Квадратичная функция.


 

Квадратным трёхчленом называется многочлен 2-ой степени, то есть выражение вида ax2 + bx + c, где a ≠ 0, b, c - (обычно заданные) действительные числа, называемые его коэффициентами, x - переменная величина.

Обратите внимание: коэффициент a может быть любым действительным числом, кроме нуля. Действительно, если a = 0, то ax2 + bx + c = 0·x2 + bx + c = 0 + bx + c = bx + c. В этом случае в выражении не остаётся квадрата, поэтому его нельзя считать квадратным трёхчленом. Однако, такие выражения-двучлены как, например, 3x2 − 2x или x2 + 5 можно рассматривать как квадратные трёхчлены, если дополнить их недостающими одночленами с нулевыми коэффициентами: 3x2 − 2x = 3x2 − 2x + 0 и x2 + 5 = x2 + 0x + 5.

Если стоит задача, определить значения переменной х, при которых квадратный трёхчлен принимает нулевые значения, т.е. ax2 + bx + c = 0, то имеем квадратное уравнение.

Если существуют действительные корни x1 и x2 некоторого квадратного уравнения, то соответствующий трёхчлен можно разложить на линейные множители: ax2 + bx + c = a(xx1)(xx2)

Замечание: Если квадратный трёхчлен рассматривать на множестве комплексных чисел С, которое, возможно, вы еще не изучали, то на линейные множители его можно разложить всегда.

Когда стоит другая задача, определить все значения, которые может принимать результат вычисления квадратного трёхчлена при различных значениях переменной х, т.е. определить y из выражения y = ax2 + bx + c, то имеем дело с квадратичной функцией.

При этом корни квадратного уравнения являются нулями квадратичной функции.

Квадратный трёхчлен также можно представить в виде

Это представление удобно использовать при построении графика и изучении свойств квадратичной функции действительного переменного.

Квадратичной функцией называется функция, заданная формулой y = f(x), где f(x) - квадратный трёхчлен. Т.е. формулой вида

    y = ax2 + bx + c,

где a ≠ 0, b, c - любые действительные числа. Или преобразованной формулой вида

.

Графиком квадратичной функции является парабола, вершина которой находится в точке -b/2a.

Обратите внимание: Здесь не написано, что график квадратичной функции назвали параболой. Здесь написано, что графиком функции является парабола. Это потому, что такую кривую математики открыли и назвали параболой раньше (от греч. παραβολή - сравнение, сопоставление, подобие), до этапа подробного изучения свойств и графика квадратичной функции.

Парабола - линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельной одной из образующих этого конуса.

парабола - линия пересечения прямого кругового конуса

Парабола обладает еще одним интересным свойством, которое также используется как её определение.

Парабола представляет собой множество точек плоскости, расстояние от которых до определенной точки плоскости, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до определенной прямой, называемой директрисой параболы.

парабола - множество точек равноудаленных от фокуса и директрисы

Построить эскиз графика квадратичной функции можно по характерным точкам.
Например, для функции y = x2 берем точки

x 0 1 2 3
y 0 1 4 9

Соединяя их от руки, строим правую половинку параболы. Левую получаем симметричным отраженим относительно оси ординат.

Для построения эскиза графика квадратичной функции общего вида в качестве характерных точек удобно брать координаты её вершины, нули функции (корни уравнения), если они есть, точку пересечения с осью ординат (при x = 0, y = c) и симметричную ей относительно оси параболы точку (−b/a; c).

xb/2a x1x2 0 b/a
y−(b2 − 4ac)/4a0 0 сс
 при D ≥ 0 

Но в любом случае по точкам можно построить только эскиз графика квадратичной функции, т.е. приблизительный график. Чтобы построить параболу точно, нужно использовать её свойства: фокус и директрису.
Вооружесь бумагой, линейкой, угольником, двумя кнопками и крепкой нитью. Прикрепите одну кнопку примерно в центре листа бумаги - в точке, которая будет фокусом параболы. Вторую кнопку прикрепите к вершине меньшего угла угольника. На основаниях кнопок закрепите нить так, чтобы её длина между кнопками равнялась большому катету угольника. Начертите прямую линию, непроходящую через фокус будущей параболы, - директрису параболы. Приложите линейку к директрисе, а угольник к линейке так, как показано на рисунке. Перемещайте угольник вдоль линейки, одновременно прижимая карандаш к бумаге и к угольнику. Следите за тем, чтобы нить была натянута.

   

Измерьте расстояние между фокусом и директрисой (напоминаю - расстояние между точкой и прямой определяется по перпендикуляру). Это фокальный параметр параболы p. В системе координат, представленной на правом рисунке, уравнение нашей параболы имеет вид: y = x2/2p. В масштабе моего рисунка получился график функции y = 0,15x2.

Замечание: чтобы построить заданную параболу в заданном масштабе, делать нужно всё то же самое, но в другом порядке. Начинать нужно с осей координат. Затем начертить директрису и определить положение фокуса параболы. И только потом конструировать инструмент из угольника и линейки. Например, чтобы на клетчатой бумаге построить параболу, уравнение которой у = x2, нужно расположить фокус на расстоянии 0,5 клеточки от директрисы.

