ЕГЭ 2017: стереометрия -
нахождение характеристик геометрических тел.



Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения временно скрыты. Они показываются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

В ЕГЭ 2017 профильного уровня геометрическим телам и объектам в пространстве (линиям, плоскостям, двугранным углам и пр.) посвящены два задания - 8 (с кратким ответом) и 14 (с развёрнутым решением). Они могут различаться по трудности, но по набору рассматриваемых объектов практически неотличимы. В обоих есть тела вращения и многогранники, сечения и проекции, требования определить размеры отдельных элементов - ребер, углов, радиусов оснований и т.д. - и общие характеристики тел, такие как объём, площадь всей или боковой поверхности и пр. Только задание 14 чуть комплекснее, т.е. содержит больше задач на сочетание различных тел, чем предыдущее по номеру.

Поэтому, если Вы еще не занимались заданиями по стереометрии, то настоятельно рекомендую начать со следующих разделов этого сайта.

Там более подробно представлены формулы и описаны свойства названных фигур.

А здесь начнем с задач, содержащих шар.

Задачи, содержащие сферу и шар.

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем заданного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а заданное расстояние - его радиусом.

Вспомним еще одно очень похожее определение:

Сферой называется замкнутая поверхность, все точки которой находятся на заданном расстоянии от данной точки, называемой её центром. Заданное расстояние называется её радиусом

Таким образом, чтобы не смущал вопрос "Чем сфера отличается от шара?", зрительно представьте себе, что сфера это "полый шар" или шар это "заполненная сфера". Более строго математическим языком можно сказать так:

"Часть пространства, ограниченная сферой и содержащая её центр, называется шаром." Или так: "Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой."

Теперь, когда мы разобрались с шаром и сферой, мы понимаем, что понятия объём, сегмент, сектор, слой относятся к шару. (Шаровой сегмент, шаровой сектор, шаровой слой.) Понятия площадь, криволинейные треугольники, координаты и т.п. относятся к сфере. (Существует целая сферическая геометрия, которая изучает геометрические образы находящиеся на сфере так же, как планиметрия - на плоскости. В частности, с понятием сферических координат вы впервые познакомились на географии: широта и долгота. Координатная сетка состоит из меридианов и параллелей.)
Центр, радиус, диаметр (отрезок, соединяющий две точки сферы, и проходящий через центр), сечения есть и у шара, и у сферы.

шар и сфера

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Сравните "Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность."

Большим кругом (или большой окружностью) называется сечение плоскостью, проходящей через центр.

касательная плоскость и шар (сфера)
Плоскость, проходящая через некоторую точку шаровой поверхности (сферы) перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку называется касательной плоскостью. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Прямая, проходящая через точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. Таких прямых через одну точку можно провести бесконечное множество, но все они будут лежать в одной плоскости - в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Поскольку одна плоскость рассекает шар на две части, то на рисунке фактически присутствуют два сегмента, хотя указатель ориентирован на меньший.
Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса и получается таким образом: если шаровой сегмент меньше полушария, то к нему добавляется конус с вершиной в центре шара и основанием равным основанию сегмента; если же сегмент больше полушария, то такой конус из него вырезается.
На рисунке представлены два сектора. Задачи чаще решают с тем, к которому отнесен указатель. Параметры второго всегда можно определить вычитанием.
Шаровой слой - это часть шара, "вырезанная" двумя параллельными плоскостями.

Шаровой сегмент, шаровой сектор

Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра, как оси.

Пусть символом R обозначен радиус шара (сферы), а в точке О находится её центр. Тогда

верны следующие формулы.

Диаметр

D = 2·R.


Радиус сечения шара плоскостью

r = R2OA2________,

где точка А - центр круга в плоскости сечения.


Площадь сферы

S = 4πR2.


Объём шара

V = 4_ 3πR3.


Объём шарового сегмента высотой Н

V = πH2(R1_ 3H).


Объём шарового сектора

V = 2_ 3πR2·H,

где Н - высота соответствующего шарового сегмента.
шаровой сектор и сегмент, размеры


Обратите внимание: Шар - предельно симметричное тело. Любой диаметр - ось симметрии. Любой большой круг - плоскость симметрии. Таким образом, шар имеет бесконечное число осей симметрии и бесконечное число плоскостей симметрии. Поэтому задачи с ним очень легко решать с помощью построения плоских сечений. Выбирай любое удобное и переходи к планиметрической задаче.

