Задание ЕГЭ 2018 по стереометрии – призма и пирамида.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года задачи по стереометрии могут встретиться под номерами 13 и 16 для базового уровня и под номером 8 для профильного уровня. Здесь Вы можете познакомиться с примерами решения задач ЕГЭ по математике с призмой и пирамидой. Чтобы перейти к решению задач с другими геометрическими телами (конусом, цилиндром, прямоугольным параллелепипедом, многогранником) перейдите по ссылкам, расположенным справа или в нижней части страницы.

 


Правильная призма

Чтобы дать определение правильной призмы, сначала вспомним, что такое призма вообще. Призма образуется параллельным переносом плоского многоугольника. И состоит из двух оснований - начальное и конечное положение многоугольника - и отрезков, соединяющих их соответствующие точки. Призму называют n-угольной по количеству углов многоугольника в основании. Например, треугольная призма в основании имеет треугольник, пятиугольная - пятиугольник. Если Ваш браузер поддерживает Flash, Вы сможете посмотреть анимацию движения (построения призмы).

Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
Прямая призма называется правильной, если её основаниями являются правильные многоугольники.

Если призма не прямая, её называют наклонной. Если призма не прямая, она не может быть правильной.
К множеству прямых четырехугольных призм, в частности, относится рассмотренный нами прямоугольный параллелепипед. А если в основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат, то он относится к множеству правильных призм.

призма шестиугольная

На рисунке изображена правильная шестиугольная призма и многоугольник, лежащий в её основании. Точка O - центр многоугольника (центр вписанной и описанной окружностей). Эти чертежи нам понадобятся для решения следующих четырёх задач.
Сразу отметим, что правильный шестиугольник можно составить из 6-ти равносторонних треугольников. Изучение свойств правильных многоугольников не относится к этому параграфу, их нужно повторить вместе с задачами по планиметрии. Но не забывайте, что другие правильные многоугольники можно составить из равнобедренных треугольников и только шестиугольник из равносторонних. Чтобы убедиться в этом, посчитайте углы.
Следующие задачи нужно решать попарно, сравнивая их условия между собой.

Внимание: в решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки. Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

Задача 1

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками B и E.

Решение

призма для 1-й задачи
Отмечаем точки B и E на чертеже призмы, соединяем их. Видно, что обе точки и весь отрезок принадлежат основанию, значит задача сразу сводится к планиметрии - нужно найти длину отрезка в правильном шестиугольнике. Чертим шестиугольник, точки, отрезок. Из правого чертежа получаем: BO = OE = EF = 1; следовательно BE = 2EF = 2×1 = 2.

Ответ: 2

Задача 2

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны √5_. Найдите расстояние между точками B и E1.

Решение

призма для 2-й задачи
Отмечаем точки B и E1 на чертеже призмы, соединяем их. Видно, что точки принадлежат разным граням, т.е. отрезок BE1 является диагональю призмы. Соединим также точки В и Е, чтобы построить прямоугольный треугольник BЕE1, который представлен на чертеже справа. Угол BЕE1 - прямой. Убедимся в этом: призма прямая, значит ребро ЕE1 перпендикулярно плоскости основания, значит ЕE1 перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе BE. Гипотенузу BE1 можно найти по теореме Пифагора, так как катет ЕE1 = √5_ по условию задачи, а катет ВЕ легко найти пользуясь свойствами шестиугольника. Мы как раз это делали в предыдущей задаче и получили ВЕ = 2EF = 2·√5_.
BE12 = EE12 + BE2 = (√5_)2 + (2·√5_)2 = 5 + 4·5 = 25;
BE1 = 5.

Ответ: 5

Замечание: Если бы у нас не было результата предыдущей задачи, нам потребовалось бы повторить её решение, чтобы найти отрезок BE. Так что имейте в виду - в условиях экзамена может потребоваться не один плоский чертеж.

Задача 3

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.

Решение

призма для 3-й задачи
Отмечаем угол DAB на чертеже призмы. Он полностью находится в плоскости основания, переходим к плоскому чертежу шестиугольника. Отмечаем искомый угол, он является углом при вершине равностороннего треугольника АОВ, следовательно равен 60о.

Ответ: 60

Замечание: В качестве упражнения к другим вариантам этой задачи посчитайте углы ABD, BDA, BCD, CDB.

Задача 4

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол AC1C. Ответ дайте в градусах.

Решение

призма для 4-й задачи
Отмечаем угол AC1C на чертеже призмы. Треугольник AC1C, содержащий искомый угол, также включает боковое ребро призмы и отрезок, лежащий в её основании, следовательно он прямоугольный (боковое ребро прямой призмы перпендикулярно основанию). По условию все ребра равны 1, значит C1C = 1. Чтобы найти угол прямоугольного треугольника через синус, нам еще понадобится длина гипотенузы AC1, а чтобы найти угол через тангенс понадобится длина катета AC. Катет AC является отрезком внутри правильного шестиугольника, поэтому его длину найти легче, чем длину диагонали призмы AC1, выбираем способ "через тангенс".
AC находим как основание равнобедренного треугольника АВС с известными боковыми сторонами и углом при вершине 120о. См. самый правый чертеж.
Получим AC = 2·BC·cos30o = 2·1·√3_/2 = √3_.
Тогда tg∠AC1C = AC/CC1 = √3_/1 = √3_. Это табличное значение тангенса. Вспоминаем, что ему соответствует угол 60o.

