Если возникают вопросы - обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.
Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.
В прошлые годы ГВЭ (государственный выпускной экзамен) по математике сдавали школьники, которые по состоянию здоровья или по иным причинам не могли сдавать ЕГЭ. В этом году в связи со сложившейся эпидемиологической ситуацией ГВЭ будут сдавать все выпускники, не планирующие поступать в вузы. Варианты ГВЭ ранее были различной степени сложности и насыщенности, экзамены могли быть как в устной, так и в письменной форме. На официальном сайте ФИПИ представлены и те, и другие. По моему мнению, ещё могут быть изменения в структуре вариантов и не совсем ясен организационный формат экзамена, но наиболее вероятно, что его содержание будет базироваться на Образце экзаменационного материала ГВЭ-11 (письменная форма) 2021 года по МАТЕМАТИКЕ (100-е номера вариантов), представленном на сайте ФИПИ.
Ниже подробно рассматривается вариант ГВЭ-11 по математике, как и ранее, предназначенный для выпускников, освоивших основные образовательные программы среднего общего образования, но по тем или иным причинам несдающих ЕГЭ. Вариант представлен с решениями заданий и комментариями.
Как и базовый вариант ЕГЭ, экзаменационный вариант ГВЭ содержит справочные материалы. Основные отличия от базового состоит в том, что в варианте ГВЭ меньше заданий, но есть вторая часть, которая роднит его с профильным ЕГЭ по математике. Задания второй части проверяются не только по ответам, но по полному решению. Таких заданий всего два – одно по алгебре, второе по геометрии.
Часть 1
Задание 1
Показания счётчика электроэнергии 1 марта составляли 48 001 кВт·ч, а 1 апреля — 48 146 кВт·ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за март, если 1кВт·ч электроэнергии стоит 1 руб. 20 коп.? Ответ дайте в рублях.
Решение.
Количество электроэнергии, израсходованной за месяц, определяется разностью показаний счётчиков 1 апреля и 1 марта.\[48146 - 48001 = 145 (кВт\cdot ч)\] Чтобы определить стоимость израсходованной электроэнергии, нужно это количество, выраженное в кВт·ч, умножить на стоимость одного кВт·ч, выраженную в рублях. \[145\cdot 1,20 = 174 (рубля).\] Для справки: Киловатт-час равен количеству энергии, потребляемой (производимой) устройством мощностью один киловатт в течение одного часа.
Ответ: 174
Показать ответ
Комментарий к заданию. Это задание на ту же тему, что и задание 6 базового уровня ЕГЭ, а также заданиe 1 профильного уровня. Ознакомтесь с ними на соответствующих страницах сайта.
Также обратите внимание, что здесь контекст задания имеет явно выраженную практическую направленность.
Задание 2
Товар на распродаже уценили на 35%, при этом он стал стоить 1300 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?
Решение.
Если изначально товар стоил 100%, то после уценки на 35% он стал стоить \(100 - 35 = 65\) процентов от первоначальной стоимости. Таким образом, 1300 рублей это 65%, значит 1% составит \(1300:65 = 20\) рублей, а 100% соответственно составят \(20\cdot100 = 2000\) рублей.Ответ: 2000
Показать ответ
Комментарий к заданию. Как и задание 3 базового ЕГЭ, это задание может содержать задачи на проценты, части, пропорции. Задачи на проценты можно решать по определению, находя значение одного процента, составлением пропорций или переходом к сотым частям. При решении задач на пропорции будьте аккуратны с определением прямой или обратной пропорциональной зависимости.
Задание 3
Найдите корень уравнения \(\log_5{( 4x + 7)} = 2 .\)
Решение.
В уравнениях часто бывает ограниченная область допустимых значений переменной. Поэтому нужно выписывать ОДЗ. Для логарифма \(\log_a b\) это условия: \( b>0, a > 0, a\ne1\), т.е. как аргумент функции, так и её основание должны быть положительными и, кроме того, основанием логарифма не может быть единица.В нашем случае имеем \[4x + 7 > 0; \\4x > -7; \\x > -\frac{7}{4}; \\x > -1,75.\] В простейших случаях, а таковыми являются абсолютное большинство уравнений в этом хадании ГВЭ, отсутствие ОДЗ, если вы о нём забыли, может заменить проверка ответа подстановкой в уравнение.
