Если возникают вопросы - обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

отправить письмо математичке

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

Числовая последовательность.

  • Определения и обозначения.
  • Примеры задач на последовательности из ОГЭ по математике прошлых лет.
  • Арифметическая прогрессия.

  • Определения и обозначения.
  • Свойства арифметической прогрессии.
  • Примеры задач на арифметическую прогрессию.
  • Геометрическая прогрессия.

  • Определения и обозначения.
  • Свойства геометрической прогрессии.
  • Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
  • Примеры задач на геометрическую прогрессию.
  • Задачи на прогрессии и последовательности с практичеcким содержанием.

    Задачи для самостоятельного решения.

    Числовая последовательность.

    Определения и обозначения.

    В математике существует понятие последовательности. Здесь мы будем обсуждать числовые последовательности, в общем случае они представляют собой бесконечный набор чисел, расположенных последовательно, друг за другом, "в очередь". При этом каждое число "знает своё место в этой очереди", т.е. однозначно характеризуется своим номером.

    x1, x2, x3, ... , xn-1, xn, xn+1, ...

    Говоря математическим языком,

    последовательность задана, если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное действительное число xn.

    Последовательность коротко обозначают {xn}, nN. Её члены могут быть заданы формулой xn = f (n), каким-либо правилом или рекуррентным соотношением.

    Примеры задач на последовательности из ОГЭ по математике прошлых лет.

    Задача 1. Последовательность задана формулой \(a_n = \dfrac{40}{n+1}.\)
    Сколько членов этой последовательности больше 2?

    Решение.

    Выпишем несколько членов этой последовательности.

    \(a_1 = \dfrac{40}{1+1} = 20; \; a_2 = \dfrac{40}{2+1} = 13\dfrac{1}{3}; \; a_3 = \dfrac{40}{3+1} = 10;\;\) \(a_4 = \dfrac{40}{4+1} = 8; \; ... \)

    Видно, что каждый следующий член последовательности меньше предыдущего, и эта тенденция сохранится, потому что при увеличении номера элемента будет увеличиваться знаменатель дроби при сохранении неизменным её числителя, т.е. сама дробь будет только уменьшаться. Из этих рассуждений делаем вывод, что существует такой номер члена последовательности, что число под этим номером впервые станет меньше либо равным 2, все последующие будут еще меньше, а все числа с меньшими номерами, наоборот, будут больше 2. Чтобы найти этот номер решим неравенство \[ \frac{40}{n+1} \le 2; \\ 40 \le 2(n+1); \\ 20 \le n+1; \\ n+1 \ge 20; \\ n \ge 19. \] Итак, все числа с номерами большими либо равным 19 меньше 2, следовательно членов последовательности больших, чем 2, ровно 18.

    Ответ: 18

    Подробное изучение свойств последовательностей, как правило, включают в курсы высшей математики. К классической алгебре относят само понятие "последовательность" и наиболее простые из них – прогрессии. Они отличаются тем, что каждый следующий член такой последовательности может быть найден по значению предыдущего.

    Арифметическая прогрессия.

    Определения и обозначения.

    Арифметической прогрессией называется последовательность {an}, у которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом d. Число d называется разностью арифметической прогрессии.

    Разность арифметической прогрессими d может иметь как положительное, так и отрицательное значение. В первом случае, каждый следующий член прогресси будет на одно и то же число больше предыдущего, а во втором – на одно и тоже число меньше предыдущего.
    Например,

    2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 ... – возрастающая арифметическая прогрессия (d = 2);

    17; 14; 11; 8; 5; 2; −1; −4; −7 ... – убывающая арифметическая прогрессия (d = −3).

    Свойства арифметической прогрессии.

    арифметическая прогрессия - иллюстрация с цыплёнком
    1. Формула общего члена арифметической прогрессии an:

      \(a_n = a_1 + d\cdot(n-1),\)

    2. Для арифметической прогрессии при любом n > 1 верны следующие соотношения:

      \(a_{n+1} = a_n + d; \; a_{n-1} = a_n - d; \) \(a_n = a_k + d\cdot(n-k).\)

    3. Характеристическое свойcтво арифметической прогрессии: последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего:

      \(a_n = \dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.\)

    4. Сумма первых n членов арифметической прогресии Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых.

