Задачи по геометрии с окружностями

Решение

Равносторонний треугольник является правильным многоугольником. У него есть центр, который совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей. Если сторона треугольника равна a, то радиусы этих окружностей можно найти по формулам \[ R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}\;и\; r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}.\] Таким образом, эта задача решается по известным формулам:\[AB = a =r\cdot2\sqrt{3} =5\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3} = 30.\] Однако, если вы забыли эти формулы, ничто не мешает рассмотреть прямоугольные треугольники с углами 30° и 60°, синусы и косинусы которых вы знаете.

Решение

При построении чертежа вспоминаем, что точка касания и центры окружностей находятся на одной прямой. Тогда по чертежу видно, что искомая площадь треугольника KMO₁ равна разности площадей треугольника MO₂L и треугольников KO₁L и MO₂O₁: \[S_{KMO_1} = S_{MO_2L} - S_{KO_1L} - S_{MO_2O_1} \] В каждом из этих тругольников известны две стороны и легко определяется угол между ними, поэтому площади будем находить по формуле \(S = \dfrac{ab\sin{\alpha}}{2}\), где а и b - длины упомянутых сторон треугольника.

Треугольники KO₁L и MO₂L равнобедренные, поэтому исходя из данного угла LMO₂, можно вычислить другие необходимые значения углов:
∠LKO₁ = ∠KLO₁ = ∠MLO₂ = ∠LMO₂ = 22,5°
Следовательно, ∠MO₂L = ∠KO₁L = 180° − 2·22,5° = 135°. \(\sin{135^\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.\)

Переходим к вычислениям: MO₂ = O₂L = 13; KO₁ = O₁L = 4; O₂O₁ = O₂L − O₁L = 13 − 4 = 9. \[S_{KMO_1} = \dfrac{13^2\sqrt{2}}{2\cdot2} - \dfrac{4^2\sqrt{2}}{2\cdot2} - \dfrac{13\cdot9\sqrt{2}}{2\cdot2} = 9\sqrt{2}\]

Решение

∠BO₂C = 180° − ∠CO₁A = 180° − 60° = 120° (эти углы внутренние односторонние при параллельных AO₁||BO₂ и секущей O₁O₂.

Зная углы при вершинах равнобедренных треугольников AO₁C и BO₂C, можем вычислить угол ВСА.
∠BСO₂ = (180° − ∠BO₂C)/2 = (180° − 120°)/2 = 30°.
∠АСO₁ = (180° − ∠АO₁C)/2 = (180° − 60°)/2 = 60°.
∠BСA = 180° − ∠BCO₂ − ∠AСO₁ = 180° − 30° − 60° = 90°.

Таким образом получаем, что треугольник АВС – примоугольный, и искомый отрезок АВ является его гипотенузой, которую можно было бы найти по теореме Пифагора, если бы нам были известны величины катетов АС и ВС.

При вычислении углов треугольника AO₁C получили, что углы при его основании по 60°, это означает, что треугольник равносторонний и АС = АO₁ = 11, AC² = 121.
Чтобы найти ВС² используем теорему косинусов для треугольника ВО₂С: \[BC^2 = BO_2^2+CO_2^2-2\cos{\angle BO_2C}\cdot BO_2\cdot CO_2 = \\ = 21^2+21^2-2\cdot\cos{120^\circ}\cdot21\cdot21 = \\ = 2\cdot441-2\cdot(-\frac{1}{2})\cdot441 =1323.\] Тогда \(AB^2 = AC^2+BC^2 = 1323+121=1444.\) \(AB = \sqrt{1444} = 38.\)

В задании не сказано внешним или внутренним образом касаются окружности, поэтому рассмотрим оба варианта.