Само уравнение решаем по определению логарифма – логарифмом числа b по основанию a называют такую степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Таким образом \[ 5^2 = 4x + 7;\\ 25-7 = 4x;\\ 18 = 4x; \; 4x = 18;\\ x = 18:4 = 4,5.\] 4,5 больше, чем −1,75, удовлетворяет ОДЗ, можно писать в ответ.
Ответ: 4,5
Показать ответ
Комментарий к заданию. Это задание на решение уравнений такого же класса трудности, как и в задании 7 базового уровня ЕГЭ или задании 5 профильного уровня. Для простейшей части последнего уравнения рассмотрены в статье Задание ЕГЭ: решение простых уравнений. Обратите внимание, что таблица, помещенная там, кликабельна: по щелчку на уравнении открывается его решение.
Задание 4
Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди них 6 спортсменов из России, в том числе спортсмен Т. Найдите вероятность того, что в первом туре Т. будет играть с каким-либо спортсменом из России.
Решение.
Для решения задачи достаточно воспользоваться формулой определения вероятности события \(P(A) = \dfrac{m}{n},\) где m число элементарных событий, благоприятствующих событию А, n - число всех элементарных событий.Здесь событие A = "Т. будет играть с каким-либо спортсменом из России", а элементарные события – конкретные партии с конкретными спортсменами. Вычислительно задание простое, но надо быть очень внимательным к условию задачи. Например, в этой задаче нужно помнить о том, что Т. не сможет сыграть партию в настольный теннис сам с собой. Поэтому для определения n нужно вычислить, сколько всего соперников может быть у Т., т.е. из общего числа спортсменов исключить его самого \( n = 26 - 1 = 25.\) А для определения m нужно вычислить, сколько россиян среди всех возможных соперников. Опять исключим самого Т., поскольку он тоже из России, но себе не соперник. \(m = 6 -1 = 5.\) Вероятность определяем делением \[P = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0,2. \]
Ответ: 0,2
Показать ответ
Комментарий к заданию. Задание на вероятность в базовом ЕГЭ имеет номер 10, а в профильном 4. В профильном ЕГЭ в этом задании могут встречаться задачи разного уровня трудности, как на классическое определение вероятности, так и на формулы для вычисления вероятностей комбинации событий. Задания ГВЭ по сложности ближе к базовому уровню, но после тренировки раздела Задачи только на определение вероятности, всё же просмотрите материалы по вероятности до конца, включая статью, посвященную типичным ошибкам при вычислении вероятности.
Задание 5
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия.
Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в период с сентября по декабрь 2003 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение.
После изучения диаграммы еще раз внимательно читаем, на какой вопрос нужно ответить. Наибольшее значение температуры нужно найти не для всего года, а только для определённого периода. Отделяем этот период и ищем на диаграмме самый высокий столбик для этого периода.Ответ: 12
Показать ответ
Комментарий к заданию. Задания на получение информации из диаграмм, графиков и таблиц в базовом ЕГЭ по математике были под номером 11. Они разнообразные, но не сложные. Большинство ошибок при решении этих задач обусловлено невнимательностью при прочтении условия задачи.
Задание 6
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
| НЕРАВЕНСТВА | РЕШЕНИЯ |
| А) \( 2^{-x+1} < \dfrac{1}{2}\) Б) \(\dfrac{(x-5)^2}{x-4} < 0 \) В) \( \log_4 x >1\) Г) \(( x − 4)( x − 2) < 0 \) |  |
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.
| А | Б | В | Г |
Решение.
Решаем каждое неравенство отдельно. Множество решений, полученное в ответе, сравниваем с графическими образами.
A) При решении показательных неравенств нужно стремиться к выравниванию оснований степеней \[2^{-x+1}<\dfrac{1}{2};\\ 2^{-x+1}<2^{-1}.\] Так как 2 > 1, основания можно "отбросить", не изменяя знака неравенства \[-x+1<-1.\] Далее решаем, как обычное линейное неравенство \[ -x < 2\\ x > 2.\] Множество \(x>2\) изображено на числовой оси под номером 4).