      \(S_n = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

    5. С учётом равенства \(a_n = a_1 + d\cdot(n-1),\) эта сумма может быть найдена по формуле

      \(S_n = \dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n\)

    Таким образом, арифметическая прогрессия полностью определяется двумя параметрами – первым членом и разностью.

    Примеры задач на арифметическую прогрессию.

    Задача 2. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 11; x ; –13; –25; … .
    Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

    Решение.

    Способ I.
    Известны предыдущий и последующий члены прогрессии для элемента x. Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии \[a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2};\\ x = \frac{11 +(-13)}{2} = \frac{11 -13}{2} = -1.\] Способ II.
    Найдём разность между двумя соседними известными членами прогрессии \[d = -25 - (-13) = -25+13 =-12.\] По определению арифметической прогрессии такая же разность будет между элементом x и его непосредственными соседями, сдедовательно

    \(x = -13 -d = -13-(-12) \) \(= -13+12 = -1 \)
    или
    \(x = 11 + d = 11 +(-12) \) \(= 11-12 = -1.\)

    Ответ: −1

    Задача 3. Арифметическая прогрессия задана условиями a1 = 44, an+1 = an − 17.
    Найдите сумму первых 14 её членов.

    Решение.

    Искомую сумму можно найти по формуле \(S_n = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\), т.е. \[S_{14} = \frac{a_1+a_{14}}{2}\cdot 14 = (a_1+a_{14})\cdot7.\] Значение первого члена прогрессии известно a1 = 44. Чтобы найти значение 14-го члена, проанализируем выражение an+1 = an − 17. Оно свидетельствует о том, что каждый последующий член прогрессии (n+1-ый) меньше текущего (n-ого) на 17, т.е. разность прогрессии d = −17. Поэтому 14-ый член прогрессии можно найти по формуле \(a_n = a_1+d\cdot (n-1)\).

    \( a_{14} = a_1 + d\cdot(14-1) \) \(= 44 + (-17)\cdot13 = 44 -221 = - 177.\)

    В итоге получим

    \(S_{14} = (a_1+a_{14})\cdot7 = (44+(-177))\cdot7 \) \(= (44-177)\cdot7 = -931.\)

    Ответ: −931

    Геометрическая прогрессия.

    Определения и обозначения.

    Геометрической прогрессией называется последовательность чисел {bn}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на некоторое постоянное для этой последовательности число q ≠ 0. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.

    Знаменатель геометрической прогрессими q может принимать любые действительные значения, кроме нуля. Если q > 1, то каждый следующий член прогресси будет в одинаковое число раз больше предыдущего, если 0 < q < 1, то в однаковое число раз меньше предыдущего. А если знаменатель прогрессии отрицателен, то последовательность окажется знакопеременной.
    Например:

    2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512 ... – возрастающая геометрическая прогрессия (q = 2). Каждое следующее число в 2 раза больше.

    17; 8,5; 4,25; 2,125; 1,0625; 0,53125; 0,265625 ... – убывающая геометрическая прогрессия (q = 1/2 = 0,5). Каждое следующее число в 2 раза меньше.

    1; −3; 9; −27; 81; −243; 729 ... – знакопеременная геометрическая прогрессия (q = −3).

    Свойства геометрической прогрессии.

    геометрическая прогрессия - иллюстрация с цыплёнком
    1. Формула общего члена геометрической прогрессии

      \[b_n = b_1\cdot q^{n-1}.\]

    2. Для геометрической прогрессии со знаменателем q при n > 1 имеем:

      \(b_{n+1} = b_n\cdot q\;; \;\;b_{n-1} = \frac{b_n}{q}; \;\) \( b_n = b_k\cdot q^{n-k}.\)

    3. Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член кроме первого связан с предыдущим и последующим членами формулой

      \[b_n^{\;2} = b_{n-1}\cdot b_{n+1}.\]

    4. Сумма Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn-1 + bn первых n членов геометрической прогрессии {bn} со знаменателем q ≠ 1 вычисляется по формулам

      \[S_n = \frac{b_n\cdot q - b_1}{q-1};\] \[S_n = \frac{b_1\cdot (q^n -1)}{q-1}.\]

    Таким образом, геометрическая прогрессия полностью определяется двумя параметрами - первым членом и знаменателем.

    Обратите внимание, в общем случае, все последовательности бесконечны. Но в задачах часто рассматривают упорядоченные конечные участки таких множеств, также называя их последовательностями и прогрессиями.

    Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

    Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а таковыми являются прогрессии со знаменателем |q| < 1 существует сумма ВСЕХ её членов

    \[S = \frac{b_1}{1-q};\]

    где S – сумма bn при n, изменяющимся от единицы до бесконечности.

    Примеры задач на геометрическую прогрессию.

    Задача 4. В геометрической прогрессии {bn} \[b_3=\frac{4}{7},\; b_6 = 196.\] Найдите знаменатель прогрессии.

    Решение.

    Используем соотношение \( b_n = b_k\cdot q^{n-k},\) в которое подставим известные величины, а затем решим простое уравнение относительно неизвестных.

    \( b_6 = b_3\cdot q^{6-3}\\196 = \dfrac{4}{7}\cdot q^3\\ q^3=196 \cdot\dfrac{7}{4} =\dfrac{196\cdot7}{4} =49\cdot7 = 7^3.\\q^3=7^3; \; q = 7.\)

    Ответ: 7

    Задача 5. Найдите бесконечную геометрическую прогрессию {bn} , если \(b_1+b_2 = 4\) и \(S = \dfrac{16}{3}\).

    Решение.

    Любой член прогрессии можно найти по формуле её общего члена, т.е. через первый член и знаменатель. Поэтому вопрос "найти прогрессию" равносилен вопросу "найти первый член прогрессии и её знаменатель".

    Из первого условия, используя равенство \(b_2 = b_1\cdot q\) получаем \[b_1+ b_2 = b_1 + b_1\cdot q = 4\\ b_1\cdot (1+q) = 4 \\ b_1 = \frac{4}{1+q}.\] Сумму всех членов прогрессии, которая по условию задачи равна \(\dfrac{16}{3},\) найдём по формуле \(S = \dfrac{b_1}{1-q}\). Подставим полученную зависимость для \(b_1\) и составим уравнение для определения неизвестного знаменателя прогрессии.

    \(S = \dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{4}{(1+q)(1-q)} \;\) \(= \dfrac{4}{(1-q^2)} = \dfrac{16}{3}. \)

    Решаем уравнение \[\frac{4}{1-q^2} = \frac{16}{3}; \\ 4\cdot3 = 16\cdot (1-q^2); \\ 12-16 = -16q^2; \\ q^2 = \frac{-4}{-16} = \frac{1}{4}; \\ q = \pm\frac{1}{2}.\] Таким образом, указанным условиям удовлетворяют две последовательности:

    1. \(q = \dfrac{1}{2} = 0,5; \; b_1 = \dfrac{4}{1+q} = \dfrac{4}{1+0,5} = \dfrac{4}{1,5} = \dfrac{40}{15} = \dfrac{8}{3}; \\ b_n = \dfrac{8}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} = \dfrac{8}{3\cdot 2^{n-1}}\)

    и

    2. \(q = -\dfrac{1}{2} = 0,5;\; b_1 = \dfrac{4}{1+q} = \dfrac{4}{1-0,5} = \dfrac{4}{0,5} = \dfrac{40}{5} = 8 \\ b_n = 8\cdot(-\dfrac{1}{2})^{n-1} = \dfrac{8}{(-2)^{n-1}}\)

    Ответ: \(\left\{\dfrac{8}{3\cdot 2^{n-1}}\right\} \text{ и } \left\{\dfrac{8}{(-2)^{n-1}}\right\}\)

    Для краткого обозначения того, что последовательность представляет собою арифметическую прогрессию, иногда ставят в начале знак  ÷
    Для обозначения того, что последовательность представляет собою геометрическую прогрессию, иногда ставят в начале знак  ::

    Разумеется, не следует зацикливаться на обозначениях. Арифметическую и геометрическую прогрессию необязательно обозначать символами {an} и {bn}, хотя их используют довольно часто. Это облегчает восприятие понятий на первом этапе, но не более того. Для последовательностей вообще и прогрессий в частности часто используют {ak}, {un}, {xm}, {βi} и другие символы латинского и греческого алфавита. При этом нижний индекс – натуральное число, изменяющееся от 1 до ∞. Однако и это необязательно. Бывают случаи, когда члены последовательности начинают нумеровать с нуля.

    Задачи на прогрессии и последовательности с практичеcким содержанием.