график функции у = x^2

Свойства функции у = x2

  1. Область определения функции - вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).
  2. Область значений функции - положительная полупрямая: E(f) = [0; ∞).
  3. Функция у = x2 четная: f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x).
    Ось ординат является осью симметрии параболы.
  4. На промежутке (−∞; 0) функция монотонно убывает.
    На промежутке (0; + ∞) функция монотонно возрастает.
  5. В точке x = 0 достигает минимального значения.
    Точка с координатами (0;0) является вершиной параболы.
  6. Функция непрерывна на всей области определения.
  7. Асимптот не имеет.
  8. Нули функции: y = 0 при x = 0.

Свойства квадратичной функции общего вида.

  1. Область определения функции - вся числовая прямая: D(f) = R = (−∞; ∞).
  2. Область значений функции зависит от знака коэффициента a.
    При a > 0 ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее (ymin), но не имеет наибольшего значения: E(f) = [ ymin; ∞);
    при a < 0 ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее (ymax), но не имеет наименьшего значения:E(f) = (−∞; ymax ].
  3. В общем случае функция у = ax2 + bx + c не является ни четной, ни нечетной.
    Осью симметрии параболы является прямая x = −b/2a.
    Функция будет четной только в случае, когда эта прямая совпадает с осью Oy, т.е. при b = 0.
  4. При a > 0 функция монотонно убывает на промежутке (−∞; −b/2a) и монотонно возрастает на промежутке (−b/2a; ∞).
    При a < 0 функция монотонно возрастает на промежутке (−∞; −b/2a) и монотонно убывает на промежутке (−b/2a; ∞).
  5. В точке x = −b/2a при a < 0 достигается максимум, а при a > 0 — минимум функции.

    Оба значения определяются по формуле y = − b2 − 4ac_______ . 4a

    Точка с координатами -b/2a является вершиной параболы.
  6. Функция непрерывна на всей области определения.
  7. Асимптот не имеет.
  8. Парабола пересекает ось ординат в точке (0;c).
    Если квадратный трёхчлен имеет дейтсивтельные корни x1x2, то парабола пересекает ось абсцисс в точках (x1;0) и (x2;0).
    При x1 = x2 парабола касается оси абсциcс в точке (x1;0).

Производная квадратичной функции вычисляется по формуле (ax2 + bx + c)' = 2ax + b.

График квадратичной функции, заданной общей формулой, лучше всего строить и изучать пользуясь Правилами преобразования графиков функций.
Для этого нужно сначала перейти от формулы y = ax2 + bx + c к виду, удобному для преобразований, y = m(kx + l)2 + n, где k, l, m, n - числа, зависящие от a, b, c, т.е. к виду
.
Затем взять за основу параболу y = x2 и применить к ней следующие преобразования:

Формулы для такого перехода можно выучить наизусть, а можно научиться выделять полный квадрат из трёхчлена с заданными коэффициентами. Это умение весьма полезно также для решения некоторых уравнений и неравенств, для вычисления интегралов и т.д.

Рассмотрим пример:
Пусть y = 3x2 − 5x + 2
1) Объединяем в скобки первые два слагаемых и выносим за скобки коэффициент при х2.
2) В скобках умножим и одновременно разделим на 2 коэффициент при x.
3) Сравним с формулой возведения двучлена в квадрат: имеем внутри скобок квадрат числа x, удвоенное произведение x на дробь 5/6. Чтобы применить эту формулу не хватает второго квадрата, поэтому добавим недостающее слагаемое 52/62 и одновременно вычтем его, чтобы сохранилось исходное значение выражения.
4) Сворачиваем квадрат по формуле и раскрываем большую скобку.
5) Оставшиеся числовые дроби приводим к общему знаменателю и складываем.

Итак, чтобы построить график функции y = 3x2 − 5x + 2 из графика y = x2 нужно последний сдвинуть по оси Ox вправо на 5/6 ≈ 0,83 единицы. Затем растянуть вдоль оси Oy в 3 раза и, наконец, опустить по оси Oy на 1/12 ≈ 0,08 единицы.
Посмотрите, что получилось.

Если Вы являетесь моим учеником или подписчиком, то можете поработать с интерактивными версиями этих графиков.

Упражнение:
Постройте по характерным точкам эскиз графика функции y = x2.
Методом преобразования получите эскиз графика функции y = −x2 + 4x + 6.
Посмотрите в каких точках график этой функции пересекает ось Ox и сравните их координаты (абсциссы) с корнями уравнения x2 + 4x + 6 = 0, вычисленными через дискриминант. Насколько точным оказалось ваше графическое решение уравнения?

Посмотреть ответ.

Парабола - очень интересная кривая, и квадратичная функция часто встречается при описании различных природных явлений, экономических процессов... Поэтому продолжение следует.

 


   Перейдите  на главную страницу.