Б) Дробно-рациональное неравенство лучше решать сразу на числовой оси методом интерваловВидно, что неравенство выполняется (дробь является отрицательной) на участке \(x<4\), который заштрихован на оси 3).
В) Логарифмические неравенства можно решать аналогично показательным – выравниванием и отбрасыванием. Только нужно помнить о том, что логарифм имеет ограниченную область допустимых значений. Здесь ОДЗ: \(x>0\)
Воспользуемся тем, что \(\log_4{4} = 1\) и перепишем неравенство в виде \(\log_4{x} > \log_4{4} \). Так как \(4 >1\; \log_4\) можно "отбросить" без смены знака неравенства и получить \(x>4\). Эти значений переменной положительны, значит удовлетворяют ОДЗ и являются решением неравенства. Множество \(x>4\) изображено на числовой оси 1).
Видно, что неравенство выполняется (произведение является отрицательным) на участке \(2\lt x\lt 4,\) который заштрихован на оси 2).
О методе интервалов подробнее здесь.
| А | Б | В | Г |
| 4 | 3 | 2 | 1 |
Ответ: 4312
Показать ответ
Комментарий к заданию. Задачи на сравнение чисел, числовые неравенства и неравенства с переменной также были в базовом ЕГЭ (см. номер 17). Задание на эту тему допускает разные формулировки и предполагает умение решать неравенства для всех типов элементарных функций. Последнее хорошо показано именно в этом примере демонстрационного варианта.
Задание 7
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение.
Находим сторону параллелограмма, длину которой легко подсчитать в клеточках. И проводим перпендикуляр к этой стороне – высоту параллелограмма. Площадь считаем по формуле \[S = a\cdot h = 4\cdot3=12.\] Ответ: 12
Показать ответ
Комментарий к заданию. Задач по геометрии с чертежом на клеточках много как в базовом ЕГЭ, так и в базовой части ЕГЭ профильного уровня. Они хороши тем, что решаются не только по формулам, но и другими способами. Познакомтесь подробнее с задачами на площадь фигуры на клетчатой бумаге.
Задание 8
От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 12 м. Найдите длину провода. Ответ дайте в метрах.
Решение.
Производим на рисунке дополнительные построения: линию ВС проводим параллельно поверхности земли. Она разделяет чертёж на прямоугольник и прямоугольный треугольник АВС. Пользуясь свойствами прямоугольника и отрезков определяем катеты треугольника: ВС = 12 м, АС = 12 − 3 = 9 м. Длину провода (длину отрезка AB) определяем по теореме Пифагора \[AB^2 = AC^2 + BC^2;\\AB^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225;\\ AB = \sqrt{225} = 15.\] Ответ: 15
Показать ответ
Комментарий к заданию. Задачи по геометрии практической направленности присутствовали в ЕГЭ базового уровня под номером 8 нарялу с задачами на клеточках, но там они были примитивнее представленного здесь образца. На мой взгляд, лучше вспомнить, как вы решали подобные задачи в 9-ом классе на ОГЭ. В вариантах ОГЭ прошлых лет (для нынешних одинадцатиклассников этот зкзамен был в 2019 году) это задание было под номером 15.
Задание 9
На рисунке изображён график \(y = f '(x)\) — производной функции \(f ( x ),\) определённой на интервале ( − 20; 4). Найдите количество точек экстремума функции \(f(x)\), принадлежащих отрезку [−17; 0].
Решение.
1) Внимательно читаем условие и вопрос задачи. Количество искомых точек нужно найти не на всём интервале, где представлена функция, а на более узком участке от −17 до 0. Рекомендую сразу отделить этот участок на графике, чтобы не допустить ошибку в ответе.
2) В точках, где функция \(f(x)\) имеет экстремум, её производная \(y = f'(x)\) обращается в ноль и меняет свой знак на противоположный. На рисунке представлена именно производная, значит ищем нули. На выделенном участке находим две таких точки – это точки пересечения графика с осью Ох.Ответ: 2
Показать ответ
Комментарий к заданию. Это задание соответствует 14-му заданию базового ЕГЭ на свойства функций и их графики, а также 7-му заданию профильного уровня. В профильном ЕГЭ оно ещё имеет статус низкой сложности, поэтому для подготовки лучше пройтись по всем 4-ём пунктам оглавления в статье "Задача ЕГЭ 2021 - производная функции."
