Типичные ошибки при вычислении производной.

В эпиграфе описана реальная ситуация из моей практики. Вопрос возник, когда ученик запутался в правилах дифференцирования функций, в частности, не смог определить производную произведения двух функций. Во избежание подобной трактовки этой статьи напомню, что мы занимаемся именно математикой, и здесь термин "произведение" обозначает результат операции умножения, а "производная" это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Производные элементарных функций по определению, т.е. через предел, вычисляют только однажды на лекции (на уроке), чтобы закрепить связь производной и предела. В дальнейшем нас интересует только практическое применение этого понятия, поэтому для вычисления производной пользуются готовыми Формулами и Правилами дифференцирования функций.

Здесь мы посмотрим как надо и как не надо вычислять производные, но, к сожалению, многие школьники и даже студенты это делают.

Как надо вычислять производные

Об этом написано везде, во всех учебниках и на множестве сайтов в сети.
Чтобы находить производные, нужно, пользуясь тем или иным источником, всё-таки выучить Формулы дифференцирования элементарных функций. Например, посмотрите подробную статью о Таблице производных и первообразных.   Для более сложных, чем табличные, комбинированных функций применяются правила вычисления производной суммы, произведения, дроби. Соответствующие математические выражения также можно найти где угодно. Но, на мой взгляд, Правила дифференцирования функций лучше формулировать и заучивать словами:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
2. Производная суммы равна сумме производных.
3. Производная произведения равна "производная первого сомножителя, умноженная на второй, плюс производная второго сомножителя, умноженная на первый".
4. Производная дроби равна "производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, деленные на знаменатель в квадрате".
5. Производная сложной функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней, и вычисляется "с продолжением" до табличной.

Последнее правило самое трудное для применения. Здесь допускается большое количество ошибок, поэтому о нём подробнее ниже.

Как НЕ надо вычислять производные

1. Прежде всего, не надо усложнять простое.
2. Не надо путать слагаемые и сомножители (сумму и произведение).
3. Не надо путать степенную x ^а и показательную a ^x функции.
4. Не надо забывать о том, что производная сложной функции вычисляется "с продолжением" до получения табличной формулы.
5. Не надо стесняться ставить скобки.

В большинстве последующих примеров представлены варианты вычислений производных, в которых

1. вычисления выполнены совсем плохо  , с явными ошибками;
2. правильно, но неоптимально  , т.е. долго и с вероятными ошибками на невнимательность;
3. совсем хорошо  .

Не надо усложнять простое.

Обратите внимание, на правило, которое я поставила под номером один.

Если в произведении один из сомножителей является постоянной величиной, то совершенно не обязательно пользоваться правилом производной произведения. Более того, не нужно этого делать, так как часто такая операция сопровождается ошибками. Постоянный множитель можно выносить за знак производной!

Пример 1.

Если в дроби числитель или знаменатель является постоянной величиной, то совершенно необязательно пользоваться правилом для производной дроби. Это действие у школьников и студентов ещё чаще сопровождается ошибками. Постоянный множитель можно выносить за знак производной!

Пример 2.


Пример 3.

Самая частая ошибка в подобных примерах - забыть поставить штрих (обозначение производной) над числом или поставить его и "не увидеть" при следующем действии, т.е. не учесть, что производная константы (числа) равна нулю.

Здесь для первого и третьего примеров простота и качество подхода c вынесением числового множителя за скобки очевидна. Но не всё так однозначно для второго примера, где в знаменателе находится тригонометрическая функция. Более того, соглашусь, что для тех учеников, которые плохо владеют производной сложной функции (правилом 5), более предпочтительным в этом примере может оказаться правило дифференцирования дроби.

Однако, для ряда других функций, особенно для степенных, просто необходимо знаменатель "превращать" в числитель, а корни — в степени, потому что в этом случае мы сможем воспользоваться самой простой и самой запоминающейся табличной формулой (x^α)^' = αx^{α − 1}.

Пример 4.


Пример 5.

В этих двух примерах, представлены обычные ошибки при дифференцировании дроби с константой, а в следующем примере переход от корня к дробной степени нужен потому, что иначе часто забывают, что подобная функция не является табличной и должна дифференцироваться по правилу для сложной функции.

Пример 6.

Не надо путать слагаемые и сомножители (сумму и произведение).

Константа-слагаемое при дифференцировании обнуляется, константа-сомножитель при дифференцировании сохраняется.

Кроме того, почему-то для многих учеников производную функции y = x² + 0,1 вычислить легче, чем такую же производную вида (0,1 + х²)^'. И для производной функции y = 0,1х² часто догадываются о существовании первого правила, а для (х²·0,1)^' нет.
Если Вы допускаете ошибки такого рода, то вспомните, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется, и от перестановки сомножителей произведение не изменяется. Переставьте их так, как вам удобнее, и аккуратно примените первое или второе правила дифференцирования.

