логотип

Формулы тригонометрии



Формул в тригонометрии много.

  1. Основные тождества.
  2. Формулы сложения.
  3. Формулы кратных аргументов.
  4. Преобразование суммы или разности функций в произведение.
  5. Преобразование произведения функций в сумму или разность.
  6. Формулы понижения степени.
  7. Формулы для половинного аргумента.
  8. Универсальная подстановка (через тангенс половинного угла).
  9. Формулы приведения.
  10. Значения функций для основных углов.

Запомнить их механически очень сложно, почти невозможно. На занятиях многие школьники и студенты пользуются распечатками на форзацах учебников и тетрадей, плакатами на стенах, шпаргалками, наконец. А как быть на экзамене?

Однако, если Вы присмотритесь к этим формулам повнимательнее, то обнаружите, что все они взаимосвязаны и обладают определенной симметрией. Давайте проанализируем их с учетом определений и свойств тригонометрических функций, чтобы определить тот минимум, который действительно стоит выучить наизусть.

I группа. Основные тождества

sin2α + cos2α = 1;

tgα = ____sinαcosα ;     ctgα = ____cosαsinα ;

tgα·ctgα = 1;

1 + tg2α = _____   1cos2α;     1 + ctg2α = _____   1sin2α .

Эта группа содержит самые простые и самые востребованные формулы. Большинство учащихся их знает. Но если всё-таки есть трудности, то чтобы запомнить первые три формулы, мысленно представьте себе прямоугольный треугольник с гипотенузой равной единице. Тогда его катеты будут равны, соответственно, sinα по определению синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе) и cosα по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Первая формула представляет собой теорему Пифагора для такого треугольника - сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (12 = 1), вторая и третья - это определения тангенса (отношение противолежащего катета к прилежащему) и котангенса (отношение прилежащего катета к противолежащему).
Произведение тангенса на котангенс равно 1 потому, что котангенс, записанный в виде дроби (формула третья) есть перевернутый тангенс (формула вторая). Последнее соображение, кстати, позволяет исключить из числа формул, которые необходимо обязательно заучить, все последующие длинные формулы с котангенсом. Если в каком-либо сложном задании Вам встретится ctgα, просто замените его на дробь ___  1tgα и пользуйтесь формулами для тангенса.

Последние две формулы можно не запоминать досимвольно. Они встречаются реже. И если потребуются, то Вы всегда сможете вывести их на черновике заново. Для этого достаточно подставить вместо тангенса или контангенса их определения через дробь (формулы вторая и третья, соответственно) и привести выражение к общему знаменателю. Но важно помнить, что такие формулы, которые связывают квадраты тангенса и косинуса, и квадраты котангенса и синуса существуют. Иначе, Вы можете не догадаться, какие преобразования необходимы для решения той или иной конкретной задачи.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать "лишние" формулы.

II группа. Формулы сложения

sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;

sin(α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ;

cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ;

cos(α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ;


tg(α + β) =  tgα + tgβ_________1 − tgα·tgβ ;


tg(α − β) =  tgα − tgβ_________1 + tgα·tgβ .

Вспомним свойства четности/нечетности тригонометрических функций:

sin(−α) = − sin(α);   cos(−α) = cos(α);   tg(−α) = − tg(α).

Из всех тригонометрических функций только косинус является четной функцией и не изменяет свой знак при смене знака аргумента (угла), остальные функции являются нечетными. Нечетность функции, фактически, означает, что знак минус можно вносить и выносить за знак функции. Поэтому, если Вам встретится тригонометрическое выражение с разностью двух углов, всегда можно будет понимать его как сумму положительного и отрицательного углов.

Например, sin(x − 30º) = sin( x + (−30º) ).
Дальше пользуемся формулой суммы двух углов и разбираемся со знаками:
sin( x + (−30º) ) = sinx·cos(−30º) + cosx·sin(−30º) =
= sinx·cos30º − cosx·sin30º.

Таким образом все формулы, содержащие разность углов, можно просто пропустить при первом заучивании. Затем стоит научиться восстанавливать их в общем виде сначала на черновике, а потом и мысленно.

Например, tg(α − β) = tg(α + (−β )) =  tgα + tg(−β)___________1 − tgα·tg(−β) =  tgα − tgβ_________1 + tgα·tgβ .

Это поможет в дальнейшем быстрее догадываться о том, какие преобразования нужно применить для решения той или иной задачи из тригонометрии.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать "лишние" формулы.

Ш группа. Формулы кратных аргументов

sin2α = 2·sinα·cosα ;

cos2α = cos2α − sin2α ;


tg2α =   2tgα_______1 − tg2α ;


sin3α = 3sinα − 4sin3α ;

cos3α = 4cos3α − 3cosα .

