логотип Математички: Е в степени Пи

ОГЭ 2021 - готовимся по Демоверсии.


Часть 1.
Часть 2

На официальном сайте ФИПИ представлены документы, определяющие структуру и содержание контрольных измерительных материалов (КИМ) основного государственного экзамена по математике в 2021 году. По сравнению с экзаменом за прошлый учебный год есть изменения, незначительные по существу, но заметные по форме. А именно, количество заданий уменьшилось на одно за счет объединения двух заданий прошлых лет - на преобразование алгебраических выражений и на вычисление с преобразованием числовых выражений. Кроме того, задание на последовательности и прогрессии приобрело практическое содержание.

Изучите Демонстрационный вариант ОГЭ 2021 по математике, который представлен здесь с комментариями в форме, удобной для тренировки и подготовки.

В экзаменационной работе не выделены явно модули «Алгебра» и «Геометрия», однако нужно помнить, что для успешной сдачи экзамена в числе верно решенных задач должно быть не менее двух по геометрии.
В КИМ ОГЭ по математике значительное место занимают задания практической направленности. Эти задания решаются на основе не только знаний математики, но и исходя из разумных практических соображений.
Все задания, как и ранее, поделены на две части. Часть 1 содержит 19 заданий с кратким ответом, часть 2 содержит 6 заданий с развёрнутым ответом.
В заданиях первой части проверяются только ответы, которые нужно перенести в специальный бланк. Все необходимые вычисления, преобразования при этом выполняются в черновике. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы. Часть вторая требует записи полного решения задачи. Задания можно выполнять в любом порядке. Условие задачи переписывать не надо, необходимо только указать номер задания.

Также не забывайте, что содержание базового экзамена за 11-й класс существенно пересекается с ОГЭ за девятый класс, ведь за первые 9 лет изучения математики вы выучили больше, чем можно успеть за оставшиеся два года. Пользуйтесь всеми ссылками и комментариями, чтобы найти необходимый материал для подготовки к экзамену.

Внимание: тренажёр устроен следующим образом.
1) Голубое поле - поле условия задачи. Белый участок рядом со словом "Ответ" - это, фактически, кнопка, щелчок по которой показывает правильный ответ. Если Вы еще не решали демонстрационный вариант, то прежде чем нажимать на кнопку, постарайтесь получить ответ самостоятельно и сравнить его с известным правильным.
2) Оранжевое поле - поле комментария, ссылки на другие страницы сайта или на задачи ЕГЭ.
Кнопки срабатывают после полной загрузки страницы.

 

Часть 1

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

практическое задание ОГЭ по математике

На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Авдеево, 3-й Поперечный пер., д. 13 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок справа от ворот находится баня, а слева — гараж, отмеченный на плане цифрой 7. Площадь, занятая гаражом, равна 32 кв. м.
Жилой дом находится в глубине территории. Помимо гаража, жилого дома и бани, на участке имеется сарай (подсобное помещение), расположенный рядом с гаражом, и теплица, построенная на территории огорода (огород отмечен цифрой 2). Перед жилым домом имеются яблоневые посадки.
Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м×1м. Между баней и гаражом имеется площадка площадью 64 кв. м, вымощенная такой же плиткой.
К домохозяйству подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Посмотреть моё решение этих пяти заданий можно на отдельной странице сайта.

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр.

Объекты жилой дом сарай баня теплица
Цифры  3  4  6  1

Ответ: ______.

Это задание, как и следующие четыре, на ОГЭ по математике впервые было представлено в 2020 году. Основное умение, проверяемое этим заданием, это умение использовать приобретённые знания в практической деятельности и повседневной жизни. Чтобы решить задачу нужно несколько раз внимательно прочитать текст под планом участка и выделить ключевую информацию. Не забывайте, что на рисунке непосредственно в тексте работы можно делать отметки и выполнять необходимые Вам построения.
2. Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку перед гаражом?

Ответ: ______.

Так же, как в первой задаче внимательно изучаем текст и план, чтобы определиться сначала с общим количеством плитки, а затем с упаковками.
3. Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Ответ дайте в квадратных метрах.

Ответ: ______.