    В ОГЭ по математике в наступающем году произошли некоторые изменения в заданиях, связанных с этой темой. Задание на работу с последовательностями и прогрессиями (задание 12 в КИМ 2020 г.) заменено на задание с практическим содержанием, направленное на проверку умения применять знания о последовательностях и прогрессиях в прикладных ситуациях (задание 14 в КИМ 2021 г.).

    Суть этого задания теперь состоит в том, что надо сначала определить, о какой последовательности идёт речь в задании, и только потом начинать применять формулы. Для этого надо искать в тексте условия задачи ключевые слова "каждый, следующий, предыдущий ...", "на ... больше (меньше)", "в ... раз больше (меньше)" и, опираясь на их смысл, вспоминать определения последовательностей и прогрессий.

    Задача 6. За первую минуту бега спортсмен пробежал 300 метров, а в каждую следующую минуту он пробегал на 5 метров больше, чем в предыдущую. С какой скоростью спортсмен закончил тренировку, если она длилась 20 минут? Ответ дайте в километрах в час.

    Решение.

    Анализируя текст задачи, приходим к выводу, что ускорение бега спорсмена происходило по графику арифметической прогрессии, первый член которой равен 300 м, а разность d = 5 м. Определим, сколько метров он пробежал в последнюю (20-ю) минуту бега. \[ a_n = a_1 +d\cdot(n-1) \\ a_{20} = 300 + 5\cdot(20-1) \\ a_{20} = 300 + 5\cdot19 = 300+95 = 395 (м).\] Фактически, мы уже определили среднюю скорость бега в конце тренировки, но в метрах в минуту. Для того, чтобы дать требуемый ответ, осталось перейди к другим единицам измерения скорости. \[ \frac{395\cdot60}{1000} = 23,7 (км/ч)\]

    Ответ: 23,7

    Задача 7. Фермер Алексей приобрёл новый земельный участок весной 2015 года и сразу засеял его пшеницей. Используя эффективные приёмы агротехники, он ежегодно увеличивал урожайность пшеницы на 2,9 ц/га и в 2020 году собрал в среднем по 24,5 центнера пшеницы с гектара. Какова была урожайность пшеницы в первый год использования участка Алексеем? Ответ дайте в ц/га (центнерах с гектара).

    Решение.

    Фермер ежегодно увеличивал урожай на одно и то же число центнеров с гектара – арифметическая прогрессия.

    Можно вычислить, что с весны 2015 года до осени 2020 года он смог собрать урожай 6 раз, т.е. известно \(a_6,\) определить нужно \(a_1\). Для этого используем формулу общего члена прогрессии и решим маленькое уравнение относительно \(a_1.\) \[ a_n = a_1 +d(n-1); \\ a_6 = a_1 + d(6-1); \\ 24,5 = a_1 + 2,9\cdot5; \\ 24,5 = a_1 + 14,5; \\ a_1 = 24,5 - 14,5 = 10. \] Но также можно предположить, что рассматриваемый период это конечный участок какой-то бесконечной прогрессии, начальные значения которой нас не интересуют. Тогда вычисляем по формуле \(a_n = a_k + d\cdot(n-k)\). \[ a_{2020} = a_{2015} + d\cdot(2020-2015); \\ 24,5 = a_{2015} + 2,9\cdot5; \\ 24,5 = a_{2015} + 14,5; \\ a_{2015} = 24,5 - 14,5 = 10. \] Итак, изначально урожайность пшеницы составляла 10 ц/га.

    Ответ: 10

    Задача 8. Михаил заключил с банком на срок 5 лет следующий договор. Ежегодно он вносит в банк вклад в размере 10 000 руб., не снимая ранее внесённых средств. В конце каждого года банк начисляет 5% дохода на всю сумму средств, вложенных Михаилом к этому моменту. Сколько рублей он сможет забрать из банка по истечении срока действия договора?

    Решение.

    Михаил в течение срока договора должен внести 5 раз по 10000 руб. и банк должен 5 раз начислить процент на общую сумму средств на счету Михаила. При этом сумма, находящаяся на счету в момент начисления процентов, увеличится в 1,05 раза.

