Смайлик в шапочке Математички

4,5 способа решения одного квадратного уравнения.


Решим уравнение

\[\Large {2x^2-9x-5=0}\]

1) По формулам, через дискриминант

Общий вид квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\)

Дискриминант вычисляется по формуле \(D = b^2-4ac\)

Корни находятся по формулам \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm\sqrt{D}}{2a}\)

В заданном уравнении a = 2; b = −9; c = −5, следовательно \[D = (-9)^2-4\cdot2\cdot(-5) = 81 + 40 = 121;\;\;\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11.\] Вычисляем корни \[x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-(-9) + 11}{2\cdot2}= \dfrac{20}{4}\ = 5\] \[x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-(-9) - 11}{2\cdot2}= \dfrac{-2}{4}\ = -\dfrac{1}{2} = -0,5\] Ответ:{-0,5; 5}

2) По теореме Виета

Разделим на первый коэффициент, чтобы уравнение приобрело вид приведенного.

\(2x^2-9x-5=0\) |: 2

\(x^2-\dfrac{9}{2}x-\dfrac{5}{2}=0\)

Теорема Виета утверждает, что произведение корней приведенного квадратного уравнения равно третьему коэффициенту, а сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Таким образом, нам нужно подобрать два числа, произведение которых равно \(-\dfrac{5}{2}\), а сумма равна \(+\dfrac{9}{2}\).
Конечно, теоремой Виета лучше пользоваться тогда, когда существуют целые корни, но здесь тоже очень легко подобрать сомножители. Так как 5 и 2 простые числа, то единственный вариант произведения \[\dfrac{5}{2} = 5\cdot\dfrac{1}{2}.\] Третий коэффициент у нас со знаком минус. Это означает, что корни имеют разные знаки, т.е. решением является либо пара \(\{-5; \dfrac{1}{2}\}\), либо пара \(\{5; -\dfrac{1}{2}\}\). Проверим:
\[-5 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-10 + 1}{2} = \dfrac{-9}{2} \] \[5 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{10 - 1}{2} = \dfrac{9}{2} \] Для ответа выбираем второй вариант, т.к. наш случай — сумма равна \(+\dfrac{9}{2}\).
Итак, \({x_1 = 5;\;\;x_2 = -\dfrac{1}{2} = -0,5.}\)

Ответ:{-0,5; 5}

3) Разложением на множители

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:

\(2x^2-9x-5= 2x^2-10x+x-5 =\) \(2x(x - 5) + (x - 5) = (x-5)\cdot(2x + 1)\)

Преобразованное уравнение имеет вид: \[(x-5)\cdot(2x + 1)=0\] Так как произведение равно нулю, когда либо один, либо второй сомножитель равняются нулю, то квадратное уравнение сводится к совокупности двух линейных:

\(\left[ \begin{array}{ccc} x -5 = 0; \\ 2x+1 =0, \\ \end{array}\right. \)    \(\left[ \begin{array}{eee} x = 5; \\ 2x = -1,\\ \end{array}\right. \) \(\left[ \begin{array}{eee} x = 5; \\ x = -0,5.\\ \end{array}\right. \)

Ответ:{-0,5; 5}

4) Выделением полного квадрата

Преобразуем выражение с использованием одной из формул сокращенного умножения: \[a^2+2ab + b^2 = (a+b)^2\] \[a^2-2ab + b^2 = (a-b)^2\]

\(2x^2-9x-5 = 2(x^2-4,5x)-5 = \) \(2(x^2-2\cdot2,25x + 2,25^2 - 2,25^2)-5 =\)
\( = 2(x^2-2\cdot2,25x + 2,25^2) -2\cdot2,25^2 -5 = \) \(2(x- 2,25)^2-15,125 \)

Таким образом, получили следующее уравнение:

\[2(x- 2,25)^2-15,125 = 0.\] Решаем его как неполное квадратное: \[2(x- 2,25)^2=15,125\] \[(x- 2,25)^2= 7,5625\] \[x- 2,25= \pm\sqrt{7,5625}\] \[x= 2,25 \pm\sqrt{7,5625} = 2,25 \pm2,75 \] \[x_1= 2,25 +2,75 =5\] \[x_2= 2,25 -2,75 =-0,5\] Повторим то же самое с использованием не десятичных, а обыкновенных дробей.

