Задача ЕГЭ 2017: стереометрия.



Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.) Кроме того, в решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки.

Здесь расположены примеры задач ЕГЭ 2017 по математике на темы:
Конус.
Цилиндр.
Прямоугольный параллелепипед.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2017 года они могут встретиться под номерами 13 и 16 для базового уровня и под номером 8 для профильного уровня.

Чтобы перейти к решению задач с другими геометрическими телами (пирамидой, призмой, многогранником) перейдите по ссылкам, расположенным в нижней части страницы.

Конус

В школе рассматривают не конус вообще, а только прямой круговой конус, называя его просто конусом. Поэтому вместо общего определения используем следующий факт:

Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета.
Катет, который служит осью вращения, - высота конуса. Боковая поверхность конуса создается "следом" гипотенузы треугольника, основание - "следом" второго катета.

конус - тело вращения

На рисунках изображен конус, полученный вращением закрашенного треугольника. Таким образом, ΔASO и ΔOSB - это, по существу, один и тот же треугольник в разных положениях при вращении вокруг оси SO. Катет SO является высотой конуса - h, второй катет (AO = OB) равен радиусу основания - r, длина гипотенузы (SA = SB) равна длине образующей - l.
Такое определение конуса даёт нам сразу две подсказки, как перейти к планиметрии:
- сечение плоскостью, проходящей через ось вращения, (обычно, это вертикальное сечение) позволяет свести задачу к рассмотрению прямоугольного или равнобедренного треугольника,
- сечение плоскостью, перпендикулярной оси вращения, (обычно, это горизонтальное сечение) позволяет свести задачу к свойствам круга.

Ниже вы видите чертежи на плоскости вместе с формулами, которыми можно пользоваться в этом разделе.
На синем рисунке представлены развёртка боковой поверхности конуса и его основание.
конус - развертка

На красном рисунке - осевое сечение конуса со всеми обозначениями, которые могут понадобиться при решении следующих трёх задач.
конус - осевое сечение

Задача 1

Высота конуса равна 4, а диаметр основания - 6. Найдите образующую конуса.

Задача 2.

Высота конуса равна 4, а длина образующей - 5. Найдите диаметр основания конуса.

Задача 3

Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей - 5. Найдите высоту конуса.

Цилиндр

Так же, как и в случае с конусом, нам не потребуется общее определение цилиндра. В школьном курсе изучают прямой круговой цилиндр, называя его для краткости просто цилиндром.

Прямой круговой цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рисунках изображен цилиндр, полученный вращением закрашенного прямоугольника. Сторона, которая служит осью вращения, - высота цилиндра. Боковая поверхность цилиндра создается "следом" противолежащей стороны, а основания - "следами" двух оставшихся сторон.

цилиндр - тело вращения

Такой цилиндр очень простое тело. Все его сечения плоскостями, параллельными оси, прямоугольники, а сечения плоскостями, перпендикулярными оси, равные круги. Длина образующей равна длине высоты. Развертка боковой поверхности тоже является прямоугольником. Можно свернуть стандартный лист "в трубочку" или оторвать и развернуть этикетку от консервной банки, например, из-под сгущенки, чтобы убедиться, что одна сторона этого прямоугольника (развертки) равна высоте цилиндра, а другая - длине окружности основания. А если вы это сделаете буквально, то ассоциативная память поможет легче и надежнее запомнить все нужные формулы.

Объем цилиндра V = πr 2h;
площадь боковой поверхности цилиндра Sб = 2πrh;
площадь полной поверхности цилиндра Sп = 2πrh + 2πr2,
где r - радиус основания цилиндра, h - его высота (см. рисунок).

Задача 4

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания - 1. Найдите высоту цилиндра.

Задача 5

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а высота - 1. Найдите диаметр основания.

Прямоугольный параллелепипед

В учебниках и справочниках по математике мы можем встретить определение:
Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник.
При этом нужно знать (вспомнить, повторить, полистать справочник назад), что называется прямым параллелепипедом и параллелепипедом вообще. Тогда будет полное и верное представление о изучаемом объекте. Однако, для того, чтобы было легче запомнить, мы всё же двинемся вперед и прочитаем следующее определение:
Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, называется кубом.
Получается, что прямоугольный параллелепипед это ближайшее по форме к кубу тело, которе изучалось в школьном курсе, этакий невыровненный или, наоборот, "сжато-вытянутый куб". Несмотря на своё длинное название, это очень привычное для нас пространственное тело. Такую форму имеют многоэтажные дома, многие предметы мебели... наконец, мы живем внутри прямоугольного параллелепипеда - нашей комнаты.
пареллелепипед  к теореме

Важно: У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Все двугранные углы прямые. Параллельные ребра равны. Длины непараллельных ребер называют его линейными размерами. Например, говорят, прямоугольный параллелепипед размером 2×5×8 или a×b×с, как на рисунке.
Квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его линейных размеров

d 2 = a 2 + b 2 + c 2.
Давайте для краткости назовем эту формулу "трёхмерной теоремой Пифагора".

Алгоритм решения задач:
1. Чертим прямоугольный параллелепипед. Не обязательно в масштабе, можно от руки.
2. Подписываем вершины. Отмечаем на чертеже упомянутые в условии точки. Соединяем линиями, где это необходимо.
3. Ставим известные (заданные) значения прямо на чертеже.
4. Если получился треугольник внутри тела, то выясняем есть ли в нем прямой угол и какой именно. Для этого пользуемся теоремами о перпендикуляре к плоскости или о трех перпендикулярах.
5. Чертим этот треугольник на плоскости. На нем также отмечаем заданные и искомые величины, если нужно, перенося числа с параллельных ребер.
6. Проводим необходимые вычисления по известным формулам. Как правило, это будут теорема Пифагора и определения синуса и косинуса острых углов прямоугольного треугольника.

В решениях задач, которые даны ниже, рисунки цветные. Строго говоря, это не чертеж, а картинка, раскрашенная для лучшего восприятия. Если занимаетесь серьезно, то повторите их для себя в черно-белом варианте. При необходимости, пользуйтесь штриховкой.

Задача 6

Найдите расстояние между вершинами A и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.

Задача 7

Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1 = 3.

Задача 8

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1 = 1, CD = 2, AD = 2. Найдите длину диагонали CA1.

Задача 9

Найдите угол ABD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5 , AD = 4 , AA1 = 3. Ответ дайте в градусах.

Задача 10

Найдите угол C1BC прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5 , AD = 4 , AA1 = 4. Ответ дайте в градусах.

Задача 11

Найдите угол DBD1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 5. Ответ дайте в градусах.

Задача 12

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 = 3, CD = 2, AD = 2. Найдите длину ребра AA1.

Упомянутая литература:
1. Гусев В.А., Мордкович А.Г. "Математика: Справочные материалы"

Продолжить работу с этим заданием ЕГЭ:

Многогранник. Перейти на страницу с многогранником.
Правильная призма. Перейти к задачам с призмой.
Правильная пирамида. Перейти к задачам с пирамидой.


Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2017.
 

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.