логотип Математички: Е в степени Пи

Преобразования графиков

Если Вы знаете, как выглядят графики простейших элементарных функций, или умеете быстро строить их по характерным точкам, то сумеете также быстро построить на их основе графики более сложных функций того же класса. Для этого существуют правила преобразования графиков функций. Они легко запоминаются, но если Вы всё же не уверены в результате, проверьте его по одной-двум хорошим точкам. Эти правила, разумеется, общие для всех функций, а не только для тех, которые изучают в школе, поэтому известный график дальше будем называть заданным.

Пусть задан график функции y = f(x). Чтобы построить график функции
  1. y = mf(x), где m > 0 и m ≠ 1, нужно ординаты точек заданного графика умножить на m. Такое преобразование называется растяжением от оси x c коэффициентом m, если m > 1, и сжатием к оси x, если 0 < m < 1.
  2. y = −f(x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси x. (Преобразование симметрии - зеркальное отражение относительно прямой.)
  3. y = f(x) + n, получается из графика функции f(x) параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на n единиц вверх, если n > 0 и, соответственно на |n| единиц вниз, если n < 0.
  4. y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1. Искомый график функции получается из заданного сжатием с коэффициентом k к оси y (если 0 < k < 1 указанное "сжатие" фактически является растяжением с коэффициентом 1/k)
  5. y = f(−x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси y
  6. y = f(x + l) получается из графика функции f(x) параллельным переносом последнего на l единиц влево, если l > 0 и, соответственно на |l| единиц вправо, если m < 0.

Например, пусть задан график функции y = x_.

Чтобы построить графики других функций, содержащих аргумент (x) под знаком квадратного корня, воспользуемся перечисленными выше правилами. Заданный график повторим во вновь начерченных осях "карандашом бледно", требуемый график, который получится после преобразований, сделаем более интенсивным. В тетради лишнее можно будет удалить ластиком, останется только результат выполнения задания.

Пример 1a. Построить график функции y = 2x_

Растянули в 2 раза от оси x. Ордината каждой точки увеличилась в 2 раза.
Пример 1b. Построить график функции y = x_ /2

Сжали вдвое к оси x. Ордината каждой точки уменьшилась в 2 раза.
Пример 3a. Построить график функции y = x_ + 2

Параллельно перенесли на 2 единицы вверх вдоль оси y. Ордината каждой точки увеличилась на 2.
Пример 3b. Построить график функции y = x_ − 2

Параллельно перенесли на 2 единицы вниз вдоль оси y. Ордината каждой точки уменьшилась на 2 единицы.
Пример 4a. Построить график функции y = √2x__

Сжали вдвое к оси y. Абсцисса каждой точки уменьшилась в 2 раза.
Пример 4b. Построить график функции y = x/2___

Растянули в 2 раза от оси y. Абсцисса каждой точки увеличилась в 2 раза.
Пример 6a. Построить график функции y = x + 2____

Параллельно перенесли на 2 единицы влево вдоль оси x. Абсцисса каждой точки уменьшилась на 2 единицы.
Пример 6b. Построить график функции y = x − 2____

Параллельно перенесли на 2 единицы вправо вдоль оси x. Абсцисса каждой точки увеличилась на 2 единицы.
Пример 2. Построить график функции y = −x_

Применили преобразование симметрии – зеркально отразили относительно оси x.
Пример 5. Построить график функции y = √−x__

Применили преобразование симметрии – зеркально отразили относительно оси y.

Заметим, что параллельный перенос графика относительно одной из осей в какую-либо сторону равносилен переносу этой оси относительно графика в противоположную сторону. Поэтому 3-е и 6-е правила можно объединить следующим образом: чтобы построить график функции
y = f(xm) + n
нужно выполнить параллельный перенос всей плоскости координат так, чтобы началом новой системы координат x'y' была точка O'(m;n). Очевидно, что вместо того, чтобы дважды перерисовывать график, проще перечертить оси.

Пример 7. Задан график функции y = x_. Построить график функции y = x + 3____ − 1.

В этом случае m = −3, n = −1. Если есть затруднения в определении знаков m и n, то записывайте формулу функции так, чтобы она совпадала с правилом

y = f(xm) + n;   y = xm_____ + n;   y = x − (−3)_______ + (−1)

Построение выполняем так. Чертим оси нужной системы координат. Находим точку с координатами (−3;−1). Проводим через неё "бледно карандашом" прямые параллельные основным осям. Это вспомогательная система координат. В этой (карандашной) системе координат строим график y = x_. Относительно основной системы координат, он является графиком функции y = x + 3____ − 1. Т.е., если карандаш удалить ластиком, то останется график, который требовалось построить.

преобразование графика функции
Этот график построен двумя последовательными параллельными переносами - на 3 единицы влево и на 1 единицу вниз.
вспомогательная система координат
Этот график построен с использованием новой системы координат. Видно, что обе сиреневые кривые относительно синих осей располагаются абсолютно одинаково.

Если нужно скомбинировать только параллельные переносы, чтобы построить график функции, то всё равно в каком порядке их выполнять, и всё равно, что переносить - оси или кривые. Но если нужно построить график сложной функции, используя и перенос, и растяжение-сжатие, и отражения, то следует тщательно соблюдать порядок выполнения операций.

Последовательность преобразований при построении графиков.

Пусть задан график функции y = f(x) и нужно построить график функции y = m·f(kx + l) + n, где k, l, m, n - числа.
  1. Записываем формулу функции в виде y = m·f(k·(x + l/k)), т.е. выносим за скобки коэффициент при х в аргументе функции.
  2. Производим сжатие с коэффициентом k вдоль оси Ох к оси Oy. (Если k < 1, то получится растяжение от оси Oy.)
  3. Если k < 0, то симметрично отображаем график относительно относительно оси Oy.
  4. Осуществляем параллельный перенос (сдвиг) полученного графика на l/k единиц влево или вправо (в зависимости от знака, для положительного числа влево).
  5. Производим растяжение с коэффициентом m от оси (вдоль оси Оy). (Если m < 1, то получится сжатие к оси Ox.)
  6. Если m < 0, то симметрично отображаем график относительно оси Ox.
  7. Осуществляем параллельный перенос (сдвиг) полученного графика на n единиц вверх или вниз (в зависимости от знака, при n >0 вверх).

Пример 8. Задан график функции y = x_. Построить график функции y = −0,5√3x − 12______ + 2.

1. Записываем формулу функции в виде y = −0,5·√3·(x − 4)_______ + 2,
т.е. выносим за скобки коэффициент при х под знаком квадратного корня с учетом того, что 12/3 = 4.
2. Строим известный график функции. ——
3. Производим сжатие в 3 раза к оси Oy. ——

4. —   (преобразование симметрии относительно оси Oy не требуется, т.к. k = 3 > 0).
5. Сдвигаем полученный график на 4 единицы вправо. ——
6. Производим сжатие в 2 раза (растяжение с коэффициентом 0,5) к оси . ——
7. Симметрично отражаем график относительно оси Ox. ——
8. Сдвигаем последний на 2 единицы вверх. Получили требуемый график. ——

преобразование графика функции

Проверим результат по "удобным" точкам. Например, x1 = 4 и x2 = 16.
y1 = −0,5√3·4 − 12_____ + 2 = 2.
y2 = −0,5√3·16 − 12_____ + 2 = −1.
Точки с координатами (4;2) и (16;−1) действительно принадлежат последнему графику.


   Перейти  на главную страницу сайта.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь -
  mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.