Пример 7.

Не надо путать степенную x ^а и показательную a ^x функции.

В первом случае переменная находится в основании степени, читаем: "икс в степени а". Во втором — переменная в показателе степени, читаем "а в степени икс". Функции разные, формулы для вычисления производных разные. См. таблицу.

Пример 8.



Пример 9.

Это пример для продвинутых. Задумайтесь о том, как бы Вы вычислили производную функции y = x^x, в которой переменную поместили и в основание, и в показатель степени.
Хорошо подумав, но не раньше, кликните по , чтобы раскрыть мой ответ.

Не надо забывать о том, что производная сложной функции вычисляется "с продолжением" до получения табличной формулы.

Сложная функция, это функция зависящая не напрямую от заданной переменной, а от другой функции. Иными словами, её значение нельзя вычислить в одно действие. Например, функции y = sinx² и y = sin²x являются сложными. Посмотрим, как вычисляются их значения, например при х = 2.

Для функции y = sinx² нужно сначала возвести x в квадрат: 2² = 4, а затем вычислить значение синуса 4-ёх. Сделаем это с помощью калькулятора: sin4 = −0,75680249530792825... ≈ −0,76 (не забудьте, что аргументы тригонометрических функций считаются заданными в радианах).

Для функции y = sin²x сначала определяем значение синуса 2-ух с помощью калькулятора: sin2 = 0,9092974268256816..., а затем возводим это значение в квадрат sin²2 = (0,9092974268256816...)² = 0,82682181043180595... ≈ 0,83.

Таким образом, мы сначала вычисляем значение внутренней функции, а затем используем его как аргумент для внешней.
Согласно пятому правилу дифференцирования, при определении производной нужно поступать наоборот - сначала вычислять производную внешней функции по её аргументу, а затем умножать её на производную внутренней.

Как я уже упоминала, в этой операции ошибаются чаще всего. Ошибки могут быть самые разные, распространены следующие три.

1-я ошибка) Можно просто не применить нужное правило, "не заметив", что функция сложная.
В следующем примере формулы дифференцирования степенной и тригонометрической функций использованы не последовательно, а одновременно, производная неверно вычислена в одно действие.

Пример 10.

2-я ошибка) Можно не разобраться, где внутренняя, а где внешняя функции.
В следующем примере показатель степени стоит над x, т.е. над аргументом, поэтому степенная функция внутренняя, а синус внешняя. Ученик воспринял это иначе, решил, что синус в квадрате и допустил ошибку.

Пример 11.

Чтобы избавиться от ошибок такого рода, научиться анализировать сложную функцию, отделять внутреннюю от внешней, нужно просто смотреть в каком порядке Вы бы проводили вычисления, и дифференцирование проводить в обратном порядке. При этом можно расставлять отсутствующие скобки, а если всё равно испытываете трудности, то вводить дополнительные обозначения. Что касается степеней, то можно запомнить следующее - над каким обозначением стоит показатель степени, то и является её основанием (возводится в степень).

Пример 12.

Здесь в конце использована тригонометрическая формула синуса двойного угла для того, чтобы записать ответ в наиболее компактной форме.

Пример 13.

Здесь в конце переставлены сомножители также для того, чтобы записать ответ в более компактной и удобочитаемой форме.

3-я ошибка) Правило используется не до конца
Один раз учли, что функция сложная и хватит. А если функция вложена несколько раз? Например, корень квадратный из суммы двух логарифмов с разными основаниями, первый из которых зависит от sinx, а второй от cosx. Или арктангенс, зависящий от натурального логарифма, который, в свою очередь, зависит от х в квадрате.

Пример 14.

Пример 15.

Не надо стесняться ставить скобки.

Предыдущий пример демонстрирует выход из положения с помощью введения дополнительных обозначений. Но, на мой взгляд, это всё-таки не самый оптимальный способ для длинных вычислений. Лучший подход к дифференцированию сложной функции - скобки, которые можно дописывать явно или, по мере укрепления навыка, представлять себе мысленно.
Расставляем скобки и постепенно снаружи внутрь раскрываем их. Содержимое очередной скобки является переменной, по которой производится дифференцирование по формуле f_u'·(u)'. Производную f_u' находим по таблице производных, заменяя в формуле x на u. Если всё сделано правильно, то процесс закончится тем, что содержимое последней, самой внутренней скобки полностью совпадёт с одной из табличных формул для производных.

Пример 16.

PS: В примерах 11 и 14 допущены ошибки, не только упомянутые в комментариях к ним, но ещё по одной стандартной ошибке. Заметили какие?

   Переход   на главную страницу сайта "Математичка".

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь - mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.