Задание по геометрии - координатная плоскость.

Эта страница посвящена группе геометрических задач, связанных с заданием точек, линий и фигур на координатной плоскости, и является продолжением рассмотрения серии типовых заданий ЕГЭ по математике.
В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут встретиться под номерами 8 и 15 для базового уровня и под номером 3 для профильного уровня. Если вы не занимались другими типами этого задания, перейдите по ссылкам в конце страницы.

Внимание:

В этом разделе такое большое количество терминов и определений, что, если выделять их цветом, то изменится фон всей страницы. Просто читайте внимательно весь текст.

Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте,разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Задачи на понятие координатной плоскости.

Декартовы координаты на плоскости представляют собой две взаимно перпендикулярные прямые x и y, пересекающиеся в точке О. Это оси координат. Ось Ox называют осью абсцисс, ось Oy - осью ординат. Точку О называют началом координат. Также должен быть задан единичный отрезок - единица измерения длины. С помощью этого отрезка можно измерить расстояние от любой точки на плоскости до каждой из осей координат.

Например, пусть это будет точка A.
Расстояние от точки A до оси ординат называется абсциссой точки A, так как измерять его действительно удобнее на оси абсцисс, опустив на неё перпендикуляр из точки A. Аналогично расстояние от точки A до оси абсцисс называется ординатой точки, и измеряется на оси ординат от начала координат до основания перпендикуляра, опущенного на неё из точки A. Координаты точки записываются в скобках рядом с буквенным обозначением точки, на первом месте стоит абсцисса, на втором ордината - А (x,y). Если точка находится на одной из осей, то её вторая координата равна нулю. Если M точка на оси абсцисс, то M (x,0). Если N точка на оси ординат, то N (0,y). Точка O принадлежит обоим осям, поэтому её координаты (0,0).

точка на координатной плоскости

В решениях задач этого раздела явно построена координатная сетка. Линии сетки параллельны осям координат, размер клетки равен длине единичного отрезка. Однако, обычно координатная сетка невидима, она не строится реально, а только подразумевается, потому что каждый раз чертить всю сетку, особенно для больших чисел, гораздо дольше и сложнее, чем запомнить основные формулы и правила, характеризующие положение точек, линий и фигур на плоскости.

Задачи

1) Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до оси абсцисс.
2) Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до оси ординат.
3) Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до начала координат.

Решение

Способ I. По определению:
1) Расстояние от заданной точки до оси абсцисс - это ордината точки: y = 8.
2) Расстояние от точки до оси ординат - это абсцисса точки: x = 6.
3) Расстояние от точки A до начала координат (точки О) определяется как корень квадратный из суммы квадратов координат:
r2 = x2 + y2; r2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100; r = 10.

координаты точки на плоскости Способ II. По рисунку:
Видно, что расстояние от точки A до оси абсцисс - это отрезок AC = BO = 8, расстояние от точки A до оси ординат - это отрезок AB = CO = 6, расстояние от точки A до начала координат - это отрезок ОА, который является гипотенузой треугольника OAC и наxодится по теореме Пифагора:
OA2 = AC2 + OC2 = 82 + 62 = 100; OA = 10.

Ответы: 1) 8; 2) 6; 3) 10.

Для решения следующих задач нужно вспомнить понятия о симметрии: симметрия относительно точки (центральная симметрия) и симметрия относительно прямой (осевая симметрия).

Центральная симметрия: Точка Х1 называется симметричной точке Х относительно точки О, если все три точки лежат на одной прямой и ОХ = ОХ1.
Осевая симметрия: Точка Х1 называется симметричной точке Х относительно прямой l, если прямая ХХ1 перпендикулярна прямой l и ОХ = ОХ1, где О - точка пересечения прямых ХХ1 и l.

Задачи

4) Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6, 8) относительно оси Oy.
5) Найдите ординату точки, симметричной точке A(6, 8) относительно оси Ox.
6) Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6, 8) относительно начала координат.
7) Найдите ординату точки, симметричной точке A(6, 8) относительно начала координат.

