логотип Математички: Е в степени Пи

Признаки делимости чисел.



  1. Задача 19 базового уровня ЕГЭ по математике.
  2. Признаки делимости натуральных чисел
  3. Задачи для самопроверки.

Для начала рассмотрим пример - решение задачи 19 (по теме натуральные числа) - КИМ реального ЕГЭ 2015 года, досрочный период, базовый уровень. (Теория к ней - признаки делимости - ниже.)

Задача 19

Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Раскладываем делитель - число 12 на простые множители. 12 = 3×4=3×2×2.
Следовательно, заданное число после вычеркивания чисел должно делиться на 3 и 4 или на 2, еще раз на 2 и, наконец, на 3.
На 2 делятся чётные числа, поэтому 1 в конце вычеркиваем сразу. Останется 18161512.
Но нам нужно, чтобы оно делилось на 2 дважды, т.е. делилось на 4.
Признак делимости на 4 утверждает, что для этого на 4 должно делиться двузначное число, образованное последними двумя цифрами. 12:4 = 3, поэтому две последние цифры числа 18161512 вычеркивать нельзя. Они гарантируют делимость числа на 4 (на обе двойки).
Чтобы число делилось на 3, нужно чтобы на 3 делилась сумма его цифр.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 = 3×8 + 1 - можно вычеркнуть одну из единиц, но по условию задачи нужно вычеркнуть еще две цифры;
25 = 3×7 + 4 - нет двух цифр для вычеркивания, сумма которых равнялась бы 4, т.к. последние цифры 1 и 2 трогать нельзя;
25 = 3×6 + 7 - сумма двух вычеркнутых цифр будет равна 7, если вычеркнуть 6-ку и любую из единиц, кроме последней.
Итак, возможные ответы: 811512 или 181512. Выбираем один из них, например

Ответ:181512

Замечание: на реальном ЕГЭ сделайте проверку своего ответа делением в столбик.

У кого-то могут возникнуть вопросы, что такое простые множители и как раскладывать на простые множители?
Простые множители нельзя дальше разделить. Простые числа делятся только на себя и на 1, например, 13:1 = 13 или 13:13 = 1 и всё. А раскладывать лучше постепенно.
Например 60 = 6×10, 6 = 2×3 и 10 = 2×5, значит 60 = 2×3×2×5.

Для решения подобных задач нужно знать теоремы - признаки делимости натуральных чисел. Чем больше вы знаете признаков, тем быстрее решите задачу. Повторите основные из них.

Признаки делимости натуральных чисел

С тех пор, как человечество изобрело обыкновенные и десятичные дроби, мы можем применять операцию деления к любым величинам. Однако, понятие делимость чисел обычно рассматривают на множестве натуральных чисел. Когда мы говорим "число делится", то подразумеваем, что деление происходит без остатка и результатом деления также является натуральное число.

Признак делимости на 2.

На 2 делятся все чётные числа. Мы потому и называем их чётными.
Число делится на два тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, т.е. 2, 4, 6, 8, 0.

Признак делимости на 3.

Натуральное число делится на три тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например, 4539861 делится на 3, т.к. 4+5+3+9+8+6+1 = 36. Число 36 делится на 3.
Например, 394762 не делится на 3, т.к. 3+9+4+7+6+2 = 31. Число 31 не делится на 3.
Можете проверить с помощью любимого калькулятора
4539861:3=1513287
394762:3=131587,33333333333333333333333333

Если сумма цифр получилась многозначным числом, её делимость можно проверить этим же признаком.
Например, 165394786171277984079 делится на 3, т.к. 1+6+5+3+9+4+7+8+6+1+7+1+2+7+7+9+8+4+0+7+9=111. 111 делится на 3, т.к. 1+1+1=3. Число 3 делится на 3.
165394786171277984079:3 = 55131595390425994693

Признак делимости на 4.

Натуральное число, содержащее не менее трёх цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Что касается проверки делимости на 4 двузначного числа, то используем тот факт, что 4 = 2×2, т.е. разделить на 4 - то же самое, что два раза подряд разделить на 2. Поэтому, во-первых, двузначное число должно быть четным, а, во-вторых, его легко разделить на 2 и посмотреть является ли результат также четным числом. Например,

5773211789020783 не делится на 4, т.к. 83 не делится на 2.
4920904953478666 не делится на 4, т.к. 66:2 = 33 - нечётное число.
5897592348940996 делится на 4, т.к. 96:2 = 48 - чётное число.

Доказательство работоспособности этого признака основано на делимости 100 на 4 и теореме о делимости суммы, которая приведена ниже. Здесь рассмотрим объяснение на примере из приведенной задачи ЕГЭ.
18161512 = 18161500 + 12 = 181615×100 + 12 = 181615×25×4 + 3×4 = (181615×25+3)×4.
В скобках получится натуральное число, значит исходное число можно разделить на 4 без остатка.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 5, либо 0.