Задание 10
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 6 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть скорость первого автомобиля \(x\; км/ч\), а расстояние пройденное автомобилями S км. Тогда первый автомобиль проеxал весь путь за \(\dfrac{S}{x}\) часов.Второй автомобиль проехал первую половину пути \(\left(\dfrac{S}{2}\right)\) за \(\dfrac{S}{2\cdot 55}\) часов, а вторую половину пути – за \(\dfrac{S}{2\cdot (x+6)}\) часов.
Автомобили одновременно выехали из А и одновременно прибыли в В, т.е. в пути находились одинаковое время. Можно составить уравнение \[\frac{S}{x} = \frac{S}{2\cdot 55} + \frac{S}{2\cdot (x+6)}.\] При решении уравнения можем заметить, что обе его части сокращаются на S. \[\frac{1}{x} = \frac{1}{110} + \frac{1}{2\cdot (x+6)}; \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{110} - \frac{1}{2\cdot (x+6)} = 0; \\ \frac{1\cdot110\cdot (x+6) - 1\cdot x\cdot (x+6) - 1\cdot x\cdot55 }{x\cdot110\cdot (x+6)} = 0.\] При \(x\ne 0\) и \(x\ne -6\) это уравнение равносильно следующему \[110\cdot (x+6) - x\cdot (x+6) - x\cdot55 =0; \\ 110x + 660 -x^2 -6x -55x = 0;\\ -x^2 +49x+660=0.\] Получившееся квадратное уравнение можно преобразовать к приведенному и решить по теореме Виета, но можно и через дискриминант \[D = 49^2 - 4\cdot(-1)\cdot660 = 5041; \; \sqrt{5041} = 71; \\ x_1 = \frac{-49 + 71}{2\cdot(-1)} = -11;\; x_2 = \frac{-49 - 71}{2\cdot(-1)} = 60. \] Первый корень уравнения не подходит по смыслу задачи, второй является ответом.
Ответ: 60
Показать ответ
Комментарий к заданию. Текстовых задач на составление уравнений в базовом ЕГЭ я не помню. Задания, которые там были в конце варианта (№№ 18-20) скорее являлись логическими задачами. Ближе всего этот образец задания, также как и образец 8-го, к ОГЭ за 9-ый класс. Посмотрите Часть2 вариантов ОГЭ.
Часть II
Задания этой части требуют полного обоснованного решения и верного ответа.
Задание 11
а) Решите уравнение \((81^{\cos x})^{\sin x} = 9^{-\sqrt3 \cos x}.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right] \).
Решение.
а) Применим свойства показательной функции, чтобы выравнять основания. Т.к. \(81 = 9^2\), и при возведении степени в степень показатели перемножаются, получим \[9^{2\cdot\cos{x}\cdot\sin{x}} = 9^{-\sqrt3\cos x}.\] Теперь можно "отбросить" основания, чтобы уравнять показатели \[2\cdot\cos{x}\cdot\sin{x} = -\sqrt3\cos x.\] Получилось стандартное тригонометрическое уравнение среднего уровня сложности. Преобразуем его к произведению сомножителей. \[2\cdot\cos{x}\cdot\sin{x} +\sqrt3\cos x = 0;\\ \cos{x}\cdot ( 2\sin{x} +\sqrt3 )= 0.\] Произведение может равняться нулю тогда и только тогда, когда какой-либо из его сомножителей равен нулю, т.е. либо \(\cos{x} = 0\), либо \( 2\sin{x} +\sqrt3 = 0.\)В первом случае имеем \[\cos{x} = 0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in Z. \] Во втором случае имеем \[2\sin{x} +\sqrt3 = 0;\\ 2\sin{x} = -\sqrt3;\\ \sin{x} = \frac {-\sqrt3}{2} \Rightarrow \\ x=-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \text{ где } n \in Z \text{ или } x=-\frac{2\pi}{3} + 2\pi m, \text{ где } m \in Z. \]
Все полученные значения нужно включить в ответ.