Решение

симметричные точки на координатной плоскости

4) Точка В (−6, 8) симметрична точке A (6, 8) относительно оси Oy. xB = −6.
5) Точка C (6, −8) симметрична точке A (6, 8) относительно оси Ox. yС = −8.
6) Точка D (−6, −8) симметрична точке A (6, 8) относительно начала координат
    (точки O). xD = −6.
7) Точка D (−6, −8) симметрична точке A (6, 8) относительно начала координат
    (точки O). yD = −8.

Ответы: 4) − 6; 5) − 8; 6) − 6; 7) − 8.

Расстояние между двумя точками A1 (x1, y1) и A2 (x2, y2) равно длине отрезка A1A2, соединяющего эти точки, и определяется по формуле:

A1A2 = (x2x1)2 + (y2y1)2________________

Задачи

8) Найдите длину отрезка, соединяющего точки О (0, 0) и А (6, 8).
9) Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0, 0) и A (6, 8), с осью абсцисс.
10) Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0, 0) и A (6, 8), с осью абсцисс.

Решение

отрезок на координатной плоскости - 1

8) Длину отрезка можно найти непосредственно по формуле

OA = √(xAxO )2 + (yAyO )2____________________

OA = √(6 − 0)2 + (8 − 0)2  = 10;_______________

или по чертежу, где отрезок ОА является гипотенузой треугольника OAB.
(Формула тоже является следствием теоремы Пифагора.)

9) Угол наклона отрезка OA к оси абсцисс равен острому углу АОВ в одноименном прямоугольном треугольнике. sinАОВ = AB/OA (отношение противолежащего катета к гипотенузе). АВ = 8 по чертежу, ОА = 10 из предыдущей задачи. sinАОВ = 8/10 = 0,8.

10) Угол наклона отрезка OA к оси абсцисс равен острому углу АОВ в одноименном прямоугольном треугольнике. cosАОВ = OB/OA (отношение прилежащего катета к гипотенузе). OB = 6 по чертежу, ОА = 10 из предыдущей задачи. cosАОВ = 6/10 = 0,6.

Ответы: 8) 10; 9) 0,8; 10) 0,6.

Задача 11

Найдите длину отрезка, соединяющего точки A (6, 8) и B (−2, 2).

Решение

отрезок на координатной плоскости - 2

Длину отрезка найдём непосредственно по формуле

AB = √(xBxA )2 + (yByA )2____________________

AB = √(− 2 − 6)2 + (2 − 8)2 _________________ = √64 + 36  =  10._______

Ответ: 10

Замечание: Обратите внимание, что в формулу нужно подставлять координаты с их знаками. А если находить длину отрезка по чертежу, по теореме Пифагора, то нужно брать абсолютную величину длины катетов в клеточках.

Координаты середины отрезка: Пусть A (xA, yA) и B (xB, yB) - две произвольные точки плоскости и С (x, y) - середина отрезка AB. Координаты точки С можно найти по формулам:

x = (xA + xB)/2;   y = (yA + yB)/2.

Задача 12

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки A (6, 8) и B (−2, 2).

Решение

координаты середины отрезка - 1

Ординату точки С находим непосредственно по формуле
yС = (yA + yB)/2 = (8 + 2)/2 = 5.

Ответ: 5

Замечание: По чертежу ордината середины отрезка определяется по его проекции на ось ординат. y = 5 это середина синего участка на оси Оy. Аналогично абсцисса середины отрезка определяется или по формуле ( 6 + (−2))/2 = 2 или по проекции отрезка на ось абсцисс. x = 2 это середина синего участка на оси Ох.

Задача 13

Найдите ординату точки пересечения оси Oy и отрезка, соединяющего точки A (6,8) и B (−6,0).

Решение

координаты середины отрезка - 2

Пусть С - точка пересечения оси Oy и отрезка. Она находится на оси ординат, поэтому её абсцисса xС = 0. Можно заметить, что xA + xB = 6 + (−6) = 0, т.е. абсцисса точки С совпадает с абсциссой середины отрезка. Но тогда и ордината тоже. Находим её по формуле
yС = (yA + yB )/2 = (8 + 0)/2 = 4.

