Задание с кратким ответом: стереометрия - многогранник.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ по математике 2018 года задачи по стереометрии встречаются под номерами 13 и 16 для базового уровня и под номером 8 для профильного уровня.

Здесь мы рассмотрим задачи, которые содержат многогранник с прямыми двугранными углами. Чтобы обратиться к другим типам этого задания по стереометрии (варианты с конусом, цилиндром, прямоугольным параллелепипедом, призмой и пирамидой) перейдите по ссылкам справа или в нижней части страницы.

Многогранник

Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника. Углы, образуемые двумя соседними гранями и их продолжениями, являются двугранными углами. Мерой двугранного угла служит соответствующий ему линейный угол. Линейный угол расположен в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла, и образован двумя полупрямыми - линиями пересечения этой плоскости с гранями.

Обратите внимание, что в условии всех задач, которые мы будем решать ниже, встречается фраза "Все двугранные углы многогранника прямые". Опираясь на это и определение меры двугранного угла, легко доказать, что грани (плоские многоугольники) также имеют только прямые углы (90о или 270о). А это, в свою очередь, означает, что грани либо прямоугольники, либо фигуры, которые легко разбить на прямоугольники. У прямоугольника, как известно, противоположные стороны равны. Поэтому все размеры, данные на чертежах следующих задач, можно переносить с одного ребра на другое, если эти ребра параллельны и являются сторонами одного прямоугольника.

Вспомним также, что мы уже рассматривали похожий случай. Прямоугольный параллелепипед - это тело, все грани которого прямоугольники. Поэтому для решения следующих задач мы можем использовать свойства, теоремы и алгоритмы из 3-его раздела. (Если вы еще не занимались задачами на прямоугольный параллелепипед, лучше сначала обратитесь к ним, а затем снова вернетесь к этой странице.)

Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.) Кроме того, в решениях задач часто встречаются рисунки, дождитесь их полной загрузки.
polyhedron вар_1 Задача 1

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

к решению с многогранником 1а Отмечаем указанные точки на чертеже. Соединяем их прямой линией. Отрезок DC2 принадлежит одной из граней многогранника. Чертим эту грань, отмечаем на ней известные размеры (при необходимости переносим их с соседних параллельных рёбер: DD2 = AA2 = 2). В плоском прямоугольном треугольнике DD2С2 отрезок DC2 является гипотенузой, квадрат которой равен сумме квадратов катетов.
DC22 = DD22 + D2C22 = 22 + 12 = 5.

Ответ: 5

На первый взгляд, следующая задача ничем не отличается от первой. Однако это не так. В условии изменилась лишь одна буква, на чертеже изменилась лишь одна точка - и у нас совсем другое решение! Поэтому напоминаю еще раз - не заучивайте точное решение конкретной задачи, старайтесь запомнить его алгоритм, методику, способы...

polyhedron вар_1 Задача 2

Найдите расстояние между вершинами A и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

к решению с многогранником 1бОтмечаем указанные точки на чертеже. Соединяем их прямой линией. Отрезок AC2 соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани. В этом случае у нас есть два варианта решения задачи:

Способ I.
Найти проекцию этого отрезка на одну из граней, которым принадлежит хотя бы одна отмеченная точка. Здесь удобно взять верхнюю грань A2B2C2D2 и построить плоский чертеж треугольника AA2C2.
Способ II.
Продолжить грань A1B2C2D1 вниз до пересечения с плоскостью основания, тем самым отрезав от многогранника прямоугольный параллелепипед, в котором искомый отрезок является диагональю. На чертеже он выделен зеленым цветом.
Мне нравится 2-й способ.

Все три размера прямоугольного параллелепипеда известны, следовательно квадрат его диагонали легко найти по "трехмерной теореме Пифагора":
AC22 = 22 + 22 + 12 = 4 + 4 + 1 = 9.  AC2 = 3.

