Задание с кратким ответом:
стереометрия - многогранник.



Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.) Кроме того, в решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки.

Здесь мы рассмотрим задачи, которые содержат многогранник с прямыми двугранными углами. В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2017 года они могут встретиться под номерами 13 и 16 для базового уровня и под номером 8 для профильного уровня.

Чтобы обратиться к другим типам этого задания по стереометрии (варианты с конусом, цилиндром, прямоугольным параллелепипедом, призмой и пирамидой) перейдите по ссылкам в нижней части страницы.

Многогранник

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника. Углы, образуемые двумя соседними гранями и их продолжениями, являются двугранными углами. Мерой двугранного угла служит соответствующий ему линейный угол. Линейный угол расположен в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла, и образован двумя полупрямыми - линиями пересечения этой плоскости с гранями.

Обратите внимание, что в условии всех задач, которые мы будем решать ниже, встречается фраза "Все двугранные углы многогранника прямые". Опираясь на это и определение меры двугранного угла, легко доказать, что грани (плоские многоугольники) также имеют только прямые углы (90о или 270о). А это, в свою очередь, означает, что грани либо прямоугольники, либо фигуры, которые легко разбить на прямоугольники. У прямоугольника, как известно, противоположные стороны равны. Поэтому все размеры, данные на чертежах следующих задач, можно переносить с одного ребра на другое, если эти ребра параллельны и являются сторонами одного прямоугольника.

Вспомним также, что мы уже рассматривали похожий случай. Прямоугольный параллелепипед - это тело, все грани которого прямоугольники. Поэтому для решения следующих задач мы можем использовать свойства, теоремы и алгоритмы из 3-его раздела. (Если вы еще не занимались задачами на прямоугольный параллелепипед, лучше сначала обратитесь к ним, а затем снова вернетесь к этой странице.)

polyhedron вар_1

Задача 1

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.



На первый взгляд, следующая задача ничем не отличается от первой. Однако это не так. В условии изменилась лишь одна буква, на чертеже изменилась лишь одна точка - и у нас совсем другое решение! Поэтому напоминаю еще раз - не заучивайте точное решение конкретной задачи, старайтесь запомнить его алгоритм, методику, способы...

polyhedron вар_1

Задача 2

Найдите расстояние между вершинами A и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.



polyhedron вар_4

Задача 3

Найдите растояние между вершинами D и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

polyhedron вар_2

Задача 4

Найдите тангенс угла C2C3B2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.


polyhedron вар_3

Задача 5

Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.



многогранник вар_2

Задача 6

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.


А эта задача в том виде, в котором она помещена в банк заданий ФИПИ, мне категорически не нравится. Поэтому решения для неё я здесь не привожу. Кому интересно, можно перейти по ссылке прототип №245377 задачи ЕГЭ по математике и посмотреть недостатки формулировки задачи и её предполагаемое решение.


Другие темы этого задания ЕГЭ 2017 по математике:

Конус. Перейти на страницу с конусом.
Цилиндр. Перейти на страницу с цилиндром.
Прямоугольный параллелепипед. Перейти к задачам с прямоугольным параллелепипедом.
Правильная призма. Перейти к задачам с призмой.
Правильная пирамида. Перейти к задачам с пирамидой.


Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2017.
 

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.