Решив первые две задачи, мы уже определились с тем, какая фигура на плане обозначает жилой дом. В нашем случае это пятиугольник. Чтобы вычислить его площадь нужно мысленно "разрезать" его на более простые фигуры (здесь можно на прямоугольники) или, наоборот, "склеить" из них. Строго говоря, воспользоваться свойством аддитивности площади.

4. Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Ответ: ______.

Сначала подумайте и отметьте на плане дома точку, ближайшую к гаражу, и на плане гаража - точку, ближайшую к дому. Соедините эти точки прямой линией с помощью линейки. Если построенная прямая не совпадает с линиями сетки, т.е. наклонна по отношению к ним, то придётся воспользоваться теоремой Пифагора.

5. Хозяин участка планирует устроить в жилом доме зимнее отопление. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.

  Нагреватель (котел)Прочее оборудование и монтаж Сред. расход газа / сред. потребл. мощностьСтоимость газа / электро-энергии
Газовое отопление24 тыс. руб. 18 280 руб. 1,2 куб. м/ч5,6 руб./куб. м
Электр. отопление 20 тыс. руб.15 000 руб.5,6 кВт3,8 руб./(кВт·ч)

Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое оборудование. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разность в стоимости установки газового и электрического отопления?

Ответ: ______.

Задачи с условием в виде таблицы встречались в разные годы как в ЕГЭ по математике обоих уровней, так и в ОГЭ. Бывали варианты, когда достаточно только сравнить табличные значения, чтобы выбрать нужное. Бывали варианты, когда требовалось провести дополнительные вычисления. Представленная здесь задача относится к последнему типу. Такие задачи лучше всего решать добавлением в таблицу столбиков с промежуточными результатами. Это позволяет лучше структурировать данные и облегчает их последующий анализ и выбор ответа. В разделе "Задачи на табличные данные" на странипе сайта Задания на табличное и графическое представление данных представлены примеры решения именно таких задач.
Решение непосредственно этой задачи можно посмотреть здесь.

6. Найдите значение выражения

1_4 + 0,07.

Ответ: ______.

Здесь слагаемые представлены в разных формах: в виде обыкновенной и десятичной дробей. Начать нужно с приведения чисел к одинаковому виду. Если знаменатель обыкновенной дроби делится только на 2-ки и 5-ки, то лучше переходить к десятичным дробям, иначе - к обыкновенным.
Для сложения и вычитания десятичных дробей расположите их в столбик, не забыв поставить запятую под запятой.
Для сложения и вычитания обыкновенных дробей приведите их к общему знаменателю.
Какой бы способ решения конкретно этой задачи Вы не выбрали, обязательно научитесь переводить десятичные дроби в обыкновенные и обыкновенные в десятичные. Первое потому, что обыкновенную дробь не всегда можно представить конечной десятичной, а значит промежуточные действия могут быть выполнены не точно, а с округлением. Последнее потому, что конечный ответ требуется записать в бланк в виде десятичной дроби.
Кроме примера на сложение или вычитание, в этом задании Вам могут быть предложены упражнения на умножение и деление дробей и смешанных чисел, на раскрытие скобок, возведение дробей во 2-ю (квадрат) и 3-ю (куб) степени, а также на запись разрядов десятичного числа через степени 10-ки.
Такое же задание есть в ЕГЭ за 11 класс, оно присутствует в варианте базового уровня под номером 1.
7. На координатной прямой отмечена точка А.


Известно, что она соответствует одному из четырёх указанных ниже чисел.
Какому из чисел соответствует точка А?

1) 181___ 16    2) √37__    3) 0,6    4) 4

Ответ: ______.

Точка расположена на отрезке от 0 до 10. Следовательно, чтобы ответить на вопрос задания, нужно сравнить эти числа (0 и 10) с указанным в условии набором чисел.
В общем случае, для сравнения рациональных чисел нужно представить их в одинаковой форме: либо в форме обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем, либо в форме десятичных чисел. Если в задании присутствуют иррациональные числа, которые нельзя представить обыкновенными дробями, то следует для всех чисел выбрать именно десятичное представление. Причём для бесконечных десятичных дробей, как периодических, так и непериодических, нужно определять примерные значения с точностью, сопоставимой с десятыми долями длины отрезка. Например, в этой задаче длина отрезка равна 10, поэтому достаточно округлить примерные значения до целых чисел.

