Задача ЕГЭ 2018: стереометрия.

Задачи ЕГЭ по стереометрии многообразны. В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут встретиться под номерами 13 и 16 для базового уровня и под номером 8 для профильного уровня. На этом сайте они расположены на нескольких страницах и упорядочены по геометрическим телам. Соответствующие ссылки расположены справа и в конце статьи.
Непосредственно на этой странице рассмотрены темы - конус, цилиндр и прямоугольный параллелепипед.

 

Конус

В школе рассматривают не конус вообще, а только прямой круговой конус, называя его просто конусом. Поэтому вместо общего определения используем следующий факт:

Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета.
Катет, который служит осью вращения, - высота конуса. Боковая поверхность конуса создается "следом" гипотенузы треугольника, основание - "следом" второго катета.

конус - тело вращения

На рисунках изображен конус, полученный вращением закрашенного треугольника. Таким образом, ΔASO и ΔOSB - это, по существу, один и тот же треугольник в разных положениях при вращении вокруг оси SO. Катет SO является высотой конуса - h, второй катет (AO = OB) равен радиусу основания - r, длина гипотенузы (SA = SB) равна длине образующей - l.
Такое определение конуса даёт нам сразу две подсказки, как перейти к планиметрии:
- сечение плоскостью, проходящей через ось вращения, (обычно, это вертикальное сечение) позволяет свести задачу к рассмотрению прямоугольного или равнобедренного треугольника,
- сечение плоскостью, перпендикулярной оси вращения, (обычно, это горизонтальное сечение) позволяет свести задачу к свойствам круга.

Ниже вы видите чертежи на плоскости вместе с формулами, которыми можно пользоваться в этом разделе.
На синем рисунке представлены развёртка боковой поверхности конуса и его основание.
конус - развертка

На красном рисунке - осевое сечение конуса со всеми обозначениями, которые могут понадобиться при решении следующих трёх задач.
конус - осевое сечение

Внимание:1) В решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки.
2) Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Задача 1

Высота конуса равна 4, а диаметр основания - 6. Найдите образующую конуса.

Решение

1) Чертим треугольник SAO (выше есть готовый чертеж).
2) Делаем краткую запись задачи, соотнося всё с чертежом.
Дано: SO = h = 4, AC = 2r = 6.
Найти: SA = l = ?
3) Подставляем значения с чертежа в известные формулы:
l 2 = r 2 + h 2; r = 6/2 = 3;
l 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25; l 2 = 25; l = 5.

Ответ: 5

Задача 2.

Высота конуса равна 4, а длина образующей - 5. Найдите диаметр основания конуса.

Решение

Порядок наших действий такой же, как в предыдущей задаче: чертеж, краткая запись, формулы. Только в конце неизвестная величина оказывается в правой части равенства, что несколько удлиняет вычисления.
SO = h = 4, SA = l = 5, AC = 2r = ?
l 2 = r 2 + h 2;
52 = r 2 + 42;
52 − 42 = r 2 или r 2 = 52 − 42 = 25 − 16 = 9;
r 2 = 9; r = 3; AC = 2r = 2×3 = 6.

Ответ: 6

Задача 3

Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей - 5. Найдите высоту конуса.

Решение

См. пояснения к предыдущим задачам.
AC = 2r = 6, SA = l = 5, SO = h = ?
l 2 = r 2 + h 2; r = 6/2 = 3;
52 = 32 + h 2;
52 − 32 = h 2 или h 2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16;
h 2 = 16; h = 4.

Ответ: 4

 

Цилиндр

Так же, как и в случае с конусом, нам не потребуется общее определение цилиндра. В школьном курсе изучают прямой круговой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Прямой круговой цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рисунках изображен цилиндр, полученный вращением закрашенного прямоугольника. Сторона, которая служит осью вращения, - высота цилиндра. Боковая поверхность цилиндра создается "следом" противолежащей стороны, а основания - "следами" двух оставшихся сторон.