Необходимость в использовании формул для синуса и косинуса двойного угла возникает очень часто, для тангенса тоже нередко. Эти формулы следует знать наизусть. Тем более, что трудностей в их заучивании нет. Во-первых, формулы короткие. Во-вторых, их легко контролировать по формулам предыдущей группы, исходя из того, что 2α = α + α.
смайлик mathematichka.ruНапример:
sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;
sin(α + α) = sinα·cosα + cosα·sinα;
sin2α = 2sinα·cosα.

Однако, если Вы быстрее выучили эти формулы, а не предыдущие, то можно поступать и наоборот: вспоминать формулу для суммы двух углов можно по соответствующей формуле для двойного угла.

Например, если нужна формула косинуса суммы двух углов:
1) вспоминаем формулу для косинуса двойного угла: cos2x = cos2x − sin2x;
2) расписываем её длинно: cos(x + x) = cosx·cosx − sinx·sinx;
3) заменяем один х на α, второй на β: cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ.

Потренируйтесь аналогично восстанавливать формулы для синуса суммы и тангенса суммы. В ответственных случаях, таких как например ЕГЭ, проверяйте точность восстановленных формул по известным значениям функций для основных углов первой четверти: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Проверка предыдущей формулы (полученной заменой в строке 3):
пусть α = 60°, β = 30°, α + β = 90°,
тогда cos(α + β) = cos90° = 0, cosα = cos60° = 1/2, cosβ = cos30° = √3_/2, sinα = sin60° = √3_/2, sinβ = sin30° = 1/2;
подставляем значения в формулу:    0 = (1/2)·(√3_/2) − (√3_/2)·(1/2);
0 ≡ 0, ошибок не обнаружено.

Формулы для тройного угла, на мой взгляд, специально "зубрить" не нужно. Они достаточно редко встречаются на экзаменах типа ЕГЭ. Они легко выводятся из формул, которые были выше, т.к. sin3α = sin(2α + α). А тем учащимся, которым по каким-то причинам всё же потребуется выучить эти формулы наизусть, советую обратить внимание на их некоторую "симметричность" и запоминать не сами формулы, а мнемонические правила. Например, порядок в котором расположены числа в двух формулах "33433433" и т.п.

Если ВСЕ рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать "лишние" формулы и оценить необходимые усилия на заучивание оставшихся.



IV группа. Сумма/разность - в произведение

sinα + sinβ = 2·sin α + β____   2·cos α − β____   2 ;


sinα − sinβ = 2·sin α − β____   2·cos α + β____   2 ;


cosα + cosβ = 2·cosα + β____   2·cosα − β____   2 ;


cosα − cosβ = −2·sinα − β____   2·sinα + β____   2 ;


tgα + tgβ = sin(α + β)________cosα·cosβ ;


tgα − tgβ = sin(α − β)________cosα·cosβ .

Воспользовавшись свойствами нечетности функций синус и тангенс:  sin(−α) = − sin(α);  tg(−α) = − tg(α),
можно формулы для разностей двух функций свести к формулам для их сумм. Например,

sin90º − sin30º = sin90º + sin(−30º) = 2·sin 90º + (−30º) __________     2·cos 90º − (−30º)__________     2  =

= 2·sin30º·cos60º = 2·(1/2)·(1/2) = 1/2.

Таким образом, формулы разности синусов и тангенсов не обязательно сразу заучивать наизусть.
С суммой и разностью косинусов дело обстоит сложнее. Эти формулы не взаимозаменяемы. Но опять же, пользуясь четностью косинуса, можно запомнить следующие правила.

Сумма cosα + cosβ не может изменить свой знак ни при каких изменениях знаков углов, поэтому произведение также должно состоять из четных функций, т.е. двух косинусов.

Знак разности cosα − cosβ зависит от значений самих функций, значит знак произведения должен зависеть от соотношения углов, поэтому произведение должно состоять из нечетных функций, т.е. двух синусов.

И всё-таки эта группа формул не самая лёгкая для запоминания. Это тот случай, когда лучше меньше зубрить, но больше проверять. Чтобы не допустить ошибки в формуле на ответственном экзамене, обязательно сначала запишите её на черновике и проверьте двумя способами. Сначала подстановками β = α и β = −α, затем по известным значениям функций для простых углов. Для этого лучше всего брать 90º и 30º, как это было сделано в примере выше, потому что полусумма и полуразность этих значений, снова дают простые углы, и Вы легко можете увидеть, как равенство становится тождеством для верного варианта. Или, наоборот, не выполняется, если Вы ошиблись.

