Задача с многогранником
(прототип 245377).


Рассмотрим подробнее следующее задание.

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ниже приведены три рисунка к трем вариантам этого задания:



Скажите, пожалуйста, на каком из этих рисунков вам очевидно положение плоскости A1A2D2D1? Она расположена выше или ниже плоскости B2B1C1C2? На каком рисунке выше, на каком ниже, на каком обе плоскости находятся на одинаковой высоте?
Где указана высота этой плоскости по отношению к плоскости основания или по отношению к самой верхней грани многоугольника? Или каким образом её можно вычислить по другим данным? Из чего следует, что эта плоскость находится на той же высоте, что и плоскость B2B1C1C2, как это предполагает большинство решений этой задачи, размещенных в сети?
Этого не сказано в условии задачи, это не следует из свойств и формы данного многогранника. И даже, если это кажется "видным на глаз" для среднего рисунка, то не так уж и очевидно для двух крайних. А главное, в математике судить "на глаз" нельзя!, всё должно быть доказано. Это принципиальный момент. Недаром ведь изучение геометрии в школе мы начинали с понятий аксиома и теорема.

Итак, положение плоскости A1A2D2D1 в задаче не определено, а с ней и положение точки D2. Переносить длину ребра СС1 на ребра AA1 и DD1 нельзя, потому что у вас нет никаких доказательств, что AA1B1B и СС1D1D- прямоугольники! Таким образом, задача не имеет единственного решения. И остается только удивляться той уверенности, с которой штампуют готовые решения "доброжелатели" в Интернете. Ведь составители могут заметить погрешность в своей работе и устранить её в процессе формирования экзаменационных вариантов. А сделать это можно по-разному. Рассмотрим следующие варианты на примере среднего рисунка:

многогранник 1

Задача 1.

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.



Решение.

многогранник 1 Здесь задача доопределена указанием размера на одном из левых нижних вертикальных рёбер AA1 = 1. Так как СС1 тоже равно 1, то грани A1A2D2D1 и B2B1C1C2 находятся на одной высоте, а значит и в одной плоскости. Таким образом, решать задачу можно, как через проекции, так и построением прямоугольного параллелепипеда. Выбираем второй способ. Определим размеры построенного (зеленого) параллелепипеда. Высота СC1 = 1, глубина BC = 3, ширина С1D2 = C1C2 + C2D2 = C1C2 + C3D3 = 1 + 1 = 2.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда определяем как сумму квадратов его линейных размеров:
BD22= 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14.

Ответ:14.



многогранник 1

Задача 2.

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.



Решение.

Здесь задача доопределена указанием размера на одном из левых верхних вертикальных рёбер A2A3 = 1,1. При этом не трудно вычислить длину нижних ребер, так как общая высота многогранника составляет СС1 + С2С3 = 1 + 1 = 2. Тогда длина ребра AA1 = 2 - A2A3 = 2 - 1,1 = 0,9. Однако в этом случае грани A1A2D2D1 и B2B1C1C2 находятся на разной высоте и мы не можем построить прямоугольный параллелепипед аналогичный предыдущей задаче. (Конечно, можно построить другой прямоугольный параллелепипед с диагональю BD2, но он не сэкономит нам вычислений.) Поэтому решать будем через проекции.
многогранник 1
Для этого из точки D2 опускаем перпендикуляр на плоскость основания. Его длина D2F равна длине ребра AA1, т.е. 0,9. Соединяем точки F и B. Строим чертежи на плоскости для облегчения дальнейших вычислений.
Так как FC = D3C3 + C2C1 = 1 + 1 = 2, то из ΔFBC определяем:
FB2 = FC2 + BC2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13.
Из ΔFD2B определяем:
BD22 = FD22 + FB2 = 0,92 + 13 = 0,81 + 13 = 13,81.

Ответ:13,81

Замечание: Здесь нельзя переносить длину ребра CC1 на линию D2F, потому что CC1D2F - не прямоугольник!

многогранник 2 Рисунки многогранника, как в условии, так и в решении второй задачи выполнены с сохранением масштаба. Однако, если бы не было сиреневой цифры, то трудно было бы заметить, что левая верхняя грань ниже правой. Посмотрите, как мало мы промахиваемся мимо точек A2 и D2 при попытке построить прямоугольники AA1B1B и СС1D1D. Но ведь промахиваемся! И ответ другой!

Внимательными и осторожными необходимо быть не только вам, ученикам, но и составителям заданий. Им тоже трудно, потому что нужно сделать много однообразных задач, а от однообразия внимание притупляется. Если вы сомневаетесь в корректности какой-то задачи, можно обратиться к дежурному преподавателю. И никогда не старайтесь запомнить готовое решение, если нашли его в интернете. Берите и у меня, и на других сайтах методику, порядок действий, алгоритм решения, но не само решение. Удачи!

Вернуться к другим задачам на многогранник.

 

E-mail: mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.