Задание по геометрии - вектора.

Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Эта страница посвящена группе геометрических задач, связанной с векторами, и является продолжением рассмотрения серии таких заданий ЕГЭ по математике.
В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2017 года они могут встретиться под номерами 8 и 15 для базового уровня и под номером 3 для профильного уровня. Если вы не занимались другими типами этого задания, перейдите по ссылкам в конце страницы.

Задачи на вектора.

Вектор - направленный отрезок.

Длина отрезка называется модулем вектора. Два вектора равны, если они имеют равные модули и одинаково направлены.
Вектора обозначают либо строчными латинскими буквами a, b, c ..., либо указанием концов отрезка AB, CD, MN... Чтобы отличить обозначение вектора от обозначения просто отрезка, эти символы сверху дополняются черточками или стрелочками. В печатном тексте строчные латинские буквы часто выделяют только полужирным шрифтом.

Если вектор обозначен двумя буквами (концами отрезка), то на первом месте всегда стоит начало вектора.

Задать вектор можно разными способами:
1. Графически - изобразить на координатной сетке.
2. Задать начальную и конечную точки и их координаты.
3. Задать длину отрезка и направление. Направление определяют углы с осями координат (направляющие косинусы).
4. Задать координаты вектора.

Уточним понятие координаты вектора.
Пусть вектор а на плоскости имеет начало в точке А(xA;yA) и конец в точке В(xB;yB).
Координатами вектора называются числа
a1 = xBxA и a2 = yByA.
Таким образом, вектор a имеет координаты (a1;a2).

На рисунке вектор AB имеет координаты (9;5). Обратите внимание, что эти числа фактически задают катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является отрезок АВ. Длина этих катетов не изменится, если мы переместим параллельным переносом отрезок, а с ним и весь треугольник, в другое место. Координаты вектора не зависят от его положения на плоскости, а только от длины отрезка и направления. Если направление вектора не совпадает с направлением оси координат, то соответствующая координата вектора будет равна длине катета со знаком "минус".

координаты вектора

Вектора можно складывать, вычитать, умножать на число. Для векторов также определены специальные виды умножения - скалярное произведение, результатом которого является число, и - векторное произведение, результатом которого является вектор. (Векторное произведение не входит в обязательную школьную программу по математике, но частично встречается на уроках физики, когда изучают законы индукции магнитного поля.) Операции над векторами можно производить либо координатным методом, либо графическим (правило параллелограмма, правило треугольника...). Повторите эти правила по учебнику или справочнику и выберите себе "любимое". Я привожу решение тем методом, который короче для конкретной задачи.

Для следующей группы задач чертёж в условии, вообще говоря, не обязателен. Если решать задачи координатным методом, то и в решении можно обойтись без чертежа, тем более, не нужна сетка. Однако лучше чертежи делать всегда, чтобы избежать нечаянных ошибок. А сетка помогает зрительно контролировать своё решение. Конечно, в том случае, если масштаб данных позволяет.

вектор AC

Задача 1

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Найдите длину вектора AC.

вектор суммы

Задача 2

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Найдите длину суммы векторов AB и AD.
вектор разности

Задача 3

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Найдите длину разности векторов AB и AD.
векторы

Задача 4

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Найдите скалярное произведение векторов AB и AD.
вектор суммы 2

Задача 5

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов AO и BO.
вектор разности 2

Задача 6

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8.
Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов AO и BO.

Продолжить и повторить решение типовых задач ЕГЭ по математике на темы:

  • Задачи на формулы площади.
  • Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.
  • Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.
  • Задачи на понятие координатной плоскости.
  • Задачи на вектора.




  • Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2017.

       ©mathematichka

    E-mail: mathematichka@yandex.ru
    Для проживающих в Сергиевом Посаде возможны очные занятия.