Задача ЕГЭ 2018 - производная функции (продолжение).

Этот раздел посвящен группе задач с кратким ответом, связанных с производной. В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут встретиться под номером 14 для базового уровня и под номером 7 для профильного уровня.
Как и в задачах на определение характеристик производной и свойств функций по их графикам, здесь требуется понимание геометрического и физического смысла производной. Если вы еще не разбирались с упомянутыми задачами, перейдите по ссылкам в нижней части страницы.

  1. Задачи на геометрический смысл производной.
  2. Задачи на физический смысл производной.

В условии задач этой части задания на производную, в отличие от рассмотренных ранее, отсутствуют рисунки и графики. Для их решения необходимо применять аналитический подход, т.е. уметь вычислять производные функций, знать уравнение касательной к графику функции и т.п.

Процесс вычисления производных называют дифференцированием. Перед решением следующих задач стоит повторить формулы и правила дифференцирования функций.

Формулы дифференцирования функций

Формулы дифференцирования функций

Правила дифференцирования функций

Правила дифференцирования функций

Правила можно сформулировать и словами.

  1. Производная суммы равна сумме производных.
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
  3. Производная произведения равна "производная первого сомножителя, умноженная на второй, плюс производная второго сомножителя, умноженная на первый".
  4. Производная дроби равна "производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и деленные на знаменатель в квадрате".

Пример вычисления производной.

Вычислить производную функции f(x) = −x4 + 6x3 + 5x + 23.

f '(x) = (−x4 + 6x3 + 5x + 23)';
По правилу (1) дифференцирования суммы:
(−x4 + 6x3 + 5x + 23)' = (−x4)' + (6x3)' + (5x)' + (23)'.
По правилу 2 выносим за скобки числовые коэффициенты:
(−x4)' + (6x3)' + (5x)' + (23)' = −(x4)' + 6(x3)' + 5(x)' + (23)';
Переходим к формулам дифференцирования.
По формуле (xn)' = nxn − 1:
(x4)'= 4x4 − 1 = 4x3;
(x3)'= 3x3 − 1 = 3x2.
Для третьего слагаемого используем формулу (x)'= 1, а для последнего слагаемого формулу (с)' = 0 (производная константы равна нулю), т.е. (23)' = 0.
Получим: −(x4)' + 6(x3)' + 5(x)' + (23)' = −4x3 + 6·3x2 + 5·1 + 0 = −4x3 + 18x2 + 5.
Следовательно: f '(x) = −4x3 + 18x2 + 5.

Задачи на геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в рассматриваемой точке равняется угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в этой точке.

А что такое касательная к графику функции? Часто на этот вопрос школьники и даже студенты пытаются ответить: "Прямая, имеющая одну общую точку с графиком функции." Это не так. Одну общую точку касательная и график функции, как правило, имеют только в локальной окрестности этой точки, за пределами такой окрестности могут быть разные варианты "взаимодействия" прямой и графика. И даже из этого правила существуют исключения. Например, задумайтесь о том, что такое касательные к графику линейной функции? Сколько общих точек с графиком функции у = sinx имеет прямая y = 1?

Касательная - это предельное положение секущей.

Понятие предела здесь неразрывно связано с понятием производной. Чтобы было понятнее значение этого момента для решения и самопроверки заданий ЕГЭ по математике, для некоторых задач, которые не имеют чертежей и графиков в условии задачи, я привожу эти иллюстрации в решении. Сначала в виде уменьшенной копии - иконки. После полного разбора задачи щелкните по ней клавишей мыши, чтобы увеличить, и вы увидите то, что получили в результате аналитических вычислений.

Пусть даны функция у = f(x) и точка М( x0; f(x0) ) на графике этой функции. Пусть известно, что при x = x0 существует производная этой функции f '(x0). Тогда
уравнение касательной в точке с абсциссой x0 имеет вид: y = f '(x0)·(xx0) + f(x0)

Однако для решения ряда задач, на мой взгляд, проще применять не само уравнение, а те соображения, из которых его выводили:
1) уравнение любой прямой имеет вид y = kx + b;
2) если прямая является касательной к графику функции f(x) в точке х0, то её угловой коэффициент совпадает с производной функции в этой точке, т.е. k = f '(x0);
3) точка касания принадлежит как прямой, так и графику функции, это означает, что её координаты должны удовлетворять обоим уравнениям, и подставляя в уравнение прямой и в выражение для функции значение абсциссы х0, мы должны получить одинаковые значения для ординаты y, т.е. kx0 + b = f(x0).



Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Задача 1

Прямая y = 5x − 3 параллельна касательной к графику функции y = x2 + 2x − 4. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Прямая параллельная касательной имеет одинаковый с ней угол наклона к оси абсцисс. Т.е., угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) равен 5, как у заданной прямой.
С другой стороны, мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Найдем производную:
y'(x) = (x2 + 2x − 4)' = 2x + 2.
Составим уравнение, подставив в выражение для производной неизвестную абсциссу точки касания x0.
2x0 + 2 = 5
2x0 = 5 − 2 = 3
x0 = 3/2 = 1,5.

Ответ: 1,5

Замечание: Мы решали уравнение относительно неизвестной величины, обозначенной x0. Но решение было бы таким же, если бы эта величина обозначалась переменной x. Дополнительное обозначение понадобилось только для того, чтобы подчеркнуть, что уравнение составлено не для всех точек области определения функции, а именно для искомой точки касания. В том случае, когда по смыслу итак ясно, что речь идет только о точке касания, такого переобозначения обычно не делают, чтобы не загромождать записи. В следующих задачах я тоже не буду вводить этого обозначения без необходимости.

Щелкните по иконке, чтобы увидеть графическую иллюстрацию к этой задаче.

Задача 2

Прямая y = − 4x − 11 является касательной к графику функции y = x3 + 7x2 + 7x − 6. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Прямая является касательной, поэтому, с одной стороны, её угловой коэффициент определяется значением производной функции в точке касания, а с другой – он равен минус четырем, как это видно из уравнения прямой.
Найдем производную функции y'(x) = (x3 + 7x2 + 7x − 6)' = 3x2 + 14x + 7
и приравняем её значение в точке касания угловому коэффициенту, т.е. числу −4. (Переобозначать x на x0 необязательно, т.к. дальше нас интересует только абсцисса точки касания.) Таким образом составили и теперь решим квадратное уравнение:
3x2 + 14x + 7 = − 4
3x2 + 14x + 11 = 0
D = 142 − 4·3·11 = 196 − 132 = 64
x1 = (−14 + 8)/6 = −1
x2 = (−14 − 8)/6 = −11/3.
Найдем ординаты точек, которые имеют абсциссу x1 = −1 и принадлежат графику функции и графику прямой. Для этого подставляем −1 в уравнения функции и прямой.
yкас = −4·(−1) − 11 = 4 − 11 = − 7
yфун = (−1)3 + 7·(−1)2 + 7·(−1) − 6 = − 1 + 7 − 7 − 6 = − 7
Ординаты совпали, значит прямая действительно касается графика функции в этой точке.
Найдем ординаты точек, которые имеют абсциссу x2 = −11/3 и принадлежат графику функции и графику прямой.
yкас = −4·(−11/3) − 11 = 11/3 ≈ 3,667
yфун = (−11/3)3 + 7·(−11/3)2 + 7·(−11/3) − 6 ≈ 13,148
Ординаты не совпали, это разные точки. Ответом является только первый корень уравнения х = −1.

Ответ: −1

Щелкните по иконке, чтобы увидеть графическую иллюстрацию к этой задаче.

Задача 3

Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.

Решение

Прямая является касательной, поэтому, с одной стороны, её угловой коэффициент определяется значением производной функции в точке касания, а с другой – он равен трём, как это видно из уравнения прямой.
Находим производную
y'(x) = (ax2 + 2x + 3)' = 2ax + 2
и составляем уравнение
2ax + 2 = 3.
Но в этом уравнении два неизвестных a и x, значит нужно еще одно уравнение. Второе уравнение составим используя условие, что точка касания является общей точкой графиков функции и касательной.
3x + 1 = ax2 + 2x + 3
Эти два равенства составляют систему уравнений, которую будем решать методом подстановки. Из первого уравнения выражаем значение х
2ax = 3 − 2
2ax = 1
x = 1/(2a)
и подставляем его во второе уравнение, чтобы найти a.
3·1/(2a) + 1 = a·(1/(2a))2 + 2·1/(2a) + 3
(3 +2a)/(2a)= 1/(4a) +2/(2a) + 3;
Умножим на 4a обе части равенства.
6 + 4a = 1 + 4 + 12a
8a = 1; a = 1/8 = 0,125

Ответ: 0,125

Задача 4

Прямая y = −5x + 8 является касательной к графику функции 28x2 + bx + 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение

Прямая является касательной, поэтому, с одной стороны, её угловой коэффициент определяется значением производной функции в точке касания, а с другой – он равен минус пяти, как это видно из уравнения прямой.
Находим производную
y'(x) = (28x2 + bx + 15)' = 56x + b;
и составляем уравнение
56x + b = −5
Второе уравнение составляем исходя из того, что точка касания принадлежит обоим графикам и графику функции, и графику прямой
28x2 + bx + 15 = −5x + 8.
Объединим уравнения в систему. Затем первое умножим на х и вычтем его из второго.
28x2 − 56x2 + bxbx + 15 = −5x + 5x + 8.
После приведения подобных членов получим уравнение
−28x2 + 7 = 0.
Следовательно x2 = 7/28 = 1/4 и x1,2 = ±1/2.
По условию задачи абсцисса точки касания больше 0, поэтому выбираем положительный корень x1 = +1/2 и подставляем его в первое уравнение системы, чтобы определить b.
56x + b= −5
56·1/2 + b = −5
b = −5 −28; b = −33

Ответ: −33

Задача 5

Прямая y = 3x + 4 является касательной к графику функции 3x2 − 3x + c. Найдите c.

Решение

Найдем производную функции y'(x) = (3x2 − 3x + c)' = 6x − 3;
Приравняем её к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу точки касания:
6x − 3 = 3;
6x = 6; x = 1.
Используем условие, что точка касания является общей точкой прямой и графика функции, т.е. в равенство
3x + 4 = 3x2 − 3x + c
подставим единицу.
3·1 + 4 = 3·12 − 3·1 + c
7 = 3 − 3 + c, следовательно c = 7.

Ответ: 7

Задачи на физический смысл производной.

Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x).

Это может означать, например, следующее:
Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени.
Если же мы рассматриваем в качестве функции мгновенную скорость автомобиля, то производная задает изменение его ускорения.
Если мы рассматриваем функцию, задающую зависимость объема произведенной продукции от времени, то производная позволит узнать, как изменялась со временем производительность труда на этом предприятии.
Если мы рассматриваем электромагнитные волны, то нам могут потребоваться функции, характеризующие изменение со временем электрического и магнитного полей, а также их производные - скорости изменения этих полей, ведь величина магнитного поля пропорциональна скорости изменения электрического поля.
И т.п.

Решая конкретные текстовые задачи на скорость процесса с применением производной, следует не забывать о размерностях величин. Если переменная y, заданная функцией f(x) измеряется в некоторых единицах [y], а её аргумент в единицах [x], то производная (скорость) измеряется в единицах [y/x].

Задача 6

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t2 − 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9с.

Решение

Находим производную
x'(t) = (6t2 − 48t + 17)' = 12t − 48.
Таким образом мы получили зависимость скорости от времени. Чтобы найти скорость в заданный момент времени, нужно подставить его значение в полученную формулу:
x'(t) = 12t − 48.
x'(9) = 12·9 − 48 = 60.

Ответ: 60

Замечание: Убедимся, что не ошиблись с размерностью величин. Здесь единица измерения расстояния (функции) [x] = метр, единица измерения времени (аргумента функции) [t] = секунда, следовательно единица измерения производной [x/t] = [м/с], т.е. производная даёт скорость как раз в тех единицах, которые упомянуты в вопросе задачи.

Задача 7

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = −t4 + 6t3 + 5t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение

Находим производную
x'(t) = (−t4 + 6t3 + 5t + 23)' = −4t3 + 18t2 + 5.
Подставляем заданный момент времени в полученную формулу
x'(3) = −4·33 + 18·32 + 5 = −108 + 162 + 5 = 59.

Ответ: 59

Задача 8

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 − 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение

Находим производную
x'(t) = (t2 − 13t + 23)' = 2t − 13.
Приравниваем скорость, заданную полученной формулой, значению 3 м/с.
2t − 13 = 3.
Решив это уравнение, определим в какое время равенство является верным.
2t − 13 = 3.
2t = 3 + 13.
t = 16/2 = 8.

Ответ: 8

Задача 9

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = (1/3)t3 − 3t2 − 5t + 3, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение

Находим производную
x'(t) = ( (1/3)t3 − 3t2 − 5t + 3 )' = t2 − 6t − 5.
Составляем и уравнение:
t2 − 6t − 5 = 2;
t2 − 6t − 7 = 0.
Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или по теореме Виета. Здесь, на мой взгляд, вторым способом легче:
t1 + t2 = 6; t1·t2 = −7.
Легко догадаться, что t1 = −1; t2 = 7.
В ответ помещаем только положительный корень, т.к. время не может быть отрицательным.

Ответ: 7

Вернуться и повторить решение задач этого типа с графическим заданием условий:

  1. Задачи на определение характеристик производной по графику функции.
  2. Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.

К этой теме также могут быть отнесены задачи на аналитическое нахождение максимума и минимума функции или наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. В ЕГЭ 2018 они вынесены в отдельное задание профильного уровня.
Перейти к этому заданию.


Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.