логотип Математички: Е в степени Пи

ОГЭ 2019 - готовимся по Демоверсии.


Часть 1.
Модуль "Алгебра".
Модуль "Геометрия".
Часть 2
Модуль "Алгебра".
Модуль "Геометрия".

Уважаемые 9-классники, поздравляю вас с началом учебного года.
На официальном сайте ФИПИ уже представлены проекты документов, определяющих содержание контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена по математике в 2019 году. Проекты еще будут обсуждаться педагогическим сообществом, но существенных изменений по трудности и смыслу заданий уже не ожидается. На данный момент (сентябрь 2018) никаких различий в Демонстрационных вариантах ОГЭ 2019 и ОГЭ 2018 по математике вообще нет. Можно начинать готовиться.

Обратите внимание, что и в 2017 году Демонстрационный вариант экзамена по математике включал те же задачи, однако часть из них была выделена в отдельный раздел, который назывался "Реальная математика". Как показал опыт, многим ребятам этот раздел, в целом, давался легче. Ниже задания бывшей "Реальной математики" отмечены знаком "PM", чтобы вы могли проверить себя и оценить свои шансы заработать экзаменационные баллы на основе не только знаний математики, но и исходя из разумных практических соображений.
Сейчас работа состоит только из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия», задания из которых поделены на две части. В заданиях первой части проверяются только ответы, которые нужно перенести в специальный бланк. Часть вторая требует записи полного решения задачи. Всего в работе, как и прежде, 26 заданий. Модуль «Алгебра» содержит 17 заданий: в части 1 — четырнадцать заданий; в части 2 — три задания. Модуль «Геометрия» содержит 9 заданий: в части 1 — шесть заданий; в части 2 — три задания.

Также не забывайте, что содержание базового экзамена за 11-й класс существенно пересекается с ОГЭ за девятый класс, ведь за первые 9 лет изучения математики вы выучили больше, чем можно успеть за оставшиеся два года. Пользуйтесь всеми ссылками и комментариями, чтобы найти необходимый материал для подготовки к экзамену.

Внимание: тренажёр устроен следующим образом.
1) Голубое поле - поле условия задачи. Белый участок рядом со словом "Ответ" - это, фактически, кнопка, щелчок по которой показывает правильный ответ. Если Вы еще не решали демонстрационный вариант, то прежде чем нажимать на кнопку, постарайтесь получить ответ самостоятельно и сравнить его с известным правильным.
2) Оранжевое поле - поле комментария, ссылки на другие страницы сайта или на задачи ЕГЭ.
Кнопки срабатывают после полной загрузки страницы.

 

Часть 1

Модуль «Алгебра»

1. Найдите значение выражения

1_4 + 0,07.

Ответ: ______.

Здесь слагаемые представлены в разных формах: в виде обыкновенной и десятичной дробей. Начать нужно с приведения чисел к одинаковому виду. Если знаменатель обыкновенной дроби делится только на 2-ки и 5-ки, то лучше переходить к десятичным дробям, иначе - к обыкновенным.
Для сложения и вычитания десятичных дробей расположите их в столбик, не забыв поставить запятую под запятой.
Для сложения и вычитания обыкновенных дробей приведите их к общему знаменателю.
Какой бы способ решения конкретно этой задачи Вы не выбрали, обязательно научитесь переводить десятичные дроби в обыкновенные и обыкновенные в десятичные. Первое потому, что обыкновенную дробь не всегда можно представить конечной десятичной, а значит промежуточные действия могут быть выполнены не точно, а с округлением. Последнее потому, что конечный ответ требуется записать в бланк в виде десятичной дроби.
Кроме примера на сложение или вычитание, в этом задании Вам могут быть предложены упражнения на умножение и деление дробей и смешанных чисел, на раскрытие скобок, возведение дробей во 2-ю (квадрат) и 3-ю (куб) степени, а также на запись разрядов десятичного числа через степени 10-ки.
Такое же задание есть в ЕГЭ 2019 за 11 класс, оно присутствует в варианте базового уровня под номером 1.
2. PM В таблице приведены нормативы по бегу на 30 метров для учащихся 9-х классов.

  Мальчики Девочки
Отметка«5» «4» «3»«5»«4» «3»
Время, секунды 4,64,95,35,05,55,9

Какую отметку получит девочка, пробежавшая эту дистанцию за 5,62 секунды?

1) отметка «5» 2) отметка «4»
3) отметка «3»4) норматив не выполнен

Ответ: ______.

При решении задач такого типа самое главное - внимательность. Прежде чем сравнивать цифры, всегда анализируйте реальную ситуацию.
Например, здесь: оценка тем выше, чем быстрее бежит ученица, а значит табличные значения времени - это верхние границы интервалов для оценок.
3. На координатной прямой отмечена точка А.