Ответ: 3

Замечания:
1) Правило, которое я для краткости называю "трехмерной теоремой Пифагора", можно повторить в разделе, посвященном прямоугольному параллелепипеду. Три размера - высота, ширина и глубина.
2) Будьте внимательны с ответом. В предыдущем случае просили записать квадрат расстояния, а здесь - само расстояние.

polyhedron вар_4 Задача 3

Найдите растояние между вершинами D и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

к решению с многогранником 1б Отмечаем указанные точки на чертеже. Соединяем их прямой линией. Отрезок DC2 соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани. Более того, часть отрезка лежит вне многогранника. Но это не имеет никакого значения для решения задачи способом I - через проекции. Здесь удобно взять проекцию на плоскость основания и рассмотреть треугольник DHC2.
Чтобы решить задачу способом II, продолжим грани, соседние с искомым отрезком, до пересечения, тем самым достроив недостающую часть параллелепипеда, в котором искомый отрезок является диагональю. На чертеже он выделен зеленым цветом.
Находим три размера выделенного прямоугольного параллелепипеда. Для этого используем грани-прямоугольники и переносим размеры с противолежащих параллельных рёбер:
Высота: EE2 = FD2 = 6; ширина: HE = FE - FH = FE - D2C2 = 6 - 3 = 3; глубина: B2C2 = A2D2 = 2.
Квадрат диагонали находим по "трехмерной теореме Пифагора":
DC22 = 62 + 32 + 22 = 36 + 9 + 4 = 49.  DC2 = 7.

Ответ: 7

Замечание: "Трехмерная теорема Пифагора" сформулирована в разделе, посвященном прямоугольному параллелепипеду.

polyhedron вар_2 Задача 4

Найдите тангенс угла C2C3B2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение

к решению с многогранником 2 Ставим на чертеже точки, упомянутые в условии задачи. Соединяем их. Отмечаем искомый угол.
ΔB2C2C3, которому принадлежит этот угол, полностью расположен на одной из граней многогранника. Чертим эту грань, отмечаем на ней известные размеры (при необходимости переносим их с параллельных рёбер: B2C2 = B1C1 = BC = 3). В плоском прямоугольном треугольнике B2C2C3 катет B2C2 - противолежащий и катет C2C3 - прилежащий для искомого угла C2C3B2, следовательно по определению

tg C2C3B2 = B2C2/C2C3 = 3/1 = 3.

Ответ: 3

polyhedron вар_3 Задача 5

Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.

Решение

к решению с многогранником 3 Ставим на чертеже точки, упомянутые в условии задачи. Соединяем их. Отмечаем искомый угол.
ΔAD2C, которому принадлежит этот угол, почти полностью расположен внутри многогранника. Обычно задачи с участием наклонной секущей плоскости сложнее предыдущих, но здесь реализовался простой случай - сразу видно, что ΔAD2C является равносторонним, ведь все его стороны являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников. Например, все катеты ΔAA2D2, ΔABC и ΔСDD2 равны 7. (Убедитесь в этом самостоятельно. Последний треугольник удобно дополнительно начертить на плоскости.) Нам даже необязательно вычислять длины этих гипотенуз, достаточно факта их равенства, потому что в любом равностороннем треугольнике все углы равны 60o.

Ответ: 60o

многогранник вар_2 Задача 6

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

А эта задача в том виде, в котором она помещена в банк заданий ФИПИ, мне категорически не нравится. Поэтому решения для неё я здесь не привожу. Кому интересно, можно перейти по ссылке прототип №245377 задачи ЕГЭ по математике и посмотреть недостатки формулировки задачи и её предполагаемое решение.

Другие темы этого задания ЕГЭ 2018 по математике:

Конус. Перейти на страницу с конусом.
Цилиндр. Перейти на страницу с цилиндром.
Прямоугольный параллелепипед. Перейти к задачам с прямоугольным параллелепипедом.
Правильная призма. Перейти к задачам с призмой.
Правильная пирамида. Перейти к задачам с пирамидой.


Вернуться  к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ 2018.