Задание на построение и анализ графиков в настоящее время является частью варианта ОГЭ по алгебре. В версии ОГЭ 2023 это задание номер 22. Оно относится к заданиям с развёрнутым ответом. В этом разделе сайта помещено несколько задач на построение графиков из банка заданий ОГЭ по математике. Раздел предназначен для подготовки к экзамену и тренировки в решении задач девятиклассниками, которые хотят получить оценку не ниже четырёх. Все задания снабжены ответами и рисунками, уменьшенными до размера кнопок, некоторые задания снабжены комментариями к ответу.
Рисунок можно увеличить, щелчкнув на нём левой клавишью мыши. Повторный щелчок уменьшает рисунок до исходного размера.
На странице много формул. Дождитесь их полной загрузки.
Для эффективной подготовки нужно сначала постараться решить задачу самостоятельно, и только потом сверять ответ и увеличивать рисунки, чтобы проверить решение.
Если возникают вопросы - обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен. Для заланий, по которым будет много обращений, комментарии будут расширены вплоть до замены на полное решение.
Напомню оптимальный порядок действий при построении графиков и решении задачи.
- Записать область определения функции (в этих задачах совпадает с ОДЗ выражения).
- Упростить выражение.
- Построить вспомогательные графики. (Первый рисунок во всех примерах.)
- На их основе построить требуемые графики с учётом ОДЗ. (Второй рисунок во всех примерах.)
- В тех же осях координат построить несколько прямых заданного типа. (Третий рисунок во всех примерах.)
- Проанализировать пересечения прямых с графиками. Вычислить координаты нужных точек пересечения.
- Записать ответ.
Задачи для тренировки и самопроверки.
Задача 1
Постройте график функции \[y=\frac{7x-5}{7x^2-5x}.\] Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Показать ответ
Ответ: k = 1,96
Единственная точка пересечения графиков соответствует случаю, когда прямая проходит через выколотую точку:
при \(x = \frac{5}{7}\); \(y = \frac{1}{x} = \frac{7}{5};\)
\(\frac{7}{5} = k\cdot\frac{5}{7}\), следовательно \(k = 49/25 = 1,96\)
Задача 2
Постройте график функции \[y=x|x|+2|x|-3x.\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Показать ответ
Ответ: m = −0,25 и m = 6,25
Как видно из рисунка, эти прямые проходят через вершины вспомогательных парабол, координаты которых нужно вычислить по известным формулам.
Задача 3
Постройте график функции \[y=|x|\cdot(x-5)+x.\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Показать ответ
Ответ: m = −4 и m = 0
Первый ответ определяется ординатой точки пересечения вспомогательных парабол, второй - ординатой вершины.
Задача 4
Постройте график функции \[y=5|x-2|-x^2+5x-6.\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
Показать ответ
Ответ: m = 0 и m = 4
Задача 5
Постройте график функции \[y=x^2-|4x+1|.\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
Показать ответ
Ответ: m = −3 и m = 0,0625
Трижды пересекаются с графиком функции прямая, прохлдящая через вершину левой параболы (точку {−2;−3}), и прямая, проходящая через точку пересечения вспомогательных парабол (точку {−0,25; 0,0625}). Последнюю находим из условий \(y = x^2\) при \(\abs(4x + 1)\) или решения системы уравнений из двух квадратных трёхчленов.
Задача 6
Постройте график функции \[y=\frac{1}{2}\left(\left|\frac{x}{1,5}- \frac{1,5}{x}\right|+ \frac{x}{1,5} +\frac{1,5}{x}\right).\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Показать ответ
Ответ: m = −1 и m = 1
Искомыми являются прямые, проходящие через точки пересечения гиперболы \(y = \frac{3}{2x}\) с прямой \(y = \frac{2x}{3}\):
\(\frac{3}{2x} = \frac{2x}{3}\) \(4x^2 = 9\) \(x_{1,2} =\pm\frac{3}{2}\).
Ординаты можно найти из уравнения прямой или из уравнения гиперболы:
\(y_1=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1\) \(y_2=\frac{2}{3}\cdot (-\frac{3}{2}) = -1\)
Задача 7
Постройте график функции \[y=\frac{3|x|-1}{|x|-3x^2}.\] Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) не имеет с графиком общих точек.
Показать ответ
Ответ: k = ±9 и k = 0
Ни одной точки пересечения с графиком функции не имеют ось абсцисс (y = 0, k = 0) и прямые, проходящие через выколотые точки. Определим их координаты:
\(|x|-3x^2=0\) при \(x=\pm1/3\) \(y(\pm1/3) = -3\)
Коэффициенты наклона прямых определяем из условий \(-3 = k\cdot\frac{1}{3}\) и \(-3 = k\cdot(-\frac{1}{3})\)
Задача 8
Постройте график функции \[y =\left\{ \begin{array}{ccc} x^2-4x+4 \;\; \text{при} \;\; x\ge -1, \\ -\dfrac{9}{x} \hspace{32pt} \text{при}\;\; x \lt -1. \\ \end{array} \right.\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
Показать ответ
Ответ: m = 0 и m = 9
Одну точку пересечения прямая имеет, когда проходит на уровне вершины параболы, две точки - на уровне пересечения вспомогательных графиков: гиперболы и параболы. Для определения последней нужно решить систему уравнений. Имеем при \(x = -1\) \(y = 9\), при \(x = 2\) \( y = 0\).
Задача 9
Постройте график функции \[y =\left\{ \begin{array}{ccc} 2,5x-1 \\-3,5x+11 \\x-1 \end{array} \begin{array}{ccc}\text{при}\;\; x<2,\\ \hspace{16pt} \text{при}\;\;2\le x\le 3,\\ \text{при}\;\;x>3. \end{array} \right.\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Показать ответ
Ответ: m ∈ [0,5;2]∪{4}
Задача 10
Постройте график функции \[y=\frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}.\] Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Показать ответ
Ответ: k = −5
Находится из условия: искомой прямой принадлежит точка с координатами {1;−5}, т.е. \(-5 = k\cdot1\).
Задача 11
Постройте график функции \[y =\left\{ \begin{array}{ccc} -x^2-2x+3 \\-x-1 \hspace{16pt}\end{array} \begin{array}{ccc}\text{при}\;\; x\ge -2,\\ \text{при}\;\; x<-2. \end{array} \right.\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Показать ответ
Ответ: m ∈ (1;3)∪{4}
Задача 12
Постройте график функции \[y=\frac{(0,75x^2-1,5x)\cdot|x|}{x-2}.\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.
Показать ответ
Ответ: m = 3
Задача 13
Постройте график функции \[y=|x^2+5x+4|.\] Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Показать ответ
Ответ: 4
Задача 14
Постройте график функции \[y=|x^2-9|.\] Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Показать ответ
Ответ: 4
Задача 15
Постройте график функции \[y=2-\frac{x-5}{x^2 -5x}.\] Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком общих точек.
Показать ответ
Ответ: m = 1,8 и m = 2
График не имеет общих точек пересечения с прямой \(y = 2\), которая является его асимптотой, и с прямой, проходящей на уровне выколотой точки \(y(5) = 2 - \frac{1}{5}\).
Видеоуроки на тему
Задания ОГЭ на построение и анализ графиков.
Если по каким-то причинам видеоуроки не загружаются, обратитесь на канал Mathematichka на youtube.com Однако...
Сколько ни говори «халва» — во рту сладко не станет. (Пословица)
Поэтому обязательно возвращайтесь обратно и старайтесь тренироваться самостоятельно.
Переход на главную страницу сайта.