Известно, что она соответствует одному из четырёх указанных ниже чисел.
Какому из чисел соответствует точка А?

1) 181___ 16    2) √37__    3) 0,6    4) 4

Ответ: ______.

Точка расположена на отрезке от 0 до 10. Следовательно, чтобы ответить на вопрос задания, нужно сравнить эти числа (0 и 10) с указанным в условии набором чисел.
В общем случае, для сравнения рациональных чисел нужно представить их в одинаковой форме: либо в форме обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем, либо в форме десятичных чисел. Если в задании присутствуют иррациональные числа, которые нельзя представить обыкновенными дробями, то следует для всех чисел выбрать именно десятичное представление. Причём для бесконечных десятичных дробей, как периодических, так и непериодических, нужно определять примерные значения с точностью, сопоставимой с десятыми долями длины отрезка. Например, в этой задаче длина отрезка равна 10, поэтому достаточно округлить примерные значения до целых чисел.

Аналогичное задание в ЕГЭ базового уровня представлено под номером 17а. Усложнение для 11-го класса состоит в том, что среди проверяемых чисел могут оказаться значения пока неизвестных вам показательной и логарифмической функций.

Здесь можете потренироваться в решении этого задания в других постановках. (Упражнение работает, если ваш браузер поддерживает flash.)
4. Найдите значение выражения √45__ · √605___ .

Ответ: ______.

Для решения этой задачи нужно повторить свойства степеней и квадратного корня.свойства степеней   свойства квадратного корня Это можно сделать прямо сейчас, щелкнув по уменьшенной копии шпаргалки. Повторным щелчком рисунок уменьшается.

Корень n-ой степени при n отличном от 2-ух, который вы тоже изучали в девятом классе, свойства квадратного корня всё-таки чаще встречается на экзаменах в 11-ом классе, однако для верности не мешает повторить и его свойства.

Кроме того, среди задач этого задания часто встречаются формулировки, связанные с возможной иррациональностью значений корней. Вы можете посмотреть их здесь, если ваш браузер поддерживает flash. В любом случае, следует повторить понятие - иррациональное число.

Любое рациональное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Каждое иррациональное число можно записать только в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Примерами иррациональных чисел являются "неизвлекаемые" корни 
√2_ = 1,414213562373095048801688724209... ≈ 1,41 
√117___ = 10,81665382639196787935766380241... ≈ 10,8 
число π = 3,141592653589793238462643383279... ≈ 3,14; 
sin15° = 0,258819045102520762348898837624... ≈ 0,26 и т.п.

5. PM На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной — давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 620 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

Ответ: ______.

Внимательно прочитайте описание графика. Изучите масштаб сетки, размерность величин. Определитесь на какой оси находится заданное значение: на вертикальной или на горизонтальной. Используйте линейку, чтобы начертить прямые, параллельные осям координат: сначала от заданной точки до пересечения с графиком, а затем до другой оси.
6. Решите уравнение x2 + x − 12 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Ответ: ______.

Это приведенное квадратное уравнение, которое легко решается по теореме Виета. Однако никто не запрещает вам решить его и через дискриминант.
Рациональные уравнения (линейные, квадратные, целые рациональные и дробно-рациональные) в школьной программе изучаются в 9-ом классе и ранее. На экзамене вам может встретиться любое уравнение одного из этих четырёх видов.
В ЕГЭ 11 класса обоих уровней также присутствует по одному подобному заданию. Список видов уравнений в ЕГЭ, конечно, шире, но также включает рациональные уравнения. Девятиклассникам на странице сайта, посвященной решению простых уравнений, потребуется всё, кроме второй половины таблицы с уравнениями разных типов.
7. PM Стоимость проезда в электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей будет стоить проезд для 4 взрослых и 12 школьников?

Ответ: ______.

В этом задании вам могут встретиться простейшие текстовые задачи, но вероятнее всего, это будет задача на проценты или на пропорции. Такие задачи присутствуют на ЕГЭ и ОГЭ по математике с первых лет их существования. Например, в этом году в ЕГЭ базового уровня они представлены под номерами 3а и 3б.

Обязательно посмотрите и попробуте решить самостоятельно, а затем сравните с моим решением Задачи на проценты и задачи на Применение пропорций, представленные на этом сайте.

8. PM На диаграмме показано содержание питательных веществ в сушёных белых грибах.



* к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.

Какие из следующих утверждений верны?

1) В 1000 граммах грибов содержится примерно 360 г белков.
2) В 1000 граммах грибов содержится примерно 240 г углеводов.
3) В 1000 граммах грибов содержится примерно 160 г жиров.
4) В 1000 граммах грибов содержится примерно 500 г жиров, белков и углеводов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ: ______.

