.

Чем отличаются задачи этого типа от предыдущих? Почти ни чем. Координатная плоскость - та же самая сетка. Только линии этой сетки пронумеровали, а затем стерли, а на фигуре написали на каких линиях были расположены её вершины. Когда? Еще в 17-ом веке. Зачем? Чтобы как-то, хотя бы условно, изображать большие и несоразмерные фигуры, которые не помещаются на рисунке в нормальном масштабе.

Из этих соображений, следуют два способа решения задач:
Первый, самый надежный, - выучить понятия и формулы из раздела "Декартовы координаты на плоскости и в пространстве".
Второй, самый простой для тех, кто разобрался с предыдущей задачей, - восстановить сетку.

Решение вторым способом более очевидное. Теоретически так можно решать любую задачу на координатную плоскость, но это может оказаться значительно медленнее, чем первым способом, и потребовать "немеряного количества" бумаги. (Иначе не надо было бы изобретать координаты.) Поэтому здесь мы рассмотрим те задачи, для которых решение восстановлением сетки достаточно быстрое и компактное, а затем еще раз вернемся к понятию координатной плоскости в следующем разделе.

Задача 13

трапеция на координатной плоскости



Найдите площадь четырёхугольника,
вершины которого имеют
координаты (3, 2), (7, 6), (7, 8), (3, 6).




Решение.

трапеция на координатной плоскости _2трапеция на координатной плоскости _3

Оси координат - это линии сетки, с которых начинается нумерация. Ось Ox - нулевая горизонтальная линия, ось Oy - нулевая вертикальная линия. Запись "координаты (3, 2)" означает, что точка находится на 3-ей вертикальной линии сетки и на второй горизонтальной, аналогично "координаты (7, 6)" - на 7-ой вертикальной и 6-ой горизонтальной, и т. д. Рисуем нужное количество линий на заданном чертеже. Результат на рисунке слева. Видно, что этот рисунок очень похож на рисунок к условию предыдущей задачи. А, если не обращать внимания на оси, то абсолютно тот же (это потому, что для примера я специально выбрала задачу с той же самой трапецией). Значит решать можно любым из представленных выше четырёх способов. Например, разбиваем трапецию на два прямоугольных треугольника и вычисляем:
S1 = 4×2/2 = 4. S2 = 4×4/2 = 8.
S = S1 + S2 = 4 + 8 = 12.

Ответ: 12

Следующую задачу постарайтесь сначала решить самостоятельно, а затем проверьте своё решение.

Задача 14

квадрат на координатной плоскости



Найдите площадь четырехугольника,
вершины которого имеют
координаты (4, 2), (8, 4), (6, 8), (2, 6).




    Перейти к решению других задач на эту тему.


Продолжение:
Задачи на понятие координатной плоскости.
Задачи на вектора.

Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2017.

   ©mathematichka

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Для проживающих в Сергиевом Посаде возможны очные занятия.