цилиндр - тело вращения

Такой цилиндр очень простое тело. Все его сечения плоскостями, параллельными оси, прямоугольники, а сечения плоскостями, перпендикулярными оси, равные круги. Длина образующей равна длине высоты. Развертка боковой поверхности тоже является прямоугольником. Можно свернуть стандартный лист "в трубочку" или оторвать и развернуть этикетку от консервной банки, например, из-под сгущенки, чтобы убедиться, что одна сторона этого прямоугольника (развертки) равна высоте цилиндра, а другая - длине окружности основания. А если вы это сделаете буквально, то ассоциативная память поможет легче и надежнее запомнить все нужные формулы.

Объем цилиндра V = πr 2h;
площадь боковой поверхности цилиндра Sб = 2πrh;
площадь полной поверхности цилиндра Sп = 2πrh + 2πr2,
где r - радиус основания цилиндра, h - его высота (см. рисунок).

Задача 4

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания - 1. Найдите высоту цилиндра.

Решение

Диаметр и радиус связаны соотношением d = 2r. Подставим d вместо 2r в формулу площади боковой поверхности
Sб = 2πrh = πdh. Тогда h = Sб/(πd). Подставляя известные величины, получаем
h = 2π/(π·1) = 2π/π = 2.

Ответ: 2

Задача 5

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а высота - 1. Найдите диаметр основания.

Решение

d = 2r, Sб = 2πrh = πdh.
Тогда d = Sб/(πh). Подставляем известные величины:
d = 2π/(π·1) = 2π/π = 2.

Ответ: 2

 

Прямоугольный параллелепипед

В учебниках и справочниках по математике мы можем встретить определение:
Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник.
При этом нужно знать (вспомнить, повторить, полистать справочник назад), что называется прямым параллелепипедом и параллелепипедом вообще. Тогда будет полное и верное представление о изучаемом объекте. Однако, для того, чтобы было легче запомнить, мы всё же двинемся вперед и прочитаем следующее определение:
Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, называется кубом.
Получается, что прямоугольный параллелепипед это ближайшее по форме к кубу тело, которе изучалось в школьном курсе, этакий невыровненный или, наоборот, "сжато-вытянутый куб". Несмотря на своё длинное название, это очень привычное для нас пространственное тело. Такую форму имеют многоэтажные дома, многие предметы мебели... наконец, мы живем внутри прямоугольного параллелепипеда - нашей комнаты.
пареллелепипед  к теореме
Важно: У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Все двугранные углы прямые. Параллельные ребра равны. Длины непараллельных ребер называют его линейными размерами. Например, говорят, прямоугольный параллелепипед размером 2×5×8 или a×b×с, как на рисунке.
Квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его линейных размеров

d 2 = a 2 + b 2 + c 2.

Давайте для краткости назовем эту формулу "трёхмерной теоремой Пифагора".

Алгоритм решения задач:
1. Чертим прямоугольный параллелепипед. Не обязательно в масштабе, можно от руки.
2. Подписываем вершины. Отмечаем на чертеже упомянутые в условии точки. Соединяем линиями, где это необходимо.
3. Ставим известные (заданные) значения прямо на чертеже.
4. Если получился треугольник внутри тела, то выясняем есть ли в нем прямой угол и какой именно. Для этого пользуемся теоремами о перпендикуляре к плоскости или о трех перпендикулярах.
5. Чертим этот треугольник на плоскости. На нем также отмечаем заданные и искомые величины, если нужно, перенося числа с параллельных ребер.
6. Проводим необходимые вычисления по известным формулам. Как правило, это будут теорема Пифагора и определения синуса и косинуса острых углов прямоугольного треугольника.

В решениях задач, которые даны ниже, рисунки цветные. Строго говоря, это не чертеж, а картинка, раскрашенная для лучшего восприятия. Если занимаетесь серьезно, то повторите их для себя в черно-белом варианте. При необходимости, пользуйтесь штриховкой.

Задача 6

Найдите расстояние между вершинами A и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.

