Задание ЕГЭ 2017 по стереометрии:
призма и пирамида.



Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.) Кроме того, в решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки.

Здесь Вы можете познакомиться с примерами решения задач ЕГЭ по математике с призмой и пирамидой.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2017 года они могут встретиться под номерами 13 и 16 для базового уровня и под номером 8 для профильного уровня.

Чтобы перейти к решению задач с другими геометрическими телами (конусом, цилиндром, прямоугольным параллелепипедом, многогранником) перейдите по ссылкам, расположенным слева или в нижней части страницы.  


Правильная призма

Чтобы дать определение правильной призмы, сначала вспомним, что такое призма вообще. Призма образуется параллельным переносом плоского многоугольника. И состоит из двух оснований - начальное и конечное положение многоугольника - и отрезков, соединяющих их соответствующие точки. Призму называют n-угольной по количеству углов многоугольника в основании. Например, треугольная призма в основании имеет треугольник, пятиугольная - пятиугольник. Посмотреть анимацию движения (построения призмы)

Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
Прямая призма называется правильной, если её основаниями являются правильные многоугольники.

Если призма не прямая, её называют наклонной. Если призма не прямая, она не может быть правильной.
К множеству прямых четырехугольных призм, в частности, относится рассмотренный нами прямоугольный параллелепипед. А если в основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат, то он относится к множеству правильных призм.

призма шестиугольная

На рисунке изображена правильная шестиугольная призма и многоугольник, лежащий в её основании. Точка O - центр многоугольника (центр вписанной и описанной окружностей). Эти чертежи нам понадобятся для решения следующих четырёх задач.
Сразу отметим, что правильный шестиугольник можно составить из 6-ти равносторонних треугольников. Изучение свойств правильных многоугольников не относится к этому параграфу, их нужно повторить вместе с задачами по планиметрии. Но не забывайте, что другие правильные многоугольники можно составить из равнобедренных треугольников и только шестиугольник из равносторонних. Чтобы убедиться в этом, посчитайте углы.
Следующие задачи нужно решать попарно, сравнивая их условия между собой.

Задача 1

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками B и E.

Задача 2

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны √5. Найдите расстояние между точками B и E1.

Задача 3

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.

Задача 4

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол AC1C. Ответ дайте в градусах.
 


Правильная пирамида.

Пирамида - это многогранник, который образуется в результате соединения всех точек некоторого плоского многоугольника (основания) с точкой, не лежащей в плоскости этого многоугольника (вершиной пирамиды). Чтобы понять и запомнить такое определение пирамиды, посмотрите анимацию построения.
Пирамиду называют n-угольной по количеству углов многоугольника в основании. Например, треугольная пирамида имеет в основании треугольник, пятиугольная - пятиугольник. Все боковые грани пирамиды - треугольники.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

На рисунке представлены треугольная и четырёхугольная пирамиды, в основании которых лежат, соответственно, правильный треугольник - равносторонний треугольник ABC - и правильный четырехугольник - квадрат ABCD - c центрами в точке О. Эти пирамиды будут правильными, если перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды S на плоскость основания, попадает строго в точку О.
У правильной пирамиды боковые ребра равны, боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой.

пирамиды

Объем пирамиды V = Sосн· h/3, где Sосн - площадь основания, h - высота.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды Sб = Pосн· l/2, где Pосн - периметр основания, l - апофема.
Площадь полной поверхности пирамиды Sп = Sб + Sосн

Задача 5

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S -вершина,
SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC.

Задача 6

В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

Задача 7

В правильной треугольной пирамиде SABC L - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.

Задача 8

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

Продолжить работу с этим заданием ЕГЭ 2017:

Перейти на страницу с многогранником.
Перейти к задачам с конусом.
Перейти к задачам с цилиндром.
Перейти к задачам с прямоугольным параллелепипедом.
Перейти к задачам, содержащим шар или сферу.
Перейти к задачам на вписанные и описанные тела вращения.

Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2017.

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.