    Замечание. Для решения таких задач лучше переходить от процентов к коэффициентам. Например, сумма составляет S рублей, один процент от неё составляет \(\dfrac{S}{100}\) рублей, а 5%, соответственно составляют \(\dfrac{S\cdot5}{100}\) рублей. В результате на счету образуется \(S + \dfrac{S\cdot5}{100}\) рублей. Преобразуем это выражение

    \( S + \dfrac{S\cdot5}{100} = \dfrac{100S + 5S}{100} = \dfrac{105S}{100} = 1,05S \)
    Таким образом, увеличение суммы на 5% равносильно умножению её на коэффициент 1,05.
    Подробнее о различных способах работы с процентами можно посмотреть на странице, посвященной решению текстовых задач.

    При этом 10000 рублей, внесенные в банк в первый год, будут находиться на счёте в момент начисления процентов все 5 раз и потому увеличатся в 1,05 раза последовательно в 5 этапов, т.о. эта часть вклада достигнет величины 1000·1,05·1,05·1,05·1,05·1,05 = 1000·1,055.
    10000 рублей, внесённые во второй год подвергнутся такому увеличению только 4 раза и достигнут величины 1000·1,054 рублей, а сумма, внесённая в последний год будет увеличена только один раз. Таким образом, мы замечаем следующую закономерность: каждые десять тысяч рублей, пролежавшие на вкладе на год дольше, чем следующие, увеличиваются по сравнению с ними в 1,05 раза. Т.е. мы имеем дело с геометрической прогрессией, знаменатель которой q = 1,05, нулевой член прогрессии b0 = 10000, а первый член прогресии b1 = 10000·1,05 = 10500. Чтобы найти всю сумму, которую Михаил сможет забрать из банка в конце срока, нужно сложить члены этой геометричексой прогрессии с первого по пятый. Для этого воспользуемся формулой \(S_n = \dfrac{b_1\cdot (q^n - 1)}{q-1}\). \[S_5 = \frac{b_1\cdot (q^5 - 1)}{q-1} = \frac{10500\cdot (1,05^5 - 1)}{1,05-1} = \frac{10500\cdot (1,2762815625 - 1)}{0,05} = \\ = 58019,128125 \approx 58019,13.\] Итак, Михаил получит 58019 рублей и 13 копеек.

    Замечание. Для полноты представления о прогрессии расчёты здесь проведены с использованием калькулятора. На экзамене такой возможности не будет, поэтому при вычислении qn нужно вспомнить свойства степеней. Например, чтобы быстро вычисить 1,055, степень нужно записать как (1,052)2·1,05. Тогда получится дважды воспользоваться таблицей квадратов, которая есть в справочных материалах ОГЭ и базового ЕГЭ, и только один раз умножить в столбик. Можно также перейти от десятичных дробей к обыкновенным 1,05 = 105/100 = 21/20.

    Ответ:58019,13

    Задача 9. Представьте в виде обыкновенной дроби десятичную дробь 2,5(3).

    Решение.

    Десятичная дробь 2,5(3) читается так "2 целых 5 десятых и 3 в периоде", т.е. это число 2,53333333333... , где во всех разрядах, начиная с сотых и до бесконечности, стоит тройка. Запишем это число иначе

    \(2+\dfrac{5}{10}+\dfrac{3}{100}+\dfrac{3}{1000}+\dfrac{3}{10000}+\dfrac{3}{100000}+\dfrac{3}{1000000}+\dfrac{3}{10000000}+ ...\)

    Замечание. Самый простой способ переходить от десятичных дробей к обыкновенным – читать число вслух и записывать с делением дробной чертой. Например, "и три тысячных" то же самое, что \("+ \dfrac{3}{1000}"\).

    В новой записи заданного числа видно, что каждое слагаемое, начиная с четвёртого, ровно в 10 раз иеньше предыдущего. Таким образом, эти слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен третьему слагаемому \(b_1 = \dfrac{3}{100} = 0,03\), а знаменатель прогрессии равен \(b_1 = \dfrac{1}{10} = 0,1\). Поэтому само число теперь можно записать как
    \[2+\frac{5}{10}+S,\] где S – сумма прогрессии, которую можно определить по известной формуле \[S = \frac{b_1}{1-q}; \\ S = \frac{0,03}{1-0,1} = \frac{0,03}{0,9} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}. \] Подставляем вычисленную сумму в выражение для заданного числа и вычисляем дробную часть по правилу сложения обыкновенных дробей, т.е. приводя к общему знаменателю. \[2,5(3) = 2+\frac{5}{10}+S = 2+\frac{5}{10}+\frac{1}{30} = 2 + \frac{15 + 1}{30} = 2+\frac{16}{30}= 2\frac{8}{15}. \]

    Ответ: \(2\dfrac{8}{15}\)

    Задачи для самостоятельного решения.

