Задача ЕГЭ 2017 - производная функции (продолжение).



Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Этот раздел посвящен группе задач с кратким ответом, связанных с производной. В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2017 года они могут встретиться под номером 14 для базового уровня и под номером 7 для профильного уровня.
Как и в задачах на определение характеристик производной и свойств функций по их графикам, здесь требуется понимание геометрического и физического смысла производной. Если вы еще не разбирались с упомянутыми задачами, перейдите по ссылкам в нижней части страницы.

  1. Задачи на геометрический смысл производной.
  2. Задачи на физический смысл производной.

В условии задач этой части задания на производную, в отличие от рассмотренных ранее, отсутствуют рисунки и графики. Для их решения необходимо применять аналитический подход, т.е. уметь вычислять производные функций, знать уравнение касательной к графику функции и т.п.

Процесс вычисления производных называют дифференцированием. Перед решением следующих задач стоит повторить формулы и правила дифференцирования функций.

Формулы дифференцирования функций

Формулы дифференцирования функций

Правила дифференцирования функций

Правила дифференцирования функций

Правила можно сформулировать и словами.

  1. Производная суммы равна сумме производных.
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
  3. Производная произведения равна "производная первого сомножителя, умноженная на второй, плюс производная второго сомножителя, умноженная на первый".
  4. Производная дроби равна "производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и деленные на знаменатель в квадрате".

Пример вычисления производной.

Вычислить производную функции f(x) = −x4 + 6x3 + 5x + 23.

f '(x) = (−x4 + 6x3 + 5x + 23)';
По правилу (1) дифференцирования суммы:
(−x4 + 6x3 + 5x + 23)' = (−x4)' + (6x3)' + (5x)' + (23)'.
По правилу 2 выносим за скобки числовые коэффициенты:
(−x4)' + (6x3)' + (5x)' + (23)' = −(x4)' + 6(x3)' + 5(x)' + (23)';
Переходим к формулам дифференцирования.
По формуле (xn)' = nxn − 1:
(x4)'= 4x4 − 1 = 4x3;
(x3)'= 3x3 − 1 = 3x2.
Для третьего слагаемого используем формулу (x)'= 1, а для последнего слагаемого формулу (с)' = 0 (производная константы равна нулю), т.е. (23)' = 0.
Получим: −(x4)' + 6(x3)' + 5(x)' + (23)' = −4x3 + 6·3x2 + 5·1 + 0 = −4x3 + 18x2 + 5.
Следовательно: f '(x) = −4x3 + 18x2 + 5.

Задачи на геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в рассматриваемой точке равняется угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в этой точке.

А что такое касательная к графику функции? Часто на этот вопрос школьники и даже студенты пытаются ответить: "Прямая, имеющая одну общую точку с графиком функции." Это не так. Одну общую точку касательная и график функции, как правило, имеют только в локальной окрестности этой точки, за пределами такой окрестности могут быть разные варианты "взаимодействия" прямой и графика. И даже из этого правила существуют исключения. Например, задумайтесь о том, что такое касательные к графику линейной функции? Сколько общих точек с графиком функции у = sinx имеет прямая y = 1?

Касательная - это предельное положение секущей.

Понятие предела здесь неразрывно связано с понятием производной. Чтобы было понятнее значение этого момента для решения и самопроверки заданий ЕГЭ по математике, для некоторых задач, которые не имеют чертежей и графиков в условии задачи, я привожу эти иллюстрации в решении. Сначала в виде уменьшенной копии - иконки. После полного разбора задачи щелкните по ней клавишей мыши, чтобы увеличить, и вы увидите то, что получили в результате аналитических вычислений.

Пусть даны функция у = f(x) и точка М( x0; f(x0) ) на графике этой функции. Пусть известно, что при x = x0 существует производная этой функции f '(x0). Тогда
уравнение касательной в точке с абсциссой x0 имеет вид: y = f '(x0)·(xx0) + f(x0)

Однако для решения ряда задач, на мой взгляд, проще применять не само уравнение, а те соображения, из которых его выводили:
1) уравнение любой прямой имеет вид y = kx + b;
2) если прямая является касательной к графику функции f(x) в точке х0, то её угловой коэффициент совпадает с производной функции в этой точке, т.е. k = f '(x0);
3) точка касания принадлежит как прямой, так и графику функции, это означает, что её координаты должны удовлетворять обоим уравнениям, и подставляя в уравнение прямой и в выражение для функции значение абсциссы х0, мы должны получить одинаковые значения для ординаты y, т.е. kx0 + b = f(x0).

Задача 1

Прямая y = 5x − 3 параллельна касательной к графику функции y = x2 + 2x − 4. Найдите абсциссу точки касания.

Задача 2

Прямая y = − 4x − 11 является касательной к графику функции y = x3 + 7x2 + 7x − 6. Найдите абсциссу точки касания.

Задача 3

Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.

Задача 4

Прямая y = −5x + 8 является касательной к графику функции 28x2 + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Задача 5

Прямая y = 3x + 4 является касательной к графику функции 3x2 − 3x + c. Найдите c.

Задачи на физический смысл производной.

Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x).

Это может означать, например, следующее:
Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени.
Если же мы рассматриваем в качестве функции мгновенную скорость автомобиля, то производная задает изменение его ускорения.
Если мы рассматриваем функцию, задающую зависимость объема произведенной продукции от времени, то производная позволит узнать, как изменялась со временем производительность труда на этом предприятии.
Если мы рассматриваем электромагнитные волны, то нам могут потребоваться функции, характеризующие изменение со временем электрического и магнитного полей, а также их производные - скорости изменения этих полей, ведь величина магнитного поля пропорциональна скорости изменения электрического поля.
И т.п.

Решая конкретные текстовые задачи на скорость процесса с применением производной, следует не забывать о размерностях величин. Если переменная y, заданная функцией f(x) измеряется в некоторых единицах [y], а её аргумент в единицах [x], то производная (скорость) измеряется в единицах [y/x].

Задача 6

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t2 − 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9с.

Задача 7

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = −t4 + 6t3 + 5t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Задача 8

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 − 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Задача 9

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = (1/3)t3 − 3t2 − 5t + 3, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Вернуться и повторить решение задач этого типа с рисунками:

  1. Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
  2. Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.

К этой теме также могут быть отнесены задачи на аналитическое нахождение максимума и минимума функции или наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. В ЕГЭ 2017 они вынесены в отдельное задание профильного уровня.
Перейти к этому заданию.

Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2017.
 

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.