Решение

пареллелепипед  к задаче 6
Отмечаем на чертеже вершины A и D1, соединяем их прямой линией. Длина отрезка AD1 и есть искомое расстояние. Из чертежа видно, что нужный отрезок является диагональю передней грани, т.е. прямоугольника AA1D1D со сторонами 3 и 4. Находим квадрат диагонали (по обычной теореме Пифагора) AD12 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Следовательно, AD1 = 5.

Ответ: 5

Замечание: Получается так, что AB = 5 дано, но не нужно для этой задачи. Пусть вас это не смущает. Просто параллелепипед задан полностью, а задача касается только одной грани.

Задача 7

Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.

Решение

Способ I.

пареллелепипед 1 к задаче 7 Отмечаем на чертеже вершины C и A1, соединяем их прямой линией. Видим, что отрезок A1С находится внутри тела, соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани, т.е. является диагональю параллелепипеда размером 5×4×3. Квадрат диагонали находим по "трёхмерной теореме Пифагора":

d 2 = 52 + 42 + 32 = 25 + 16 + 9 = 50.

Это и есть ответ.

Способ II.

параллелепипед 2 к задаче 7
Начинаем также, как в первом способе. Нужно вычислить квадрат отрезка A1С. Соединяем точки С и A, чтобы получить прямоугольный треугольник, в котором A1С - гипотенуза. Убеждаемся, что это так рассуждением: так как ребро AA1 перпендикулярно плоскости грани ABCD, значит оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и АС (теорема о перпендикуляре к плоскости). Таким образом, угол A1AC прямой. Чертим этот треугольник на плоскости, отмечаем на нем известные и искомые величины. Чтобы найти квадрат гипотенузы нужно знать два катета, а у нас на плоском чертеже подписан один. AC неизвестен, но из объемного чертежа видно, что он является диагональю нижней грани, т.е. прямоугольника со сторонами 5 и 4. Вычисляем, дважды применяя обычную теорему Пифагора:
2 = 52 + 42 = 25 + 16 = 41.
A1С 2 = 2 + AA1 2 = 41 + 32 = 41 + 9 = 50.

Ответ: 50

Замечания:
1) Будьте внимательны к тому, что просят написать в ответе. Сравните - в предыдущей задаче "Найдите расстояние... ", в этой "Найдите квадрат расстояния... "
2) Решение этой задачи вторым способом, безусловно, хуже первого. Но что делать, если какая-то формула или теорема в своё время была не доучена? Лучше решать долго и некрасиво, чем не решить никак. Однако, дальше для определения диагонали прямоугольного параллелепипеда я буду использовать только первый способ.

Задача 8

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1 = 1, CD = 2, AD = 2. Найдите длину диагонали CA1.

Решение

пареллелепипед к задаче 8
Задача, по-существу, такая же, как предыдущая. Ведь в формуле

d 2 = a 2 + b 2 + c 2

d - любая диагональ прямоугольного параллелепипеда, a,b,c - три его характерных размера, каким бы образом их не задали. Поэтому

d 2 = 12 + 22 + 22 = 1 + 4 + 4 = 9. d = 3.

Следовательно, диагональ CA1 = 3.

Ответ: 3

Замечание: Будьте внимательны к тому, что просят написать в ответе. Сравните - в предыдущей задаче "Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1... ", в этой "Найдите длину диагонали CA1... "

Задача 9

Найдите угол ABD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3. Ответ дайте в градусах.

Решение

пареллелепипед  к задаче 9
Отмечаем на чертеже вершины A, B, D1, соединяем их прямыми линиями. Закрашиваем треугольник, который содержит искомый угол. Этот треугольник прямоугольный, так как ребро AB перпендикулярно плоскости грани AA1D1D, значит оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и АD1, т.е. угол BAD1 прямой. Рисуем прямоугольный треугольник на плоскости, отмечаем известные и искомые величины. Чтобы найти острый угол прямоугольного треугольника, нужно знать его синус или косинус, т.е. отношение одного из катетов к гипотенузе. Длина гипотенузы BD1 неизвестна, но из объемного чертежа видно, что эта линия соединяет вершины, не принадлежащие одной грани, т.е. является диагональю параллелепипеда размером 5×4×3. Находим квадрат диагонали
d 2 = 52 + 42 + 32 = 25 + 16 + 9 = 50.
Следовательно, BD1 = d = √50__ = 5√2_. К искомому углу прилежит известный катет AB. Отношение прилежащего катета к гипотенузе - косинус: cos ABD1 = AB/BD1 = 5/(5√2_) = 1/(√2_) = √2_/2. Это табличное значение косинуса, которое так часто встречалось на уроках, что вы должны были уже запомнить его наизусть: cos45° = √2_/2. Значит угол ABD1 = 45°