MA.E10.B9.28/innerimg0.jpg

Пример 1

Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Многогранник описан около сферы, следовательно, многогранник снаружи, сфера внутри, и все грани многогранника являются касательными плоскостями сферы.

Прямоугольный параллелепипед является 6-тигранником, имеет 3 пары параллельных граней и прямые двугранные углы. У прямоугольного параллелепипела есть центр - точка пересечения диагоналей - и, как минимум, три плоскости симметрии, проходящие через его центр параллельно граням.

Решение

Совместим центр шара и центр параллелепипеда и построим сечения упомянутыми плоскостями симметрии параллелепипеда. Они же будут и плоскостями симметрии сферы.

Одна из этих плоскостей, параллельная основаниям, построена на рисунке в задании. Вторая представлена на моём рисунке ниже. О третьей подумайте самостоятельно.
куб описан около сферы

В каждой их этих плоскостей сечением сферы будет большая окружность, а сечением параллелепипеда - прямоугольник. При построении этого прямоугольника убеждаемся, что касаться окружности его стороны будут тогда и только тогда, когда они равны между собой и равны диаметру окружности, т.е. в сечении получится квадрат со стороной 2R, где R - радиус сферы. Иначе не будут соблюдены определения плоскостей и прямых касательных к сфере и к окружности.
Таким образом, делаем вывод, что из всех прямоугольных параллелепипедов описать вокруг сферы можно только куб. Из рисунка получаем, что ребро куба равно диаметру сферы.

Проводим вычисления:
Единичная сфера – это сфера радиусом R = 1. Значит сторона квадрата равна 2. Площадь одной из граней, площадь квадрата, равна 4. А площадь поверхности всего куба – это суммарная площадь всех шести граней, т.е. 6×4 = 24.

Ответ:24

Замечания
1) Рисунок в тексте задания бывает не всегда. Иногда составители его туда помещают формально, иногда - в качестве подсказки или намёка к решению. Иногда чертёж при решении задачи действительно необходим, иногда достаточно вспомнить готовую формулу и можно ничего не рисовать. В любом случае на этапе подготовки к экзамену чертёж нужно делать всегда и самостоятельно, чтобы набить руку.
2) В задачах по стереометрии особое значение имеет доказательство каждого утверждения. В заданиях этой группы (задания с коротким ответом) ваших доказательств проверять никто не будет, кроме вас самих! Но они нужны. Ведь без ответа на вопрос "Почему так?" не может быть уверенности, что задача решена верно.
В этой задаче ответы на все "почему" сводятся к "по построению", "из соображений симметрии", "потому, что в точках касания радиус перпендикулярен касательной прямой".

Пример 2

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 28. Найдите объём конуса.

Конус вписан в шар - конус внутри, сфера снаружи. Вершина конуса находится на сфере, и граница основания конуса (окружность) проходит по сфере. Таким, образом с поверхностью шара конус имеет общую точку и общую линию. На объёмном рисунке они изображены синим цветом.

куб описан около сферы
Конус имеет ось вращения, которая совпадает с одним из диаметров шара. Построим сечение плоскостью, проходящей через эту ось. В сечении получится большой круг и вписанный в него треугольник. Если радиус основания конуса меньше радиуса шара, то в зависимости от высоты конуса, основание треугольника будет находиться ниже или выше центра шара. На рисунке сечений это показано красным контуром или зеленым, соответственно.

куб описан около сферы По условию задачи радиус основания конуса равен радиусу шара, значит в нашей задаче основание конуса совпадает с большим кругом шара, а рассматриваемому осевому сечению соответствует положение треугольника ABC на нижнем рисунке.

Решение

Объём конуса находится по формуле

Vкон. = 1_ 3πr2·h.

Здесь r – радиус основания конуса, на нашем рисунке он совпадает с OC и, следовательно, с радиусом шара Rh – высота конуса, на чертеже она совпадает с отрезком OB, который также является радиусом шара R.

Подставим R вместо r и h в формулу для объёма конуса.

Vкон. = 1_ 3πR2·R = 1_ 3πR3.

Чтобы определить радиус шара, воспользуемся формулой для его объёма. Ведь именно эта величина дана в условии задачи.