    Ответы и решения этих задач временно скрыты. Чтобы посмотреть их, воспользуйтесь соответствующими кнопками. Но предварительно попробуйте решить задачу самостоятельно.

    Задача 10. На каждый День Рождения родители Саши бросают в его копилку столько монет, сколько ему лет. Сейчас в копилке Саши 21 монета. Сколько ему лет?

    Решение.

    Каждый День Рождения Саше становится на один год больше и, соответственно, в копилку попадает на одну монету больше. Таким образом, мы имеем дело с возрастающей арифметической прогрессией, разность которой d = 1. Первый член прогресии \(a_1 = 1\), так как первый День Рождения Саши, очевидно, отмечался, когда ему исполнился один год.

    Так как в копилке находятся все "накопившиеся" монеты, то их количество представляет собой сумму всех ежегодных вложений, т.е. сумму арифметической пролгрессии.
    Подставим все известные данные в формулу для суммы арифметической прогрессии и решим уравнение относительно неизвестного параметра.
    Воспользуемся формулой суммы в форме \(S_n = \dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.\) \[21 = \frac{2\cdot1+1\cdot (n-1)}{2}\cdot n \\ 21 = \frac{(2+n-1)\cdot n}{2} \\ 42 = 2n+n^2 - n \\ n^2 + n - 42=0 \] Решая это квадратное уравнение, получаем корни n1 = −7 и n2 = 6. Поскольку Саше явно неотрицательное число лет, то принимаем во внимание корень n = 6.

    Проверка.
    При выполнении таких ответственных заданий, как экзаменационные задания, по возможности желательно делать проверку. Поскольку оказалось, что Саше не так много лет, то можно "вручную" сложить все монеты, которые за 6 лет попали в копилку. 1+2+3+4+5+6 = 21. Их сумма, действительно, оказалась равной 21. Значит задача решена верно.

    .

    Ответ: 6

    Показать ответ    

    Задача 11. Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника ровно за 7 дней. В первый день Вася решил 5 задач и затем каждый день решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день. Сколько задач решил в первый день Петя, если для того, чтобы догнать Васю он был вынужден каждый день решать на две задачи больше, чем в предыдущий день.

    Решение.

    Оба мальчика решали задачи каждый день, увеличивая их количестко на одно и то же число. Это арифметическая прогрессия. Васин график известен полностью: \(a_1 = 5\) и \(d = 1\). Зная, что все задачи сборника решены Васей за 7 дней, можем определить, сколько всего задач в сборнике \[S_7 = \frac{a_1 + a_7}{2}\cdot7 \\ a_7 = a_1 + d(7-1) = 5 + 1\cdot6 = 11\\ S_7 = \frac{5+11}{2}\cdot7 = 56\] Итак, в сборнике 56 задач, которые Петя тоже решил за 7 дней. И в этом случае используем формулу суммы арифметичексой прогрессии, но теперь для составления уравнения относительно \(a_1\). Разность прогрессии известна d = 2. \[S_7 = \frac{a_1 + a_7}{2}\cdot7 \\ a_7 = a_1 + d(7-1) = a_1 + 2\cdot6 = a_1 + 12\\ S_7 = \frac{a_1+a_1 + 12}{2}\cdot7 = (a_1+6)\cdot7\] Решаем уравнение \[7a_1+42 = 56\\ 7a_1 = 14;\; a_1 = 2.\]

    Ответ: 2

    Показать ответ    

    Задача 12. За первую минуту бега спортсмен пробежал 400 метров, а в каждую следующую минуту он пробегал на 5 метров меньше, чем в предыдущую. Какое расстояние спорсмен преодолел за тренировку, если она длилась 30 минут? Ответ дайте в километрах, округлив до целого значения.

    Решение.

    Часть условия задачи "каждую следующую ... на 5 меньше" подсказывает, что имеем дело с арифметической прогрессией: \(a_1=400, d = -5\). Для определения расстояния, которое пробежал спорсмен за тренировку в целом, нужно сложить участки, пройденные в каждую из 30 минут. Используем формулу суммы арифметической прогрессии. \[S_{30} = \frac{a_1 + a_{30}}{2}\cdot30 \\ a_{30} = a_1 + d(30-1) = 400 - 5\cdot29 = 255\\ S_{30} = \frac{400+255}{2}\cdot30 = (400+255)\cdot15 = 9825 (м) = 9,825 (км) \] 9,825 километра составляют примерно 10 км.