Аналогичное задание в ЕГЭ базового уровня представлено под номером 17а. Усложнение для 11-го класса состоит в том, что среди проверяемых чисел могут оказаться значения пока неизвестных вам показательной и логарифмической функций.

Здесь можете потренироваться в решении этого задания в других постановках. (Упражнение работает, если ваш браузер поддерживает flash. Номер упражнения устарел. Смысл нет.)
8. Найдите значение выражения a−7 ·(a5)2 при a = 5.

Ответ: ______.

Конечно, в таких задачах можно просто подставлять в выражение числовые значения переменных и вычислять ответ по правилам арифметики. Но в абсолютном большинстве случаев это будет слишком нерационально: долго и чревато ошибками. (Однако, если вы совсем не представляете другого способа решения, иногда лучше попытаться сделать так, чем никак.)

Правильный подход к решению задачи, состоит в том, чтобы сначала преобразовать символьное выражение, максимально упростить его и только потом подставлять числовые значения для получения окончательного ответа.

Для успешного выполнения этого задания вам нужно повторить ряд формул из курса алгебры, в частности, формулы сокращенного умножения, свойства степеней и корней, методы разложения на множители. формулы сокращенного умножения свойства степеней свойства квадратного корня Это можно сделать прямо сейчас, щелкнув по уменьшенной копии шпаргалки. Повторным щелчком рисунок уменьшается.

Кроме того, среди задач этого задания часто встречаются формулировки, связанные с возможной иррациональностью значений корней. Вы можете посмотреть их здесь (в старой нумерации), если ваш браузер поддерживает flash. В любом случае, следует повторить понятие - иррациональное число, а также правила округления десятичных чисел.

Любое рациональное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Каждое иррациональное число можно записать только в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Примерами иррациональных чисел являются "неизвлекаемые" корни 
√2_ = 1,414213562373095048801688724209... ≈ 1,41 
√117___ = 10,81665382639196787935766380241... ≈ 10,8 
число π = 3,141592653589793238462643383279... ≈ 3,14; 
sin15° = 0,258819045102520762348898837624... ≈ 0,26 и т.п.
9. Решите уравнение x2 + x − 12 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Ответ: ______.

Это приведенное квадратное уравнение, которое легко решается по теореме Виета. Однако никто не запрещает вам решить его и через дискриминант.
Рациональные уравнения (линейные, квадратные, целые рациональные и дробно-рациональные) в школьной программе изучаются в 9-ом классе и ранее. На экзамене вам может встретиться любое уравнение одного из этих четырёх видов.
В ЕГЭ 11 класса обоих уровней также присутствует по одному подобному заданию. Список видов уравнений в ЕГЭ, конечно, шире, но также включает рациональные уравнения. Девятиклассникам на странице сайта, посвященной решению простых уравнений, потребуется всё, кроме второй половины таблицы с уравнениями разных типов.
10. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.

Ответ: ______.

На сайте "mathematichka.ru" представлено много материалов по теме Вероятность. Найти всё, что вас заинтересует, можно по перекрестным ссылкам.
В этом задании ОГЭ по математике чаще всего встречаются задачи на применение классического определения вероятности и на основы комбинаторики. Этим же темам посвящены задачи базового уровня ЕГЭ.
  • Задачи только на определение вероятности
  • Задачи с использованием элементов комбинаторики
  • 11. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

    ГРАФИКИ

    ФОРМУЛЫ

    1) y = x2     2) y = x_2     3) y = 2_x    

    В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

    Ответ:  
    АБВ
       

    В этом задании могут быть различные вопросы, связанные с анализом и сравнением графиков линейной, квадратичной, степенной и дробно-рациональной функций. Повторите свойства этих графиков, пользуясь Таблицей графиков элементарных функций. Ваши первые 7 строк, до "Показательной функции".
    Чтобы научиться решать аналогичные задачи в другой постановке, когда требуется сравнить графики одной и той же функции, но с различными коэффициентами, например, параболу с параболой или прямую с прямой, посмотрите уроки на темы:
    Свойства линейной функции y = kx + b
    Графики квадратичной функции и коэффициенты квадратного трёхчлена y = аx2 + bx + c.
    Эти уроки дополнены видеопримерами решения заданий с параболой и с прямой.
    Также потренируйте решение задач и сравните ваши выводы с моими на странице Задания ОГЭ на анализ графиков.
    12. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC — температура в градусах Цельсия, tF — температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует −25 градусов по шкале Цельсия?