\(2x^2-9x-5 = 2\left(x^2-\dfrac{9}{2}x\right)-5 = \) \(2\left(x^2-2\cdot\dfrac{9}{4}x + \left(\dfrac{9}{4}\right)^2 - \left(\dfrac{9}{4}\right)^2\right)-5 =\)
\( = 2\left(x^2-2\cdot\dfrac{9}{4}x + \left(\dfrac{9}{4}\right)^2\right) -2\cdot\dfrac{81}{16} -5 = \) \(2\left(x- \dfrac{9}{4}\right)^2-\dfrac{2\cdot81 + 5\cdot16}{16} \) =  \(2\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2-\dfrac{81 + 5\cdot8}{8} \) =  \(2\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2-\dfrac{121}{8} \)

Таким образом, получили следующее уравнение:

\[2\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2-\dfrac{121}{8} = 0.\] Решаем его как неполное квадратное: \[2\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2=\dfrac{121}{8}\] \[\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2=\dfrac{121}{16}\] \[x-\dfrac{9}{4}= \pm\sqrt{\dfrac{121}{16}}\] \[x=\dfrac{9}{4} \pm\dfrac{11}{4} \] \[x_1= \dfrac{9}{4} +\dfrac{11}{4} =\dfrac{20}{4} =5\] \[x_2= \dfrac{9}{4} -\dfrac{11}{4} =\dfrac{-2}{4}= -\dfrac{1}{2} =-0,5\] Ответ:{-0,5; 5}

Сравните объём вычислений десятичными и обыкновенными дробями. На первый взгляд кажется, что десятичными дробями считать легче, но не забывайте, что на экзаменах нельзя пользоваться калькулятором, а возведение в степень и, тем более, извлечение квадратного корня без калькулятора часто лучше выполнять с обыкновенными дробями.

5) Графически

графическое решение квадратного уравнения Разделим трёхчлен на две части - линейную и квадратичную - путём переноса некоторых членов уравнения в правую часть. \[2x^2-9x-5= 0\] \[2x^2 = 9x+5 \] Стремимся к упрощению именно квадратичной части, поэтому разделим обе части уравнения на 2. \[x^2 = 4,5x+2,5 \] Строим два графика функций в одних осях координат: \(y = x^2\) — простейший вариант параболы, которую легко построить по точкам {0,0}, {1,1}, {2,4}, {3,9} и условию симметрии, и прямую \(y = 4,5x+2,5\). Прямую можно построить по 2-ум выбранным точкам. Возьмём, например, точки с координатами \[\begin{array}{ddd} x = 0;\;\; y = 4,5\cdot0+2,5 = 2,5x = 5 \\ \textrm{и}\\ x = 1;\;\; y = 4,5\cdot1+2,5 = 7.\\ \end{array}\] Абсциссы точек пересечения графиков дадут решение уравнения.

Ответ:{-0,5; 5}

(Рисунок можно увеличить щелчком клавиши мыши.)

Этот способ решения необходимо знать для анализа квадратных неравенств, систем, для решения задач с параметром и прочих. Однако, для получения точных значений корней уравнения он не очень хорош, особенно в случаях, когда проекция точки пересечения графиков на ось абсцисс попадает внутрь клеточки, ведь о её величине мы судим "на глаз". Можете ли вы по приведенному рисунку утверждать, что меньший корень равен точно −0,5, а не −0,55 или −0,45? Поэтому для решения уравнений я его называю "половиной способа", необходимой частью которого является проверка предполагаемых корней подстановкой в уравнение.

   Перейти на главную страницу сайта.
Следующая статья Квадратное уравнение. Быстро и без ошибок.