Решение I

Строим на чертеже все элементы, упомянутые в условии задачи, а также проводим линию центров О₁О₂ и опускаем из точки О₂ перпендикуляр на прямую ВС. O₂H – высота треугольника BCO₂. Следовательно, его площадь может быть найдена по формуле \[S = \frac{BC\cdot O_2H}{2}\] ВС = ВА + АС, поэтому нужно найти длины этих хорд обеих окружностей. Их легко определить из равнобедренных треугольников ABO₁ и ACO₂, боковые стороны которых равны известным радиусам окружностей, а углы при основаниях по 15°:
∠ABO₁ = 15° по условию задачи;
∠BAO₁ = ∠ABO₁ = 15° - углы при основании равнобедренного треугольника ABO₁;
∠CAO₂ = ∠BAO₁ = 15° - вертикальные углы;
∠ACO₂ = ∠CAO₂ = 15° - угды при основании равнобедренного треугольника ACO₂.
Основания АВ и АС в этих треугольниках можно определить по теореме косинусов или через прямоугольные треугольники, на которые их делят высоты, такие как, например, треугольник AO₂H. Любым способом получим
\[AB = 2\cdot3\cdot\cos{15^\circ} = 6\cos{15^\circ}\\AC = 2\cdot5\cdot\cos{15^\circ} = 10\cos{15^\circ}.\] Высоту О₂Н также определяем из прямоугольного треугольника AO₂H: \[O_2H = AO_2\cdot\sin{15^\circ} = 5\cdot\sin{15^\circ}.\] Вычисляем площадь \[S = \frac{(6\cos{15^\circ} + 10\cos{15^\circ})\cdot5\sin{15^\circ}}{2} = \\ =\frac{16\cos{15^\circ}\cdot5\sin{15^\circ}}{2} = \\ = \frac{80\sin{15^\circ}\cos{15^\circ}}{2} = \frac{40\sin{30^\circ}}{2} = \frac{40\cdot1}{2\cdot2} = 10. \] При вычислении была использована тригонометрическая формула 2sinαcosα = sin2α.

Решение II

Достраиваем на чертеже линию центров О₁О₂ и высоту треугольника BCO₂. Так как в этом случае треугольник получился тупоугольным, эта высота расположена вне треугольника.
Площадь треугольника также может быть найдена по формуле \[S = \frac{BC\cdot O_2H}{2}.\] ВС = AC − АB.
О₂Н = CO₂ċsin∠BCO₂.

Для определения длин отрезков AC и АB и величины угла BCO₂ также рассматриваем равнобедренные треугольники ABO₁ и ACO₂.

∠ABO₁ = 15° по условию задачи;
∠BAO₁ = ∠ABO₁ = 15° - углы при основании равнобедренного треугольника ABO₁;
∠BAO₁ и ∠CAO₂ - разные обозначения одного и того же угла;
∠ACO₂ = ∠CAO₂ = 15° - угды при основании равнобедренного треугольника ACO₂.
\[AB = 2\cdot3\cdot\cos{15^\circ} = 6\cos{15^\circ}\\AC = 2\cdot5\cdot\cos{15^\circ} = 10\cos{15^\circ}.\] \[O_2H = СO_2\cdot\sin{15^\circ} = 5\cdot\sin{15^\circ}.\] Вычисляем площадь \[S = \frac{(10\cos{15^\circ} - 6\cos{15^\circ})\cdot5\sin{15^\circ}}{2} = \\ =\frac{4\cos{15^\circ}\cdot5\sin{15^\circ}}{2} = \\ = \frac{20\sin{15^\circ}\cos{15^\circ}}{2} = \frac{10\sin{30^\circ}}{2} = \frac{10\cdot1}{2\cdot2} = 2,5. \]

Решение

Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF делят его на 6 равных равносторонних треугольников со стороной \(14\sqrt{3}\).

Подробнее о правильных многоугольниках см. здесь.

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника (R₁ = O₁P), найдем через его сторону по формуле \[ R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 14. \] Центры касающихся окружностей лежат на одной прямой с точкой касания. Поэтому, и это видно из чертежа, искомый радиус большой окружности (R₀ = OP) равен диаметру маленькой, т.е. R₀ = 2R₁ = 28.