Ответ: 60

Замечания.
1) Отрезок АС в шестиугольнике можно найти множеством способов.
2) Это решение годится и в случае, когда длины боковых ребер не равны ребрам у основания. Поскольку здесь по условию задачи все ребра равны, то можно решить задачу без применения тригонометрии. Для этого нужно доказать равенство треугольника AC1C треугольнику ACD и вычислить углы последнего по чертежу. Попробуйте сделать это.

 


Правильная пирамида.

Пирамида - это многогранник, который образуется в результате соединения всех точек некоторого плоского многоугольника (основания) с точкой, не лежащей в плоскости этого многоугольника (вершиной пирамиды). Чтобы понять и запомнить такое определение пирамиды, посмотрите анимацию построения.
Пирамиду называют n-угольной по количеству углов многоугольника в основании. Например, треугольная пирамида имеет в основании треугольник, пятиугольная - пятиугольник. Все боковые грани пирамиды - треугольники.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

На рисунке представлены треугольная и четырёхугольная пирамиды, в основании которых лежат, соответственно, правильный треугольник - равносторонний треугольник ABC - и правильный четырехугольник - квадрат ABCD - c центрами в точке О. Эти пирамиды будут правильными, если перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды S на плоскость основания, попадает строго в точку О.
У правильной пирамиды боковые ребра равны, боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой.

пирамиды

Объем пирамиды V = Sосн· h/3, где Sосн - площадь основания, h - высота.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды Sб = Pосн· l/2, где Pосн - периметр основания, l - апофема.
Площадь полной поверхности пирамиды Sп = Sб + Sосн

Задача 5

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S -вершина,
SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC.

Решение

треугольная пирамида
Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, отрезок AC - его диагональ. Так как точка O - центр основания, то AC = 2·ОC. Отрезок ОС, в свою очередь, является катетом прямоугольного треугольника SOC. Его длину найдем по теореме Пифагора.
ОC2 = SC2 - SO2 = 52 - 42 = 25 - 16 = 9;
ОC = 3; AC = 2·3 = 6.

Ответ: 6

Задача 6

В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

Решение

треугольная пирамида
Отмечаем упомянутые в условии точки и отрезки на чертеже пирамиды. Отрезок SR принадлежит боковой грани, поэтому наряду с пирамидой и основанием, начертим и её - треугольник BSC.
По формуле площади боковой поверхности правильной пирамиды Sб = Pосн· l/2.
Так как пирамида правильная, то ΔBSC - равнобедренный, и линия, соединяющая середину его основания с вершиной, является не только медианой, но и высотой этого треугольника, а значит апофемой пирамиды (l = 2).
Периметр основания - сумма всех сторон треугольника ABC. Треугольник равносторонний, следовательно
Pосн = AB + BC + AC = 3·AB = 3·1 = 3.
Таким образом Sб = Pосн· l/2 = 3·2/2 = 3.

Ответ: 3

Задача 7

В правильной треугольной пирамиде SABC L - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.

Решение

треугольная пирамида
Сравните условия и чертежи этой и предыдущей задач. Если не считать отличия в обозначениях (точку обозначили не буквой R, а буквой L), то чертежи одинаковые, а задача является обратной по отношению к предыдущей. Т.е. там требовалось найти площадь боковой поверхности пирамиды, здесь она дана, и, наоборот, там была дана длина отрезка AB, здесь её требуется найти. Значит все рассуждения вплоть до самой последней формулы остаются такими же.
Апофема пирамиды l = SL = 2. Периметр основания Pосн = 3·AB.
Площадь боковой поверхности Sб = 3 (по условию задачи).
Подставляем все известные величины в формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды: Sб = Pосн· l/2.
Получаем 3 = 3·AB·2/2. Производим алгебраические преобразования: 3 = 3·AB или 3·AB = 3; AB = 1.

Ответ: 1

Задача 8

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

Решение

треугольная пирамида

Объем пирамиды V = Sосн· h/3, где Sосн - площадь основания, h - высота.
Основание - треугольник ABC, его площадь дана в условии задачи, следовательно Sосн = 3.
Медианы основания - это медианы равностороннего треугольника ABC. Равносторонний треугольник, как мы знаем, "ну очень правильный", его медианы являются также его высотами и его биссектрисами, поэтому точка пересечения медиан и есть центр треугольника, который выше мы обозначали символом О. Соответственно здесь MS - высота, т.о. h = MS = 1.
Подставляем найденные величины в формулу V = Sосн· h/3 = 3·1/3 = 1.

Ответ: 1

Продолжить работу с этим заданием ЕГЭ 2018:

Перейти на страницу с многогранником.
Перейти к задачам с конусом.
Перейти к задачам с цилиндром.
Перейти к задачам с прямоугольным параллелепипедом.
Перейти к задачам, содержащим шар или сферу.
Перейти к задачам на вписанные и описанные тела вращения.

Вернуться  к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ 2018.