Ответ: 4

Замечание: Таким рассуждением можно решить задачу без чертежа. Однако не всегда так легко заметить совпадение, и далеко не всегда оно обязано быть. Поэтому такие задачи лучше решать с чертежом. При необходимости можно будет рассмотреть получившиеся прямоугольные треугольники и составить пропорции на основе их подобия.

Любая прямая в декартовых координатах на плоскости задается уравнением

ax + by + c = 0.

Это уравнение можно переписать иначе:

ax + by = d,

где d = −c, а если b ≠ 0, то можно в явном виде выразить y и переписать уравнение так:

y = kx + q,

где k = −a/b и q = −c/b.

Коэффициент k в последней записи называется угловым коэффициентом прямой. Если нам известны координаты двух точек, принадлежащих заданной прямой A1 (x1, y1) и A2 (x2, y2), то угловой коэффициент прямой определяется по формуле

k = (y2 − y1 )/(x2 − x1 ).

А если вы изобразите прямую и эти две точки на чертеже, то легко увидите, что коэффициент k в уравнении прямой равен тангенсу угла, который образует эта прямая с осью Ox.

Задача 14

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (−4,0) и (0,4).

Решение

угловой коэффициент прямой - 1

Способ I. По формуле:
k = (y2 − y1)/(x2 − x1) = (4 − 0)/(0 − (−4)) = 4/4 = 1.
Способ II. По рисунку:
Треугольник AOB - прямоугольный равнобедренный, следовательно угол ABO = 45o, и k = tg45o = 1.

Ответ: 1

Задача 15

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2,0) и (0,2).

Решение

угловой коэффициент прямой - 2

Способ I. По формуле:
k = (y2 − y1)/(x2 − x1) = (2 − 0)/(0 − 2) = 2/(−2) = −1.
Способ II. По рисунку:
Треугольник AOB - прямоугольный равнобедренный, следовательно угол ABO = 45o, а угол между прямой и осью абсцисс это угол xBA = 180o − 45o = 135o и k = tg135o = −1.

Ответ: −1

Задачи

16) Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением 3x + 2y = 6, с осью Ox.
17) Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением 3x + 2y = 6, с осью Oy.

Решение

16) Точка пересечения прямой с осью Ox находится на оси абсцисс, следовательно её ордината y = 0. Подставим в уравнение прямой 3x + 2·0 = 6. Отсюда 3x + 0 = 6; 3x = 6; x = 2.
17) Точка пересечения прямой с осью Oy находится на оси ординат, следовательно её абсцисса x = 0. Подставим в уравнение прямой 3·0 + 2y = 6. Отсюда 0 + 2y = 6; 2y = 6; y = 3.

Ответы: 16) 2; 17) 3.

Как вы уже убедились, задачи этого типа можно решать как с чертежом, так и без него. В условии задачи чертеж также может быть, а может и отсутствовать. Чтобы уберечься от случайных ошибок, лучше вообще решать двумя способами, или, по крайней мере, делать чертеж для проверки ответа, полученного по формулам. Однако задачи с фигурами на координатной плоскости я рекомендую всегда делать с чертежом, чтобы легче было применить свои знания из планиметрии.

Задача 18

Точки O (0,0), A (10,0), B (8,6), C (2,6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

Решение

трапеция на координатной плоскости

Так как yO = yA и yB = yC, то обе эти линии параллельны оси абсцисс и параллельны друг другу, значит именно они являются основаниями трапеции. Длина отрезка OA = xA − xO = 10 − 0 = 10. Длина отрезка CB = xB − xC = 8 − 2 = 6. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований DE = (OA + CB)/2 = (10 + 6)/2 = 8.

Ответ: 8

Замечание: Если правильно нарисован чертеж, то можно выбирать из нескольких способов геометрического решения.



Продолжить и повторить решение типовых задач ЕГЭ по математике на темы:

  1. Задачи на формулы площади.
  2. Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.
  3. Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.
  4. Задачи на понятие координатной плоскости.
  5. Задачи на вектора.


Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.