Vшара = 4_ 3πR3.

Подставим в эту формулу вместо Vшара число 28 и решим уравнение относительно R3.

28 = 4_ 3πR3;    28·3 = 4πR3;    R3 = 28·3____ = 21__π

Подставляем эту величину в полученную выше формулу объёма конуса

Vкон. = 1_ 3πR3 = 1_ 3π·21__π = 7.

(Последнюю дробь сократили на 3 и на π.)

Ответ: 7

Замечания
1) Если забыты формулы для конуса, их можно повторить, перейдя по ссылке.
2) Старайтесь не делать лишних действий при вычислениях, чтобы не было лишних ошибок. Например, здесь в стоящее выше выражение нужно было подставить R3, поэтому совершенно бессмысленно было находить R через кубический корень, а затем снова возводить выражение в 3-ю степень. Что и показано в примере.
Но если быть еще внимательнее, то сравнивая преобразованную формулу для Vкон. (вторая строка формул) и следующую за ней формулу для Vшара, можно обнаружить, что эти объёмы отличаются в 4 раза. Тогда вычисления укладываются вообще в одно действие - 28/4 = 7.

Теперь проверьте себя.

Задача 1

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 6. Найдите объём шара.

Задача обратная к приведенной в Примере 2.
Проводим те же рассуждения, строим те же чертежи и используем те же формулы.

r (радиус конуса) = R (радиус шара) по условию задачи.
h (высота конуса) = R (радиус шара) из чертежа сечения.

Vкон. = 1_ 3πr2·h = 1_ 3πR2·R = 1_ 3πR3.

Сравним полученное выражение с формулой объёма шара

Vшара = 4_ 3πR3

Они отличаются только коэффициентом 4, т.е. объем шара в 4 раза больше объёма конуса. Таким образом,

Vшара = 4·Vкон. = 4·6 = 24.

Задача 2

Куб вписан в шар радиуса √3 _. Найдите объем куба.

Куб вписан в шар - куб внутри, сфера снаружи. Все вершины куба лежат на поверхности шара. Т.е. куб имеет со сферой 8 общих точек.
У куба есть центр симметрии - точка пересечения диагоналей. Центр принадлежит 9-ти плоскостям симметрии куба, которые проходят через пары противоположных ребер либо через середины противоположных ребер.
Центр шара и центр симметрии вписанного куба совпадают.
Поэтому для успешного решения подобных задач нужно просто выбрать одно из сечений плоскостью симметрии куба - то, в котором больше известных величин.

куб вписан в сферу

Строим одно из диагональных сечений куба, например, BB1D1D. Оно является плоскостью симметрии куба. Точка O - центр куба и шара - принадлежит этой плоскости. Сечением шара будет его большой круг.

Дальше задача решается, как в планиметрии. На плоском чертеже подписываем известные из условия значения величин и те, которые определили сами.
Чтобы найти объём куба, нужно знать длину его ребра. Обозначим её за x.
Отрезок B1D1 является диагональю верхней грани куба, т.е. квадрата A1B1C1D1, поэтому его длина √2_·x. (Это можно помнить как формулу из учебника или определить по теореме Пифагора из треугольника A1B1D1.)
Отрезки OB и OD1 являются радиусами большой окружности, поэтому их длины равны √3 _ по условию задачи.
Треугольник BB1D1 - прямоугольный, т.к. является сечением куба плоскостью, перпендикулярной его основанию. Поэтому применим к треугольнику BB1D1 теорему Пифагора.
BD12 = BB12 + B1D12
(√3 _ + √3 _)2 = x2 + (√2_·x)2

Преобразуем уравнение и решаем его относительно x.
(2·√3 _)2 = x2 + (√2_·x)2;
4·3 = x2 + 2·x2;
12 = 3x2;
x2 = 4;  x = 2.

Вычисляем объём куба V = x3 = 23 = 8.

Как я уже упоминала, в банке заданий ФИПИ задачи по стереометрии ЕГЭ 2017 распределены на две части -задания 8 и 14. На мой взгляд, независимо от уровня трудности задачи к стереометрии надо готовиться не по номеру задания, а по типам фигур. Следующие задачи формально относятся к заданию 8. Но поскольку они продолжают тему шара, то помещены в этом разделе сайта.
Если вы попали по ссылке непосредственно в это место страницы, чтобы повторить нужные формулы и понятия для сферы и шара, прокрутите страницу вверх.

