Логотип Математички

Задачи по геометрии с окружностями

Раздел предназначен для подготовки к экзамену и тренировки в решении задач.
Все задания снабжены ответами и рисунками, которые изначально скрыты.

Внимание: Для эффективной подготовки нужно сначала постараться решить задачу самостоятельно, и только потом сверять ответ и смотреть моё решение, с которым необязано полностью совпадать ваше. Существуют различные способы для определения ряла геометрических величин.

Задачи для тренировки и самопроверки.

Задача 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник ABC, равен \(5\sqrt{3}.\) Найдите AB.

Решение

равносторонний треугольник Равносторонний треугольник является правильным многоугольником. У него есть центр, который совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей. Если сторона треугольника равна a, то радиусы этих окружностей можно найти по формулам \[ R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}\;и\; r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}.\] Таким образом, эта задача решается по известным формулам:\[AB = a =r\cdot2\sqrt{3} =5\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3} = 30.\] Однако, если вы забыли эти формулы, ничто не мешает рассмотреть прямоугольные треугольники с углами 30° и 60°, синусы и косинусы которых вы знаете.

Ответ: AB = 30

Показать ответ    


Задача 2

Окружности радиусов 4 и 13 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L внутренним образом. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=22,5°.

Решение

внутреннее касание окружностей При построении чертежа вспоминаем, что точка касания и центры окружностей находятся на одной прямой. Тогда по чертежу видно, что искомая площадь треугольника KMO1 равна разности площадей треугольника MO2L и треугольников KO1L и MO2O1: \[S_{KMO_1} = S_{MO_2L} - S_{KO_1L} - S_{MO_2O_1} \] В каждом из этих тругольников известны две стороны и легко определяется угол между ними, поэтому площади будем находить по формуле \(S = \dfrac{ab\sin{\alpha}}{2}\), где а и b - длины упомянутых сторон треугольника.

Треугольники KO1L и MO2L равнобедренные, поэтому исходя из данного угла LMO2, можно вычислить другие необходимые значения углов:
LKO1 = ∠KLO1 = ∠MLO2 = ∠LMO2 = 22,5°
Следовательно, MO2L = ∠KO1L = 180° − 2·22,5° = 135°. \(\sin{135^\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.\)

Переходим к вычислениям: MO2 = O2L = 13; KO1 = O1L = 4; O2O1 = O2LO1L = 13 − 4 = 9. \[S_{KMO_1} = \dfrac{13^2\sqrt{2}}{2\cdot2} - \dfrac{4^2\sqrt{2}}{2\cdot2} - \dfrac{13\cdot9\sqrt{2}}{2\cdot2} = 9\sqrt{2}\]

Ответ: \(S_{KMO_1} = 9\sqrt{2}\)

Показать ответ    


Задача 3

Окружности радиусов 11 и 21 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2=60°. Найдите AB.

Решение

внешнее касание окружностей

BO2C = 180° − ∠CO1A = 180° − 60° = 120° (эти углы внутренние односторонние при параллельных AO1||BO2 и секущей O1O2.

Зная углы при вершинах равнобедренных треугольников AO1C и BO2C, можем вычислить угол ВСА.
BСO2 = (180° − ∠BO2C)/2 = (180° − 120°)/2 = 30°.
АСO1 = (180° − ∠АO1C)/2 = (180° − 60°)/2 = 60°.
BСA = 180° − ∠BCO2 − ∠AСO1 = 180° − 30° − 60° = 90°.

Таким образом получаем, что треугольник АВС – примоугольный, и искомый отрезок АВ является его гипотенузой, которую можно было бы найти по теореме Пифагора, если бы нам были известны величины катетов АС и ВС.

При вычислении углов треугольника AO1C получили, что углы при его основании по 60°, это означает, что треугольник равносторонний и АС = АO1 = 11, AC2 = 121.
Чтобы найти ВС2 используем теорему косинусов для треугольника ВО2С: \[BC^2 = BO_2^2+CO_2^2-2\cos{\angle BO_2C}\cdot BO_2\cdot CO_2 = \\ = 21^2+21^2-2\cdot\cos{120^\circ}\cdot21\cdot21 = \\ = 2\cdot441-2\cdot(-\frac{1}{2})\cdot441 =1323.\] Тогда \(AB^2 = AC^2+BC^2 = 1323+121=1444.\) \(AB = \sqrt{1444} = 38.\)

Ответ: AB = 38

Показать ответ    


Задача 4

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=15°.

В задании не сказано внешним или внутренним образом касаются окружности, поэтому рассмотрим оба варианта.