    Ответ: ______.

    Первое, что нужно сделать после прочтения текста условия, – убедиться в том, что единицы измерения физических величин в формуле и в числовых данных соответствуют вопросу задачи. Иначе, может потребоваться, например, сначала от метров в секунду перейти к километрам в час и т.п.
    Второе - подставить заданные числа в формулу и привести подобные члены, если они есть.
    И наконец, может потребоваться решить простое уравнение относительно той переменной, которая осталась неизвестной.

    Проверьте себя на аналогичных задачах базового уровня ЕГЭ: 4а, 4б и 4в.

    13. Укажите решение системы неравенств

    Ответ: ______.

    В этом примере представлена система двух очень простых линейных неравенств. Для решения подобных систем достаточно повторить свойства числовых неравенств и уметь пользоваться числовой прямой, чтобы изображать на ней пересечения и объединения множеств. В действительности, в 9-ом классе вы изучали и более сложные квадратные и дробно-рациональные неравенства. Такие тоже могут встретиться под этим номером, а их комбинация может оказаться и под номеров 20 во второй части варианта. Поэтому стоит посмотреть полностью примеры на странице Решение неравенств. Общие соображения, а также повторить один из самых эффективных методов решения рациональных неравенств Метод интервалов.
    14. Вика решила начать делать зарядку каждое утро. В первый день она сделала 30 приседаний, а в каждый следующий день она делала на одно и то же количество приседаний больше, чем в предыдущий день. За 15 дней она сделала всего 975 приседаний. Сколько приседаний сделала Вика на пятый день?

    Ответ: ______.

    В этом задании вам могут быть предложены различные задачи по теме Последовательности. Вы изучали само понятие "последовательность" и два характерных вида последовательностей – прогрессии: арифметическую и геометрическую. Они характеризуются тем, что каждый следующий член прогрессии может быть найден по значению предыдущего.

    Усложнение этого года состоит в том, что формулировки задач имеют практический смысл и выглядят как обычные текстовые задачи. Догадаться о том, что они на тему "последовательности и прогрессии", конечно, можно по номеру задания, но лучше сразу опираться на ключевые слова.
  • Какое-то действие, явление, характеристика регулярно повторяются из раза в раз, друг за другом, последовательно – задача на последовательность (прогрессия - тоже последовательность, только особенная).
  • В задаче что-то регулярно возрастает или убывает НА одно и то же число: на одно и то же количество больше или на одно и то же количество меньше. Это арифметическая прогрессия.
  • В задаче что-то регулярно увеличивается или уменьшается В одно и то же число раз: в одно и то же число раз больше или в одно и то же число раз меньше. Это геометрическая прогрессия.
  • Чтобы повторнить определения и формулы, связанные с этой темой, обратитесь к разделу Задачи на прогрессии. Там же вы можете посмотреть примеры решения задач на прогрессии и последовательности с практичеcким содержанием.

    А те, кому интересно усовершенствовать свой английский параллельно с повторением математики, могут найти аналогичные задачи в разделе Определения и обозначения. Эта часть сайта предназначена для взрослых, которые планируют сдавать международные экзамены, но всё, что нужно девятикласснику там тоже есть.

    15. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123º. Найдите величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.

    Ответ: ______.

    В первой части задания 15-19 это задания по геометрии. В 9-ом классе они включают в себя задачи по планиметрии. Напомню: планиметрия изучает свойства плоских фигур, стереометрия - объёмных, таких как шар, параллелепипед и т.п. Планиметрия в школе полностью проходится до 10-го класса. Поэтому набор заданий в ОГЭ за 9 класс по этой теме шире и серьёзнее, чем в ЕГЭ за 11 класс. В частности, задания этого номера посвящены в основном свойствам треугольников.

    Повторить свойства и определения, связанные с треугольником (при наличии в браузере flash).

    16. Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.

    Ответ: ______.

    Задания этого номера преимущественно посвящены окружности. Хотя могут быть и комбинированные варианты, например, окружность может быть описана вокруг четырёхугольника или вписана в треугольник.

    В любом случае требуется повторить свойства, определения и формулы, связанные с окружностью.

    17. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

    Ответ: ______.

