логотипКвадратное уравнение. Быстро и без ошибок.

На экзаменах типа ОГЭ и ЕГЭ часто встречаются квадратные уравнения очень простого вида, корни которых легко находятся по теореме Виета. Однако большинство школьников решают их по полному алгоритму, теряя время и провоцируя себя на ошибки. Кроме того, можно использовать упрощенный подход и в случае второго чётного коэффициента, тем более, для приведенных уравнений. Давайте последовательно рассмотрим все эти способы упрощения вычислений на примере одного уравнения.

Пример 1
Решить уравнение \(42 - 2x^2 = 8x\).

Если старшая степень неизвестного 2-я (\(x^2\)), то нужно всё перенести в левую часть так, чтобы справа оставался 0. Затем расположить степени по старшинству.
\(42 - 2x^2 - 8x = 0\)
\(- 2x^2 - 8x + 42 = 0\)
умный ёжик и дискриминант После этого можно решать уравнение "в лоб" по выученным формулам:

I способ.

\(ax^2 + bx + c = 0 \)
\( D = b^2 - 4ac\)

\(-2x^2 - 8x + 42 = 0 \)
\( D = (-8)^2 - 4\cdot(-2)\cdot42 = 64 + 8\cdot42 = 64 + 336 = 400\)

\( x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\);
\( x_{1} = \dfrac{-(-8)+\sqrt{400}}{2\cdot(-2)} = \dfrac{8+20}{-4} = -\dfrac{28}{4} = -7 \);
\( x_{2} = \dfrac{-(-8)-\sqrt{400}}{2\cdot(-2)} = \dfrac{8-20}{-4} = \dfrac{-12}{-4} = +\dfrac{12}{4}=3 \).

Ответ: {−7; 3}

А можно сначала внимательно посмотреть на коэффициенты, найти общие делители, неудобные знаки... и упростить уравнение. Не забывайте: ноль, умноженный или деленный на любое число, всё равно ноль.

II способ.

а) Разделим обе части уравнения на −2 (на минус два).
\(- 2x^2 - 8x + 42 = 0\) |: −2
\(x^2 +4x - 21 = 0\)

Если не заметили, что уравнение стало приведенным (старший коэффициент "спрятался" \(x^2 = 1· x^2\), а второй коэффициент остался чётным числом, то можно решать по общим формулам, как в первом способе:

\(x^2 +4x - 21 = 0\)
\(D = 4^2- 4\cdot1\cdot(- 21) = 16 + 84 = 100\)
\( x_{1} = \dfrac{-4+\sqrt{100}}{2\cdot1} = \dfrac{-4 +10}{2} = 3 \);
\( x_{2} = \dfrac{-4-\sqrt{100}}{2\cdot1} = \dfrac{-4-10}{2} = -\dfrac{14}{2} = -7 \).

Ответ: {−7; 3}

Выигрыш всё равно есть: числа уменьшились, считать стало легче, риск ошибки на невнимательность снизился.

б) Теперь заметим чётность второго коэфиициента. Такое уравнение можно решать по сокращенным общим формулам.

Пусть \(k = \dfrac{b}{2}\). Тогда
\(ax^2 + 2kx + c = 0 \)
\( D_2 = k^2 - ac\)
\(x^2 +4x - 21 = 0\)
\(D_2 = 2^2-1\cdot(- 21) = 4 + 21 = 25\)

\( x_{1,2} = \dfrac{-k\pm\sqrt{D_2}}{a}\);
\( x_{1} = \dfrac{-2+\sqrt{25}}{1} = -2+5 = 3 \);
\( x_{2} = \dfrac{-2-\sqrt{25}}{1} = -2-5 = -7 \);

Ответ: {−7; 3}

Числа еще меньше. Считать стало еще легче.

в) Если заметили, что уравнение приведенное - не видно старшего коэффициента, точнее коэффициент при \( x^2\) стал равен единице \( x^2 = 1· x^2\), можно решать по правилу:

корни равны половине второго коэффициента с противоположным знаком плюс/минус корень квадратный из этой половины без свободного члена.

