Задание по геометрии - координатная плоскость.

Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Эта страница посвящена группе геометрических задач, связанной с заданием точек, линий и фигур на координатной плоскости, и является продолжением рассмотрения серии заданий ЕГЭ по математике.
В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2017 года они могут встретиться под номерами 8 и 15 для базового уровня и под номером 3 для профильного уровня. Если вы не занимались другими типами этого задания, перейдите по ссылкам в конце страницы.

В этом разделе такое большое количество терминов и определений, что я не вижу смысла выделять их цветом. Читайте внимательно весь текст.

Задачи на понятие координатной плоскости.

Декартовы координаты на плоскости представляют собой две взаимно перпендикулярные прямые x и y, пересекающиеся в точке О. Это оси координат. Ось Ox называют осью абсцисс, ось Oy - осью ординат. Точку О называют началом координат. Также должен быть задан единичный отрезок - единица измерения длины. С помощью этого отрезка можно измерить расстояние от любой точки на плоскости до каждой из осей координат.

Например, пусть это будет точка A.
Расстояние от точки A до оси ординат называется абсциссой точки A, так как измерять его действительно удобнее на оси абсцисс, опустив на неё перпендикуляр из точки A. Аналогично расстояние от точки A до оси абсцисс называется ординатой точки, и измеряется на оси ординат от начала координат до основания перпендикуляра, опущенного на неё из точки A. Координаты точки записываются в скобках рядом с буквенным обозначением точки, на первом месте стоит абсцисса, на втором ордината - А (x,y). Если точка находится на одной из осей, то её вторая координата равна нулю. Если M точка на оси абсцисс, то M (x,0). Если N точка на оси ординат, то N (0,y). Точка O принадлежит обоим осям, поэтому её координаты (0,0).

точка на координатной плоскости

В решениях задач этого раздела явно построена координатная сетка. Линии сетки параллельны осям координат, размер клетки равен длине единичного отрезка. Однако, обычно координатная сетка невидима, она не строится реально, а только подразумевается, потому что каждый раз чертить всю сетку, особенно для больших чисел, гораздо дольше и сложнее, чем запомнить основные формулы и правила, характеризующие положение точек, линий и фигур на плоскости.

Задачи

1) Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до оси абсцисс.
2) Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до оси ординат.
3) Найдите расстояние от точки A с координатами (6, 8) до начала координат.

Для решения следующих задач нужно вспомнить понятия о симметрии: симметрия относительно точки (центральная симметрия) и симметрия относительно прямой (осевая симметрия).

Центральная симметрия: Точка Х1 называется симметричной точке Х относительно точки О, если все три точки лежат на одной прямой и ОХ = ОХ1.
Осевая симметрия: Точка Х1 называется симметричной точке Х относительно прямой l, если прямая ХХ1 перпендикулярна прямой l и ОХ = ОХ1, где О - точка пересечения прямых ХХ1 и l.

Задачи

4) Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6, 8) относительно оси Oy.
5) Найдите ординату точки, симметричной точке A(6, 8) относительно оси Ox.
6) Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6, 8) относительно начала координат.
7) Найдите ординату точки, симметричной точке A(6, 8) относительно начала координат.

Расстояние между двумя точками A1 (x1, y1) и A2 (x2, y2) равно длине отрезка A1A2, соединяющего эти точки, и определяется по формуле:

A1A2 = (x2x1)2 + (y2y1)2 __________________

Задачи

8) Найдите длину отрезка, соединяющего точки О (0, 0) и А (6, 8).
9) Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0, 0) и A (6, 8), с осью абсцисс.
10) Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0, 0) и A (6, 8), с осью абсцисс.

Задача 11

Найдите длину отрезка, соединяющего точки A (6, 8) и B (−2, 2).

Координаты середины отрезка: Пусть A (xA, yA) и B (xB, yB) - две произвольные точки плоскости и С (x, y) - середина отрезка AB. Координаты точки С можно найти по формулам:

x = (xA + xB)/2;   y = (yA + yB)/2.

Задача 12

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки A (6, 8) и B (−2, 2).

Задача 13

Найдите ординату точки пересечения оси Oy и отрезка, соединяющего точки A (6,8) и B (−6,0).

Любая прямая в декартовых координатах на плоскости задается уравнением

ax + by + c = 0.
Это уравнение можно переписать иначе:
ax + by = d,
где d = −c, а если b ≠ 0, то можно в явном виде выразить y и переписать уравнение так:
y = kx + q,
где k = −a/b и q = −c/b.

Коэффициент k в последней записи называется угловым коэффициентом прямой. Если нам известны координаты двух точек, принадлежащих заданной прямой A1 (x1, y1) и A2 (x2, y2), то угловой коэффициент прямой определяется по формуле

k = (y2 − y1 )/(x2 − x1 ).
А если вы изобразите прямую и эти две точки на чертеже, то легко увидите, что коэффициент k в уравнении прямой равен тангенсу угла, который образует эта прямая с осью Ox.

Задача 14

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (−4,0) и (0,4).

Задача 15

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2,0) и (0,2).

Задачи

16) Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением 3x + 2y = 6, с осью Ox.
17) Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением 3x + 2y = 6, с осью Oy.

Как вы уже убедились, задачи этого типа можно решать как с чертежом, так и без него. В условии задачи чертеж также может быть, а может и отсутствовать. Чтобы уберечься от случайных ошибок, лучше вообще решать двумя способами, или, по крайней мере, делать чертеж для проверки ответа, полученного по формулам. Однако задачи с фигурами на координатной плоскости я рекомендую всегда делать с чертежом, чтобы легче было применить свои знания из планиметрии.

Задача 18

Точки O (0,0), A (10,0), B (8,6), C (2,6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.



Продолжить и повторить решение типовых задач ЕГЭ по математике на темы:

  1. Задачи на формулы площади.
  2. Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.
  3. Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.
  4. Задачи на понятие координатной плоскости.
  5. Задачи на вектора.

Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи группы ЕГЭ 2017.

   ©mathematichka

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Для проживающих в Сергиевом Посаде возможны очные занятия.