    Чтобы повторить все формулы площадей, которые вы изучали, перейдите на страницу "Площади плоских фигур"
    18. Найдите тангенс острого угла, изображённого на рисунке.

    Ответ: ______.

    Среди заданий на клетчатой бумаге встречаются задачи на треугольники и окружности, аналогичные заданиям 15 и 16, но еще чаще – задачи на определение площади. Последние можно потренировать здесь или посмотреть аналогичные для ЕГЭ здесь.
    Конкретно эта задача является примером случая, когда нужно провести на клеточках дополнительные построения. Здесь нужно построить по целым(!) клеточкам прямоугольный треугольник с заданным острым углом.
    19. Какие из следующих утверждений верны?

    1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
    2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
    3) В любом параллелограмме есть два равных угла.

    В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

    Ответ: ______.

    Повторите теорию с моими тестами по планиметрии. Доделывайте каждый тест до конца (до 10-го или 11-го вопроса), чтобы получить ссылку на ответы и объяснения.

    Часть 2

    При выполнении заданий этой части вам нужно будет записать полное решение задачи на отдельном листе. И оцениваться будет именно решение, краткий ответ здесь уже не актуален. Поэтому белое поле после текста задания - это просто кнопка для просмотра решения, рекомендуемого авторами варианта. Не спешите её нажимать, если не пытались решить задачу самостоятельно.

    Первые три задания второй части относятся к алгебре.

    20. Решите уравнение x4 = (4x − 5)2.

    Ответ: ______

    Решение.
    Исходное уравнение приводится к виду: (x2 − 4x + 5)(x2 + 4x − 5) = 0.
    Уравнение x2 − 4x + 5 = 0 не имеет корней.
    Уравнение x2 + 4x − 5 имеет корни −5 и 1.

    Ответ: −5 ; 1.

    21. Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

    Ответ: ______.

    Решение.
    Пусть искомое расстояние равно x км. Скорость лодки при движении против течения равна 4 км/ч, при движении по течению равна 8 км/ч. Время, за которое лодка доплывёт от места отправления до места назначения и обратно, равно (x/4 + x/8) часа. Из условия задачи следует, что это время равно 3 часам. Составим уравнение:

    x_4 + x_8 = 3.

    Решив уравнение, получим x = 8.

    Ответ: 8 км.

    22. Постройте график функции

    y =  x4 − 13x2 + 36 _____________ .(x − 3)·(x + 2)

    и определите, при каких значениях с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

    Ответ: ______.

    Решение.
    Разложим числитель дроби на множители:
    x4 − 13x2 + 36 = (x2 − 4)(x2 − 9) = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3).
    При x ≠ −2 и x ≠ 3 функция принимает вид: y = (x − 2)(x + 3) = x2 + x − 6, её график — парабола, из которой выколоты точки (−2; −4) и (3; 6).
    Прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты (−0,5; −6,25). Поэтому c = −6,25, c = −4 или c = 6.

    Ответ: c = −6,25 ; c = − 4; c = 6.

    Решение типовых задач этого задания можно посмотреть на канале mathematichka на YouTube.
    Задача с гиперболой и параллельными прямыми вида y = m.
    Задача с параболой и пучком прямых вида y = kx.
    Для индивидуальной подготовки смотрите задачи на странице "Задание на построение графиков" этого сайта. Она содержит 15 задач из банка заданий с рисунками, ответами и комментариями.

    Последние три задания варианта - задания по геометрии.

    23. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC = 6, BC = 8. Найдите медиану CK этого треугольника.

    Ответ: ______.

    Решение.

    CK = 1_2 AB = 1_2 AC2 + BC2_________ = 1_2 √36 + 64______ = 5.

    Ответ: 5.
    24. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

    Решение: ______.

    Доказательство.
    Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам.
    Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм — прямоугольник.
    25. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

    Ответ: ______.

    Решение.
    Пусть O — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
    Точка касания M окружностей делит AC пополам.
    Лучи AQ и AO — биссектрисы смежных углов, значит, угол OAQ прямой.
    Из прямоугольного треугольника OAQ получаем: AM2 = MQ·MO. Следовательно,

    QM = AM2___ OM = 9_2 = 4,5.

    Ответ: 4,5.
    Примеры решения других задач, содержаших окружность, представлены в разделе Задачи по геометрии с окружностями

       Переход  на главную страницу сайта.