Общий вид приведенного квадратного уравнения обычно записывают через другие обозначения переменных:
\(x^2 + px + q = 0 \)
\(x^2 + 4x - 21 = 0 \)
Пусть \(k = \dfrac{p}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\). Тогда по этому правилу получим

\( x_{1,2} = -k\pm\sqrt{k^2 - q} = -2\pm\sqrt{4 - (-21)} = -2\pm\sqrt{25} = -2\pm5 \) ; \( x_{1} = -2 +5 = 3 \);
\( x_{2} = -2-5 = -7 \).

Ответ: {−7; 3}

По сравнению с пунктом "б" ещё и запись стала короче. А главное - правило вычисления корней приведенного квадратного уравнения с чётным коэффициентом \(p\) перед \(x\) можно заучить не формулой, а словами. Очень рекомендую "гуманитариям".

Но приведенное уравнение можно вообще не считать по формулам, а "угадать" (подобрать корни) по теореме Виета:

III способ.

\(x^2 + px + q = 0 \)
\(x^2 + 4x - 21 = 0 \)
Теорема Виета:
произведение корней приведенного квадратного уравнения равно последнему коэффициенту \(x_1·x_2 = q\), сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком \(x_1 + x_2 = -p\).
Последний коэффициент −21 (с минусом), значит корни будут с разными знаками. Складывая числа с разными знаками, мы их, фактически, вычитаем, поэтому ищем два сомножителя числа 21 разность которых равна 4:
21 = 21·1 и 21 = 3·7
21 − 1 = 20 "холодно" и 7 − 3 = 4 "горячо".
Итак, корни либо 7 и −3, либо −7 и 3. Условие \(x_1·x_2 = q = -21\) выполняется для обоих пар, условие \(x_1 + x_2 = -p = -4\) только для второй пары −7 + 3 = −4. Значит ответ −7 и 3. умный ёжик и теорема Виета

Как решать уравнение на экзамене?
Конечно, важно экономить время на экзамене. Оно пригодится для решения более сложных задач. Но непременно нужно проверять свой ответ либо подстановкой корней в уравнение, либо решением другим способом. Проверка - это не потеря времени, это гарантия качества ответа. Но и, выполняя проверку, можно выбрать для неё наиболее быстрый способ.

Пример 2.
Решить уравнение \(3x^2 + 23x - 8 = 0\).

Решение.

Числа 3, 23 и 8 не имеют общих делителей. Сократить не получится.
Второй коэффициент 23 - нечётное число. Упрощенный дискриминант \((D_2)\) использовать не получится.
Решаем по общей схеме:

\(3x^2 + 23x - 8 = 0\)
\( D = 23^2 - 4\cdot3\cdot(-8) = 529 + 96 = 625\)

\( x_{1} = \dfrac{-23+\sqrt{625}}{2\cdot3} = \dfrac{-23+25}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \);
\( x_{2} = \dfrac{-23-\sqrt{625}}{2\cdot3} = \dfrac{-23-25}{6} = \dfrac{-48}{6} = -8\).

Проверка по теореме Виета.

Разделим обе части уравнения на 3. Получим приведенное уравнение с дробными коэффициентами.
\(3x^2 + 23x - 8 = 0\) |: 3
\(x^2 + \dfrac{23}{3}x - \dfrac{8}{3}= 0\)
Сумма корней уравнения должна быть равна второму коэффициенту с противоположным знаком, т.е. \(-\dfrac{23}{3}\). Проверяем:
\(-8 + \dfrac{1}{3} = -7\dfrac{2}{3} = -\dfrac{23}{3}\)
Произведение корней должно быть равно последнему коэффициенту, т.е. \(-\dfrac{8}{3}\). Проверим это:
\(-8\cdot\dfrac{1}{3} = -\dfrac{8}{3}\)
Проверка показала, что уравнение решено верно.

На мой взгляд, в вычислительном плане такой способ проверки здесь оказался намного менее трудоёмким и, соответственно, более быстрым, чем проверка подстановкой корней в уравнение. Но не забывайте, что проверять надо не тем способом, которым решали. Иначе можно просто повторить собственнные ошибки.

   Перейти на главную страницу сайта.
См. также 4,5 способа решения одного квадратного уравнения.    

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь - mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.