Решение I

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A внешним образом. Строим на чертеже все элементы, упомянутые в условии задачи, а также проводим линию центров О1О2 и опускаем из точки О2 перпендикуляр на прямую ВС. O2H – высота треугольника BCO2. Следовательно, его площадь может быть найдена по формуле \[S = \frac{BC\cdot O_2H}{2}\] ВС = ВА + АС, поэтому нужно найти длины этих хорд обоих окружностей. Их легко определить из равнобедренных треугольников ABO1 и ACO2, боковые стороны которых равны известным радиусам окружностей, а углы при основаниях по 15°:
ABO1 = 15° по условию задачи;
BAO1 = ∠ABO1 = 15° - углы при основании равнобедренного треугольника ABO1;
CAO2 = ∠BAO1 = 15° - вертикальные углы;
ACO2 = ∠CAO2 = 15° - угды при основании равнобедренного треугольника ACO2.
Основания АВ и АС в этих треугольниках можно определить по теореме косинусов или через прямоугольные треугольники, на которые их делят высоты, такие как, например, треугольник AO2H. Любым способом получим
\[AB = 2\cdot3\cdot\cos{15^\circ} = 6\cos{15^\circ}\\AC = 2\cdot5\cdot\cos{15^\circ} = 10\cos{15^\circ}.\] Высоту О2Н также определяем из прямоугольного треугольника AO2H: \[O_2H = AO_2\cdot\sin{15^\circ} = 5\cdot\sin{15^\circ}.\] Вычисляем площадь \[S = \frac{(6\cos{15^\circ} + 10\cos{15^\circ})\cdot5\sin{15^\circ}}{2} = \\ =\frac{16\cos{15^\circ}\cdot5\sin{15^\circ}}{2} = \\ = \frac{80\sin{15^\circ}\cos{15^\circ}}{2} = \frac{40\sin{30^\circ}}{2} = \frac{40\cdot1}{2\cdot2} = 10. \] При вычислении была использована тригонометрическая формула 2sinαcosα = sin2α.

Решение II

равносторонний треугольник Достраиваем на чертеже линию центров О1О2 и высоту треугольника BCO2. Так как в этом случае треугольник получился тупоугольным, эта высота расположена вне треугольника.
Площадь треугольника также может быть найдена по формуле \[S = \frac{BC\cdot O_2H}{2}.\] ВС = ACАB.
О2Н = CO2ċsin∠BCO2.

Для определения длин отрезков AC и АB и величины угла BCO2 также рассматриваем равнобедренные треугольники ABO1 и ACO2.

ABO1 = 15° по условию задачи;
BAO1 = ∠ABO1 = 15° - углы при основании равнобедренного треугольника ABO1;
BAO1 и ∠CAO2 - разные обозначения одного и того же угла;
ACO2 = ∠CAO2 = 15° - угды при основании равнобедренного треугольника ACO2.
\[AB = 2\cdot3\cdot\cos{15^\circ} = 6\cos{15^\circ}\\AC = 2\cdot5\cdot\cos{15^\circ} = 10\cos{15^\circ}.\] \[O_2H = СO_2\cdot\sin{15^\circ} = 5\cdot\sin{15^\circ}.\] Вычисляем площадь \[S = \frac{(10\cos{15^\circ} - 6\cos{15^\circ})\cdot5\sin{15^\circ}}{2} = \\ =\frac{4\cos{15^\circ}\cdot5\sin{15^\circ}}{2} = \\ = \frac{20\sin{15^\circ}\cos{15^\circ}}{2} = \frac{10\sin{30^\circ}}{2} = \frac{10\cdot1}{2\cdot2} = 2,5. \]

Ответ: S = 10 или S = 2,5

Показать ответ    


Задача 5

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной \(14\sqrt{3}.\) Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.

Решение

правильный шестиугольник и окружность, касающаяся окружностей, описанных около треугольников Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF делят его на 6 равных равносторонних треугольников со стороной \(14\sqrt{3}\).

Подробнее о правильных многоугольниках см. здесь.

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника (R1 = O1P), найдем через его сторону по формуле \[ R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 14. \] Центры касающихся окружностей лежат на одной прямой с точкой касания. Поэтому, и это видно из чертежа, искомый радиус большой окружности (R0 = OP) равен диаметру маленькой, т.е. R0 = 2R1 = 28.

Ответ: 28

Показать ответ    


   Переход  на главную страницу сайта.

Чтобы повторить свойства окружностей перейдите к страницам Окружность. Основные понятия. и
Углы и отрезки в окружности.

Повторить свойства правильных многоугольников можно здесь.

Если возникают вопросы - обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

отправить письмо математичке

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.