Задача 3

Куб описан около сферы радиуса 6,5. Найдите объём куба.

Объём куба V = a3, где a - длина его ребра.

Если Вы внимательно читали решение примера 1, то уже поняли, что ребро куба равно удвоенному радиусу, т.е. диаметру, описанной сферы.

a = 2·R = 2·6,5 = 13;
V = 133 = 132·13 = 169·13 = 2197.

Задача 4

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Пусть R - радиус шара. Площадь его поверхности определяется по формуле

Sш = 4πR2.

Большой круг - сечение, которому принадлежит центр шара, поэтому радиус круга равен радиусу шара. Площадь круга определяется по формуле

Sк = πR2.

Сравнивая эти два выражения, видим, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади круга, следовательно

Sш = 4·Sк = 4·3 = 12.

Задача 5

Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Пусть R - радиус второго шара. Площадь его поверхности S2 = 4πR2.

Тогда 2·R - радиус первого шара и S1 = 4π(2·R)2 = 4π·4·R2 - площадь его поверхности.

Чтобы ответить на вопрос задачи, составим отношение площадей

S1__S2 = 4π·4·R2______R2 = 4.

(Дробь сократилась на 4π и на R2.)

Замечания
1) Не торопитесь перемножать числа в дробных выражениях промежуточных вычислений. Может оказаться, что на следующем шаге дробь легче сократить.
2) Вообще говоря, это известный факт, в том числе и для школьной программы, что площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров. Поэтому, если радиусы шаров различаются в 2 раза, то площади поверхностей будут различаться в 22 = 4 раза. Задача решается в одно действие. Разумеется теми учениками, которые хорошо знают тему "Подобие фигур". Рекомендую повторить и следующую задачу решить этим способом.

Задача 6

Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров, а их объёмы относятся как кубы линейных размеров.
Все шары являются подобными фигурами и имеют характерный линейный размер - радиус.
Если объем одного шара в 27 раз больше объема второго, то радиус первого шара в 3 раза больше радиуса второго (27 = 33).
Тогда площадь поверхности первого шара в 9 раз больше площади поверхности второго (32 = 9).

Замечание: Если вы плохо помните тему "Подобие фигур", то задачу можно решить с использованием формул для площади поверхности и объёма шара, как это было показано в решении задачи 5.

Задача 7

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Шар вписан в цилиндр, следовательно шар внутри, цилиндр снаружи, центр шара лежит на оси симметрии цилиндра. Поверхность шара имеет с цилиндром 2 общие точки и одну общую окружность - "экватор" шара.
Шар вписан в цилиндр

Площадь полной поверхности цилиндра Sцил. = 2πrh + 2πr2, где r - радиус основания цилиндра, h - его высота.
Площадь поверхности шара Sшара = 4πR2, где R - радиус шара.

Строим сечение шара плоскостью, проходящей через ось симметрии цилиндра. В сечении получаем прямоугольник и вписанный в него большой круг шара. На плоском чертеже сечения обозначаем
R - радиус шара, это например, отрезки OO1, OO2, OE, соединяющие центр шара с общими точками цилиндра и поверхности шара;
r - радиус основания цилиндра, например, отрезок O1C;
h - высота цилиндра O1O2.

Пользуясь симметрией шара и прямого кругового цилиндра легко доказать, что все упомянутые отрезки - стороны прямоугольников. Поэтому r = R, h = 2R. Подставим эти величины в формулу площади полной поверхности цилиндра и произведем преобразования для упрощения выражения:

Sцил. = 2πrh + 2πr2 = 2πR·(2R) + 2πR2 = 4πR2 + 2πR2 = 6πR2.

Сравниваем с формулой поверхности шара: Sшара : Sцил. = 4πR2 :R2 = 2:3.
Таким образом, площадь шара составляет две третьих площади цилиндра: Sшара = 18·2/3 = 12.

Замечание: Если забыты формулы для цилиндра, их можно повторить, перейдя по ссылке.

Перейдите  по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2017.

Обо всех замеченных погрешностях: опечатках, неточностях, сбоях... сообщайте, пожалуйста, по email.

   ©mathematichka

E-mail: mathematichka@yandex.ru