Пример проверки формулы cosα − cosβ = 2·sinα − β____   2·sinα + β____   2  для разности косинусов с ошибкой !

1) Пусть β = α, тогда cosα − cosα = 2·sinα − α_____   2·sinα + α_____   2  = 2sin0·sinα = 0·sinα = 0.   cosα − cosα ≡ 0.

2) Пусть β = − α, тогда cosα − cos(− α) = 2·sinα − (−α)_______   2·sinα + (−α)_______   2  = 2sinα·sin0 = 0·sinα = 0.   cosα − cos(− α) = cosα − cosα ≡ 0.

Эти проверки показали, что функции в формуле использованы правильно, но из-за того, что тождество получалось вида 0 ≡ 0, могла быть пропущена ошибка со знаком или коэффициентом. Делаем третью проверку.

3) Пусть α = 90º, β = 30º, тогда cos90º − cos30º = 2·sin90º − 30º________   2·sin90º + 30º________   2  = 2sin30º·sin60º = 2·(1/2)·(√3_/2) = √3_/2.

cos90 − cos30 = 0 − √3_/2 = −√3_/2 ≠ √3_/2.

Ошибка была действительно в знаке и только в знаке перед произведением.

Если ВСЕ рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать "лишние" формулы и оценить необходимые усилия на заучивание оставшихся.

V группа. Произведение - в сумму/разность

sinα·sinβ = 1_2·(cos(α − β) − cos(α + β)) ;

cosα·cosβ = 1_2·(cos(α − β) + cos(α + β)) ;

sinα·cosβ = 1_2·(sin(α − β) + sin(α + β)) .

Само название пятой группы формул подсказывает, что эти формулы являются обратными по отношению к предыдущей группе. Понятно, что в этом случае проще восстановить формулу на черновике, чем учить её заново, увеличивая риск создания "каши в голове". Единственное, на чем имеет смысл заострить внимание для более быстрого восстановления формулы, это следующие равенства (проверьте их):

α = α + β____   2 + α − β____   2;  β = α + β____   2α − β____   2.

Рассмотрим пример: нужно преобразовать произведение sin5x·cos3x в сумму двух тригонометрических функций.
Поскольку в произведение входят и синус, и косинус, то берём из предыдущей группы формулу для суммы синусов, которую уже выучили, и записываем её на черновике.

sinα + sinβ = 2·sin α + β____   2·cos α − β____   2 

Пусть 5x = α + β____   2  и 3x = α − β____   2 , тогда α = α + β____   2 + α − β____   2 = 5x + 3x = 8x,  β = α + β____   2α − β____   2 = 5x − 3x = 2x.

Заменяем в формуле на черновике значения углов, выраженные через переменные α и β, на значения углов, выраженные через переменную x.
Получим sin8x + sin2x = 2·sin5x·cos3x

Делим обе части равества на 2 и записываем его на чистовик справа налево sin5x·cos3x = 1_2 (sin8x + sin2x). Ответ готов.

В качестве упражнения: Объясните, почему в учебнике формул для преобразования суммы/разности в произведение 6, а обратных (для преобразования произведения в сумму или разность) - всего 3?

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать "лишние" формулы.

VI группа. Формулы понижения степени

cos2α = 1 + cos2α_________    2;


sin2α = 1 − cos2α_________    2;

cos3α = 3cosα + cos3α____________4;


sin3α = 3sinα − sin3α____________4.

Первые две формулы этой группы очень нужны. Применяются часто при решении тригонометрических уравнений, в том числе уровня единого экзамена, а также при вычислении интегралов, содержащих подинтегральные функции тригонометрического типа.

Возможно, будет легче запомнить их в следующей "одноэтажной" форме
2cos2α = 1 + cos2α;
2 sin2α = 1 − cos2α,
а разделить на 2 всегда можно в уме или на черновике.

Необходимость в использовании следующих двух формул (с кубами функций) на экзаменах встречается гораздо реже. В другой обстановке у Вас всегда будет время воспользоваться черновиком. При этом возможны следующие варианты:
1) Если Вы помните последние две формулы III-ей группы, то пользуйтесь ими, чтобы выражать sin3α и cos3α путем несложных преобразований.
2) Если в последних двух формулах этой группы Вы заметили элементы симметрии, которые способствуют их запоминанию, то записывайте "эскизы" формул на черновике и проверяйте их по значениям основных углов.
3) Если, кроме того, что такие формулы понижения степени существуют, Вы о них ничего не знаете, то решайте задачу поэтапно, исходя из того, что sin3α = sin2α·sinα и прочих выученных формул. Потребуются формулы понижения степени для квадрата и формулы преобразования произведения в сумму.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать "лишние" формулы.