    Ответ: 10

    Показать ответ    

    Задача 13. Период полураспада одного из изотопов йода составляет 8 дней. У физика-экспериментатора было 32 грамма этого изотопа. Через сколько дней ориентировочно в его распоряжении будет только 4 грамма этого изотопа?

    Решение.

    Период полупаспада радиоактивного изотопа это время, за которое количество изотопа уменьшается в два раза. Этот период является в среднем постоянной величиной для изотопа определенного вида. Поэтому задача сводится к анализу геометрической прогрессии c \(q = \dfrac{1}{2}\). Начальное количество изотопа \(b_1 = 32,\) конечное количество изотопа \(b_n = 4,\) где n - номер периода после начала измерений.
    Используем формулу общего члена геометрической прогрессии \[b_n = b_1\cdot q^{n-1} \\ 4 = 32\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \\ \frac{4}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \\ \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \\ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\\ n - 1 = 3; \; n = 4 \] Таким образом, 4 грамма изотопа окажется в начале 4-ого периода, следовательно полураспадов состоится 3, для этого должно пройти примерно 3·8 = 24 дня.

    Ответ: 24

    Показать ответ    

    Задача 14. Николай и Андрей решили ежедневно выполнять комплекс упражнений с гирей, повторяя упражнения по 16 раз в день. Однако в первый день Николай смог выполнить комплекс упражнений только 4 раза, а затем каждый день увеличивал количество повторов на 3. Андрей в первый день выполнил упражнения всего лишь один раз, но каждый следующий день увеличивал количество повторов вдвое по сравнению с предыдущим. Кто из них достигнет планируемой цели раньше? В ответ запишите в какой день будет достигнут результат 16 повторов этим юношей.

    Решение.

    О занятиях Николая сказано, что он "каждый день увеличивал количество повторов на 3", т.е. его график тренировок представлял собой арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 4\) и разностью \(d = 3\). Чтобы узнать, в какой день он впервые выполнит 16 повторов упражнений, нужно вычислить номер n члена арифметической прогрессии \(a_n\) = 16. Используем для этого формулу общего члена \[a_n = a_1 +d(n-1) \\ 16 = 4 + 3\cdot(n-1) \\ 16 - 4 = 3\cdot(n-1);\\ 3\cdot(n-1)=12;\; n-1 = 4;\; n=5 \] Николай достигнет планируемой нормы на 5-ый день занятий.

    О занятиях Андрея сказано, что он "каждый день увеличивал количество повторов вдвое", т.е. в 2 раза. Значит его график тренировок представлял собой геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1 = 1\) и знаменателем \(q = 2.\) Чтобы узнать, в какой день он впервые выполнит 16 повторов упражнений, нужно вычислить номер n члена геометрической прогрессии \(b_n = 16.\) Используем для этого формулу её общего члена \[b_n = b_1\cdot q^{n-1} \\ 16 = 1\cdot 2^{n-1} \\ 2^4 = 2^{n-1};\\n-1 = 4;\; n=5 \] Николай достигнет планируемой нормы на 5-ый день занятий.

    Оказывается они придут к цели одновременно.

    Ответ: 5

    Показать ответ    

    Задача 15. Рулетка разделена на 37 секторов. Каждый сектор имеет номер от 0 до 36, причем номера не повторяются. В каждом секторе лежат фишки, количество которых равно номеру сектора. Сколько всего фишек лежит на нечётных номерах?

    Решение.

    Нас интересуют только фишки, лежащие на номерах 1, 3, 5, 7, ..., 35. Имеем арифметическую прогрессию:\(a_1 = 1,\; d = 2\). Общее количество таких номеров n = 18. Это можно найти "вручную" или по формуле общего члена прогрессии \[a_n = a_1 + d(n-1);\\ 35 = 1 + 2(n-1); \\ 2(n-1) = 34; \; n = 17+1 = 18. \] Cумму находим по формуле \(S_n = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\) \[S_{18} = \frac{1+35}{2}\cdot 18 = 18\cdot18 = 324.\]

    Ответ: 324

    Показать ответ