Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов. Например, в экономике – функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления..., в радиотехнике – функции управления и функции отклика, в статистике – функции распределения... Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций. Для этого после изучения следующей таблицы рекомендую пройти по ссылке "Преобразования графиков функций". и/или по ссылке Построение графиков, содержащих модуль аргумента или модуль функции, а также сумму или разность нескольких модулей.
Внимание: в течение этого учебного полугодия доступ к интерактивному контенту (по кнопке "К движению") ограничен. Чтобы получить пароль для работы с "живыми" графиками, нужно быть моим учеником (подробности по e-mail) или присоединиться к спонсорам сайта. Перед экзаменом кнопка будет открыта для общего пользования без регистрации.
В качестве альтернативы самостоятельной работе, вы можете найти видео с некоторыми из этих графиков на youtube-канале Mathematichka.
В школьном курсе математики изучаются следующие элементарные функции.
Название функции
Формула функции
График функции
Название графика
Комментарий
Линейная
y = kx
Прямая
Cамый простой частный случай линейной зависимости - прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента.
Линейная
y = kx + b
Прямая
Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b - любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1.
Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a - произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c - любые действительные числа.
Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1).
Логарифмическая
y = lnx
График логарифмической функции
График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой.
Логарифмическая
y = logax
График логарифмической функции
Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1).
Тригонометрическая функция обратная к y = sinx. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от −π/2 до π/2.
Арккосинус
y = arccosx
График арккосинуса
Тригонометрическая функция обратная к y = cosx. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от 0 до π.
Арктангенс
y = arctgx
График арктангенса
Тригонометрическая функция обратная к y = tgx. Определена на множестве действительных чисел. Принимает значения на интервале (−π/2; π/2). Имеет асимптоты.
Арккотангенс.
y = arcctgx
График арккотангенса
Тригонометрическая функция обратная к y = ctgx. Определена на множестве действительных чисел. Принимает значения на интервале (0 π). Имеет асимптоты.
На сервере youtube.com открыт канал Mathematichka, на котором размещаются видео, связанные с изучением графиков функций и экзаменационными задачами на эту тему. Подписывайтесь и пишите в комментариях свои вопросы и пожелания.