VII группа. Половинный аргумент

sin α_2 = ± 1 − cosα________   2 ;_____

cos α_2 = ± 1 + cosα________   2 ;_____

 tg α_2 = ± 1 − cosα________1 + cosα ._____

Не вижу смысла в заучивании наизусть этой группы формул в том виде, в котором они представлены в учебниках и справочниках. Если Вы понимаете, что α есть половина от 2α, то этого достаточно, чтобы быстро вывести нужную формулу половинного аргумента, исходя из первых двух формул понижения степени.

Это касается также тангенса половинного угла, формула для которого получается делением выражения для синуса на соответствующее выражение для косинуса.

Не забудьте только при извлечении квадратного корня поставить знак ±.

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать "лишние" формулы.

VIII группа. Универсальная подстановка

sinα =   2tg(α/2)_________1 + tg2(α/2) ;


cosα = 1 − tg2(α/2)__________1 + tg2(α/2) ;


tgα =   2tg(α/2)_________1 − tg2(α/2) .

Эти формулы могут оказаться чрезвычайно полезными для решения тригонометрических задач всех видов. Они позволяют реализовать принцип "один аргумент - одна функция", который позволяет делать замены переменных, сводящие сложные тригонометрические выражения к алгебраическим. Недаром эта подстановка названа универсальной.
Первые две формулы учим обязательно. Третью можно получить делением первых двух друг на друга по определению тангенса tgα = sinα___cosα 

Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы оценить необходимые усилия на заучивание этих формул.

IX группа. Формулы приведения.

Чтобы разобраться с этой группой тригонометрических формул, передите на страницу "Формулы приведения."

X группа. Значения для основных углов.

Значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти приведены в разделе "Запоминаем значения."

Итак, делаем вывод: Формулы тригонометрии знать надо. Чем больше, тем лучше. Но на что тратить своё время и усилия - на заучивание формул или на их восстановление в процессе решения задач, каждый должен решить самостоятельно.



Пример задачи на использование формул тригонометрии

Решить уравнение   sin5x·cos3x − sin8x·cos6x = 0.

Имеем две разные функции sin() и cos() и четыре! разных аргумента 5x, 3x, 8x и 6x. Без предварительных преобразований свести к простейшим типам тригонометрических уравнений не получится. Поэтому сначала пробуем заменить произведения на суммы или разности функций.
Делаем это так же, как в примере выше (см. раздел Преобразование произведения функций в сумму или разность).

sin(5x + 3x) + sin(5x − 3x) = 2·sin5x·cos3x
sin8x + sin2x = 2·sin5x·cos3x

sin(8x + 6x) + sin(8x − 6x) = 2·sin8x·cos6x
sin14x + sin2x = 2·sin8x·cos6x

Выражая из этих равенств произведения, подставляем их в уравнение. Получим:

(sin8x + sin2x)/2 − (sin14x + sin2x )/2 = 0.

Умножаем на 2 обе части уравнения, раскрываем скобки и приводим подобные члены

sin8x + sin2x − sin14x − sin2x = 0;
sin8x − sin14x = 0.

Уравнение значительно упростилось, но решать его так sin8x = sin14x, следовательно 8x = 14x + T, где Т - период, неверно, так как мы не знаем значения этого периода. Поэтому воспользуемся тем, что в правой части равенства стоит 0, с которым легко сравнивать множители в любом выражении.
Чтобы разложить sin8x − sin14x на множители, нужно перейти от разности к произведению. Для этого можно воспользоваться формулой разности синусов, или снова формулой суммы синусов и нечётностью функции синус (см. пример в разделе Преобразование суммы или разности функций в произведение).

sin8x − sin14x = sin8x + sin(−14x) = 2·sin 8x + (−14x)__________   2·cos 8x − (−14x)__________   2  = sin(−3x)·cos11x = −sin3x·cos11x.

Итак, уравнение sin8x − sin14x = 0 равносильно уравнению sin3x·cos11x = 0, которое, в свою очередь, равносильно совокупности двух простейших уравнений sin3x = 0 и cos11x = 0. Решая последние, получаем две серии ответов
x1 = πn/3, nϵZ
x2 = π/22 + πk/11, kϵZ

Если Вы обнаружили ошибку или опечатку в тексте, сообщите о ней, пожалуйста, на электронный адрес mathematichka@yandex.ru. Буду весьма признательна.

 Перейти  на главную страницу сайта.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь -
  mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.