Признак делимости на 6 обычно не формулируется как теорема. Так как 6=2×3, то используются последовательно признаки делимости на 2 и на 3. Таким образом, на 6 делятся чётные числа, сумма цифр которых делится на 3.
629 - не делится на 6, нечётное.
692 - не делится на 6, чётное, но 6+9+2=17 не делится на 3.
792 - делится на 6, чётное и 7+9+2=18 делится на 3.

Признак делимости на 8 также не формулируется как теорема.
Так как 8 = 2×4 и 1000 = 250×4, поэтому для чисел больше 1000 по аналогии с признаком делимости на 4 проверяется делимость на 8 числа, образованного тремя последними цифрами, а для чисел меньше 1000 (трёхзначных) используются последовательно непосредственное деление на 2 и проверка полученного результата по признаку деления на 4. Например,
58989081099472 - делится на 8, так как 472:2 = 236, а 36 делится на 4.

Признак делимости на 9.

Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например, 4539861 делится на 9, т.к. 4+5+3+9+8+6+1 = 36. Число 36 делится на 9.
Например, 394762 не делится на 9, т.к. 3+9+4+7+6+2 = 31. Число 31 не делится на 9.
4539861:9=504429
394762:9=43862,444444444444444444444444444

Признак делимости на 10.

Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.

Этот признак легко распространить на любые степени десятки. Число делится на 100, когда две его последние цифры являются нулями, на 1000, когда в конце три нуля и т.д.

Легко запоминающихся признаков делимости на простые числа типа 7, 11, 13, 17 ..., к сожалению, нет. Организаторы ЕГЭ это знают и задач, ориентированных на применение исключительно таких методов решения не включат. Хотя за долгую историю развития техники устного счёта математики, конечно, выявили и сформулировали некоторые общие особенности делимости таких чисел. Интересующиеся могут обратиться к википедии.

Я бы порекомендовала только обратить внимание еще на число 11. Ясно, что двузначное число делится на 11, если оно состоит из одинаковых цифр. Трёхзначное число делится на 11, если его средняя цифра равна сумме двух крайних, или если сумма первой и последней цифр равна средней цифре плюс 11. Например, 495 делится на 11, так как 4+5=9, а 957 делится на 11, так как 9+7=5+11.

А в заучивании признаков делимости на составные числа нет необходимости. Составные числа можно разложить на простые множители.

Теоремы о делимости произведения и суммы натуральных чисел.

Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Например, произведение 475×1230×800 делится на 3, так как второй сомножитель удовлетворяет признаку деления на 3 - сумма его цифр 1+2+3+0=6 делится на 3.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Например, сумма 475 + 1230 + 800 делится на 5, так как каждое сгагаемое удовлетворяет признаку деления на 5.

Обратное утверждение о делимости суммы не верно. Если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то для суммы возможны оба варианта, как делится, так и не делится.
43 не делится на 5, 17 не делится на 5, 43 + 17 = 60 делится на 5.

Обратное утверждение о делимости произведения можно сформулировать только после разложения делителя на простые сомножители. Собственно этому действию и была посвящена задача, которая помещена в начале раздела.

Если вы дружите с алгеброй и умеете выносить общий множитель за скобки и сокращать обыкновенные дроби, то теорему о делимости суммы можно запомнить как наличие общего сомножителя, а теорему о делимости произведения, как возможность сократить обыкновенную дробь.

Пользуясь теоремой о делимости суммы, можно "съэкономить" на вычислениях, например, при проверке признаков делимости на 3 и на 9. При сложении цифр больших чисел можно из суммы выбросить все цифры заведомо делящиеся, соответственно, на 3 или 9.
Вернемся к последнему примеру из пункта "признак деления на 3".
Для числа 165394786171277984079 вместо 1+6+5+3+9+4+7+8+6+1+7+1+2+7+7+9+8+4+0+7+9 вычисляем 1+5+4+7+8+1+7+1+2+7+7+8+4+0+7= 69. Результат тот же - делится на 3.

И последнее:
Математики не любят много писать. Длинные предложения и повторы одних и тех же слов хороши при объяснении решения, но при его записи желательно пользоваться условными обозначениями. Для термина "делится" можно использовать символ вертикальное многоточие.
486 означает, что 48 делится на 6, или что число 48 кратно числу 6.

Задачи для самопроверки.

Здесь приведены задачи с решениями, которые временно скрыты, чтобы вы могли сначала самостоятельно подумать над ними, а затем нажать кнопку для сравнения своего и моего решений. Аналогичные задачи с проверкой вашего ответа можно найти в Открытом банке заданий Федеральнного института педагогических измерений.

Задача 1

Приведите пример пятизначного числа кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число.
Показать решение

Задача 2

Приведите пример трёхзначного числа кратного 15, произведение цифр которого равно 30. В ответе укажите ровно одно такое число.
Показать решение

Задача 3

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2277. Приведите ровно один пример такого числа.
Показать решение

   Перейти на главную страницу сайта.