Для анализа круговых диаграмм делите круг на части и сравнивайте размеры секторов. Например:

Если условие задачи содержит абсолютные единицы измерения величин, то сначала нужно перейти к обыкновенным дробям или процентам, а затем приступать к анализу диаграмм.
Задачи на диаграммы других типов можно повторить вместе с одиннадцатиклассниками. Смотрите пример и ссылки в ЕГЭ базового уровня под номером 11.
9. PM На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.

Ответ: ______.

На сайте "mathematichka.ru" представлено много материалов по теме Вероятность. Найти всё, что вас заинтересует, можно по перекрестным ссылкам.
В этом задании ОГЭ по математике чаще всего встречаются задачи на применение классического определения вероятности и на основы комбинаторики. Этим же темам посвящены задачи базового уровня ЕГЭ.
  • Задачи только на определение вероятности
  • Задачи с использованием элементов комбинаторики
  • 10. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

    ГРАФИКИ

    ФОРМУЛЫ

    1) y = x2     2) y = x_2     3) y = 2_x    

    В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

    Ответ:  
    АБВ
       

    В этом задании могут быть различные вопросы, связанные с анализом и сравнением графиков линейной, квадратичной, степенной и дробно-рациональной функций. Повторите свойства этих графиков, пользуясь Таблицей графиков элементарных функций. Ваши первые 7 строк, до "Показательной функции".
    Чтобы научиться решать аналогичные задачи в другой постановке, когда требуется сравнить графики одной и той же функции, но с различными коэффициентами, например, параболу с параболой или прямую с прямой, посмотрите уроки на темы:
    Свойства линейной функции y = kx + b
    Графики квадратичной функции и коэффициенты квадратного трёхчлена y = аx2 + bx + c.
    Эти уроки дополнены видеопримерами решения задания 5 с параболой и прямой.
    11. В последовательности чисел первое число равно 6, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найдите пятнадцатое число.

    Ответ: ______.

    В этом задании вам могут быть предложены различные задачи по теме Последовательности. Вы изучали само понятие "последовательность" и два характерных вида последовательностей – прогрессии: арифметическую и геометрическую. Они характеризуются тем, что каждый следующий член прогрессии может быть найден по значению предыдущего.

    Необходимые формулы можно найти в разделе Определения и обозначения. Эта часть сайта предназначена для взрослых, которые планируют сдавать международные экзамены, но всё, что нужно девятикласснику там тоже есть. Просто не обращайте внимания на англоязычный текст.

    12. Найдите значение выражения

    9b + 5a − 9b2______   b

    при a = 9, b = 36 .

    Ответ: ______.

    формулы сокращенного умножения Конечно, можно просто подставить в выражение числовые значения переменных и вычислить ответ по правилам арифметики. Но это будет слишком нерационально: долго и чревато ошибками. (Однако те, кто совсем не представляют иного способа решения, лучше делайте так, чем никак.)

    Правильный подход к решению задачи, состоит в том, чтобы сначала преобразовать это выражение, максимально упростить его и только потом подставлять числовые значения для получения окончательного ответа.

    Для успешного выполнения этого задания вам могут понадобиться формулы сокращенного умножения, представленные на белом фоне справа.
    13. PM Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC — температура в градусах Цельсия, tF — температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует −25 градусов по шкале Цельсия?

    Ответ: ______.

    Первое, что нужно сделать после прочтения текста условия, – убедиться в том, что единицы измерения физических величин в формуле и в числовых данных соответствуют вопросу задачи. Иначе, может потребоваться, например, сначала от метров в секунду перейти к километрам в час и т.п.
    Второе - подставить заданные числа в формулу и привести подобные члены, если они есть.
    И наконец, может потребоваться решить простое уравнение относительно той переменной, которая осталась неизвестной.

    Проверьте себя на аналогичных задачах базового уровня ЕГЭ: 4а, 4б и 4в.

    14. Укажите решение системы неравенств

    Ответ: ______.

    Модуль «Геометрия»

    15. PM Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большой опоры. Ответ дайте в метрах.

    Ответ: ______.

    Задачи по геометрии с практическим смыслом в ЕГЭ базового уровня за 11 класс, на мой взгляд, проще, чем в 9-ом. (См. 8а, 8б и 8в.) Попробуйте их решить. Уверена, что большинство из вас справится и, тем самым, повысит свою самооценку, что не менее важно для подготовки к экзамену, чем просто повторение формул.

    Что касается конкретно этого задания, то главное – чертёж, в котором нужно увидеть те фигуры, линии и углы, которые изучались в школьном курсе планиметрии. Специальных знаний, отличных от того, что вы изучаете на уроках геометрии не требуется.
    В частности, в приведенной здесь задаче "два меньших столба", это меньшее основание и средняя линия трапеции. Если об этом трудно сразу догадаться, то рекомендую перевернуть лист с чертежом и посмотреть на него в привычном ракурсе.

    16. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123º. Найдите величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.

    Ответ: ______.