б) В предыдущей части задачи чертежи на круге носили вспомогательный характер, ответ можно было написать по формулам из учебника. Для ответа на второй вопрос чертёж нужен. Можно использоватьчисловую ось
или тригонометрический круг
Ответ:
a) \( \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k\in Z,\; -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, n\in Z,\; -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi m, m\in Z; \)
б) \( \dfrac{3\pi}{2}, -\dfrac{2\pi}{3}, -\dfrac{\pi}{2}. \)
Показать ответ
Комментарий к заданию. Это обычное уравнение среднего уровня сложности. Таких уравнений вы должны были немало решать на уроках независимо от того, в какой форме планировали сдавать ЕГЭ. По формулировке задания, требованиям к оформлению решения и критериям оценивания оно напоминает задание 13 профильного ЕГЭ по математике. Однако по сложности, прежде всего по сложности предварительных преобразований, оно гораздо легче. Я рекомендую готовиться к этой части экзамена не по материалам ЕГЭ, а по учебнику алгебры и тетрадям.
Задание 12
В тетраэдре ABCD ребро AD имеет длину 6, а все остальные рёбра равны 4.
а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей прямую BC и перпендикулярной прямой AD.
Решение.
Рассмотрим треугольники ADC и ADB. Они равнобедренные и равные, т.к. по условию задачи AC = CD = AB = BD = 4 и AD их общая сторона.
Теорема. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости.
Поэтому AD перпендикулярна и прямой BC, лежащей в плоскости BCM.Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перппендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Доказательство закончено.
б) Найти площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей прямую BC и перпендикулярной прямой AD, означает найти площадь треугольника MBC. Мы, фактически, уже доказали, что это то самое сечение.Сторону МС найдём по теореме Пифагора из треугольника AMC, в котором гипотенуза AC = 4, катет АМ = 6:2 = 3 (M – середина AD.) \[MC^2 = AC^2 - AM^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7; \\ MC = \sqrt{7}.\] \(MB = МС = \sqrt{7}\), т.к. это медианы равных треугольников. BC = 4.
Нам известны все стороны треугольника, значит можно найти площадь по формуле Герона \(S=\sqrt{p(p−a)(p−b)(p−c)},\) где р - полупериметр, a,b,c - длины сторон треугольника.
Находим \[ p = \frac{\sqrt{7}+ \sqrt{7} +4}{2} = \sqrt{7} +2;\\ S = \sqrt {(\sqrt{7} +2)(\sqrt{7} +2 -\sqrt{7})(\sqrt{7} +2-\sqrt{7})(\sqrt{7} +2 - 4)} = \\ = \sqrt {(\sqrt{7} +2)\cdot2\cdot2(\sqrt{7} -2)} = 2\sqrt {(\sqrt{7})^2 -2^2} =2\sqrt {7-4} =2\sqrt{3}.\] Те, кто не помнит формулу Герона или затрудняется в алгебраических преобразованиях с радикалами, могут провести в треугольнике МВС высоту к стороне ВС и найти её величину по теореме Пифагора.
Ответ: б)\(2\sqrt{3}.\)
Показать ответ
Комментарий к заданию. Это, по существу, облегчённый вариант задания 14 ЕГЭ по математике профильного уровня. Материалы для подготовки можно найти на этом сайте:
- Посмотрите видео на странице Решение задачи по стереометрии с построением сечения.
- Повторите теоремы стереометрии применительно к решению задач на многогранники.
Задачи на построение сечений многогранников.
- Вспомните задание 13 и задание 16 базового ЕГЭ по математике, чтобы повторить всё, что вы учили о геометрических телах и их свойствах. Помните, по формулировке условия это задание напоминает профильную задачу, но по трудности оно будет ближе к базовому уровню.
Вывод: По моему мнению, оценки "три" или "четыре" на ГВЭ будет получить легче, чем на базовом ЕГЭ, потому что за то же время нужно решить меньшее число заданий. Однако оценку "пять" будет получить сложнее, так как присутствуют задания с развёрнутым ответом, к которым вы ранее не готовились. В любом случае желаю удачи!
Перейти к задачам профильного ЕГЭ.
Вернуться на главную страницу сайта.