Ответ: 45

Задача 10

Найдите угол C1BC прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 4. Ответ дайте в градусах.

Решение

пареллелепипед  к задаче 10
Все 3 точки искомого угла принадлежат одной грани BB1C1C. Таким образом, сразу видно, что угол C1BC находится в прямоугольном треугольнике с катетами ВС = AD = 4 и 1 = AA1 = 4. Получилось, что катеты BC и 1 равны (оба по 4). Пользуясь этим, делаем вывод, что этот треугольник равнобедренный, значит его острые углы по 45°
180 − 90 = 90; 90/2 = 45.

Ответ: 45

Замечание: Вместо равенства катетов, можно воспользоваться значением тангенса или синуса искомого угла, предварительно вычислив их, как это сделано в следующей задаче. А если катеты не равны, то нужно вычислять синус, или косинус, или тангенс, смотря, какие стороны вам известны.

Задача 11

Найдите угол DBD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 5. Ответ дайте в градусах.

Решение

пареллелепипед  к задаче 11
Строим треугольник с вершинами в точках D, B, D1. Отрезок D1D перпендикулярен BD, потому что перпендикулярен всей плоскости ABCD. Катет, противолежащий искомому углу известен. Если мы найдем второй катет, то сможем определить тангенс угла, а если найдем гипотенузу, то - синус. Обычно, я предпочитаю второй вариант, но он не всегда лучший. Давайте, сделаем обоими способами:

a) найдём BD как диагональ прямоугольника ABCD. BD 2 = 42 + 32 = 25; BD = 5.
   tgD1BD = D1D/BD = 5/5 = 1. Это табличное значение тангенса. Угол равен 45°.
b) найдём BD1 как диагональ всего параллелепипеда. BD12 = 42 + 32 + 52 = 50; BD1 = 5√2_.
   sinD1BD = D1D/BD1 = 5/(5√2_) = 1/(√2_) = √2_/2. Это табличное значение синуса. Угол равен 45°.

Ответ: 45

Задача 12

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 = 3, CD = 2, AD = 2. Найдите длину ребра AA1.

Решение

пареллелепипед  к задаче 12
Все параллельные ребра равны, т.е. AA1 = BB1 = CC1 = DD1, и вместо AA1 можно находить любое из трех последних.
Строим прямоугольный треугольник, который включает данный отрезок BD1. Одной из его сторон является D1D, её длину и будем находить.
D1D перпендикулярно BD, потому что перпендикулярно всей плоскости ABCD, значит BD1 - гипотенуза, DD1 - катет. Найдём BD2 как квадрат диагонали прямоугольника ABCD:
BD2 = 22 + 22 = 8.
По теореме Пифагора для треугольника BDD1 находим:
DD12 = BD12BD2 = 32 − 8 = 9 − 8 = 1; D1D2 = 1, значит D1D = 1.

Ответ: 1

Упомянутая литература:
1. Гусев В.А., Мордкович А.Г. "Математика: Справочные материалы"

Очевидно, что этими темами варианты задания не ограничиваются. Чтобы продолжить подготовку к заданию по стереометрии, перейдите по ссылкам на другие станицы сайта.

Перейти на страницу с многогранником.
Перейти к задачам с призмой.
Перейти к задачам с пирамидой.
Перейти к задачам, содержащим шар или сферу.
Перейти к задачам на вписанные и описанные тела вращения.

Вернуться  к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ 2018.