    Модуль "Геометрия" в 9-ом классе включает в себя задачи по планиметрии. Напомню: планиметрия изучает свойства плоских фигур, стереометрия - объёмных, таких как шар, параллелепипед и т.п. Планиметрия в школе полностью проходится до 10-го класса. Поэтому набор заданий в ОГЭ за 9 класс по этой теме шире и серьёзнее, чем в ЕГЭ за 11 класс. В частности, задания этого номера посвящены в основном свойствам треугольников.

    Повторить свойства и определения, связанные с треугольником (при наличии в браузере flash).

    17. Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.

    Ответ: ______.

    Задания этого номера преимущественно посвящены окружности. Хотя могут быть и комбинированные варианты, например, окружность может быть описана вокруг четырёхугольника или вписана в треугольник.

    В любом случае требуется повторить свойства, определения и формулы, связанные с окружностью.

    18. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

    Ответ: ______.

    Чтобы повторить все формулы площадей, которые вы изучали, перейдите на страницу "Площади плоских фигур"
    19. Найдите тангенс острого угла, изображённого на рисунке.

    Ответ: ______.

    Среди заданий на клетчатой бумаге встречаются задачи на треугольники и окружности, аналогичные заданиям 9 и 10, но еще чаще – задачи на определение площади. Последние можно потренировать здесь или посмотреть аналогичные для ЕГЭ здесь.
    Конкретно эта задача является примером случая, когда нужно провести на клеточках дополнительные построения. Здесь нужно построить по целым(!) клеточкам прямоугольный треугольник с заданным острым углом.
    20. Какие из следующих утверждений верны?

    1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
    2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
    3) В любом параллелограмме есть два равных угла.

    В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

    Ответ: ______.

    Повторите теорию с моими тестами по планиметрии. Доделывайте каждый тест до конца (до 10-го или 11-го вопроса), чтобы получить ссылку на ответы и объяснения.

    Часть 2

    При выполнении заданий этой части вам нужно будет записать полное решение задачи на отдельном листе. И оцениваться будет именно решение, краткий ответ здесь уже не актуален. Поэтому белое поле после текста задания - это просто кнопка для просмотра решения, рекомендуемого авторами варианта. Не спешите её нажимать, если не пытались решить задачу самостоятельно.

    Модуль «Алгебра»

    21. Решите уравнение x4 = (4x − 5)2.

    Ответ: ______

    Решение.
    Исходное уравнение приводится к виду: (x2 − 4x + 5)(x2 + 4x − 5) = 0.
    Уравнение x2 − 4x + 5 = 0 не имеет корней.
    Уравнение x2 + 4x − 5 имеет корни −5 и 1.

    Ответ: −5 ; 1.

    22. Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

    Ответ: ______.

    Решение.
    Пусть искомое расстояние равно x км. Скорость лодки при движении против течения равна 4 км/ч, при движении по течению равна 8 км/ч. Время, за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и обратно, равно (x/4 + x/8) часа. Из условия задачи следует, что это время равно 3 часам. Составим уравнение:

    x_4 + x_8 = 3.

    Решив уравнение, получим x = 8.

    Ответ: 8 км.

    23. Постройте график функции

    y =  x4 − 13x2 + 36 _____________ .(x − 3)·(x + 2)

    и определите, при каких значениях с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

    Ответ: ______.

    Решение.
    Разложим числитель дроби на множители:
    x4 − 13x2 + 36 = (x2 − 4)(x2 − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3).
    При x ≠ −2 и x ≠ 3 функция принимает вид: y = (x − 2)(x + 3) = x2 + x − 6, её график — парабола, из которой выколоты точки (−2; −4) и (3; 6).
    Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты (−0,5; −6,25). Поэтому c = −6,25, c = −4 или c = 6.

    Ответ: c = −6,25 ; c = − 4; c = 6.

    Решение типовых задач этого задания можно посмотреть на канале mathematichka на YouTube.
    Задача с гиперболой и параллельными прямыми вида y = m.
    Задача с параболой и пучком прямых вида y = kx.

    Модуль «Геометрия»

    24. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6, BC = 8. Найдите медиану CK этого треугольника.

    Ответ: ______.

    Решение.

    CK = 1_2 AB = 1_2 AC2 + BC2_________ = 1_2 √36 + 64______ = 5.

    Ответ: 5.
    25. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

    Решение: ______.

    Доказательство.
    Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам.
    Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник.
    26. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

    Ответ: ______.

    Решение.
    Пусть O — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
    Точка касания M окружностей делит AC пополам.
    Лучи AQ и AO — биссектрисы смежных углов, значит, угол OAQ прямой.
    Из прямоугольного треугольника OAQ получаем: AM2 = MQ·MO. Следовательно,

    QM = AM2___ OM = 9_2 = 4,5.

    Ответ: 4,5.

       Переход  на главную страницу сайта.