логотип Математички: Е в степени Пи

Задача о бегающих мальчиках.

Четверо ребят - Алеша, Боря, Ваня и Гриша - соревновались в беге.
На следующий день на вопрос, кто какое место занял, они ответили так:
Алеша: Я не был ни первым, ни последним.
Боря: Я не был последним.
Ваня: Я был первым.
Гриша: Я был последним.
Известно, что три из этих ответов правильные, а один - неверный.
Кто сказал неправду? Кто был первым?

Решение задачи

Представим высказывания мальчиков в виде таблицы. В ней отметим ячейки, соответствующие местам, которые могли занять мальчики (с их слов).

/ Алеша   Боря    Ваня    Гриша 
1-е место   * *  
2-е место * *    
3-е место * *    
4-е место       *

Анализируем высказывание Гриши. Если он обманывает и не занимал последнего места, то обманывает еще кто-то, кто действительно был последним. Но тогда обманывают два мальчика, а по условию задачи только один ответ неверный. Значит Гриша не обманывает и занял последнее место.

Теперь проанализируем высказывание Вани. Если Ваня не обманывает и занял первое место, то Алёша и Боря распределили между собой 2-е и 3-е места. Их высказывания не противоречат этому, но тогда все говорят правду, а по условию задачи должен быть один неверный ответ. Значит Ваня всё-таки обманывает и первое место занял не он, а Борис.

Ответ: Неправду сказал Ваня. Первым был Боря.



Комментарии к решению

Как не надо делать.

Первое, что приходит в голову, это сразу начать рассуждать в стиле "Если Алеша сказал правду, то он был вторым или третьим. Если он был вторым, то ..." И так рассуждать до тех пор, пока не наткнемся на противоречие. После этого рассмотреть случай "А если он был третьим то..." Снова наткнувшись на противоречие, вернуться к началу: "Если Алеша обманул, то он был первым или последним..." Понятно, что решать задачу, постоянно возвращаясь к началу и перебирая все возможные варианты, очень долго, и очень легко сбиться в рассуждениях. Это еще хорошо, если будут противоречия в выводах, из-за которых можно сразу отбросить ложные варианты. А если нет? Например, утверждения Алеши и Бориса правдивы, но малоинформативны, сравнение их между собой ничего не дает. Тупик?

Итак, не надо спешить.

С чего начать решение.

Это, пожалуй, самый главный и самый трудный вопрос при решении любой проблемы и в жизни, и в науке, и в бизнесе. Чем может помочь математика? Она рекомендует структурировать уже имеющуюся информацию, представлять её в удобной для анализа наглядной форме. Часто это графическая или табличная форма. На уроках математики, помимо прочего, вы учитесь строить и анализировать графики, таблицы, диаграммы. В частности, проверке этих навыков посвящены несколько заданий ЕГЭ по математике. В 2015 году это задания 11 и 12 базового уровня и задания 2 и 3 профильного уровня (нумерация проектов демонстрационного варианта начала года).

Как догадаться, что здесь может помочь таблица.

На эту мысль наводит тот факт, что в задаче идет речь о 4-ёх мальчиках и 4-ёх занятых ими местах, т.е. 4х4, причем один мальчик мог занять только одно место, т.е. мы имеем только одно "пересечение" мальчиков с местами. Но совершенно необязательно нужна именно таблица. Вы можете придумать какой-либо другой рисунок, график или даже построить граф - дерево вариантов (понятие графа изучается в школьном курсе информатики).

Переходим от схемы к рассуждениям.

Итак, рисуем таблицу и отмечаем клеточки, которые соответствуют фразе - "Этот мальчик мог занять это место". Т.е., если Алеша говорит, что не был ни первым ни последним, это означает, что он мог быть вторым или третьим - отметим эти клеточки в первом столбце. Боря утверждает, что был первым - отметим первую клеточку во втором столбце, и т.д.
Теперь при первом же взгляде на заполненную таблицу видно, что начинать рассуждения надо с высказывания Гриши, о том, что он занял последнее место, поскольку в 4-ой строке и в 4-ом столбце таблицы закрашена всего одна клеточка. Здесь самое "слабое" (наименее запутанное) звено.

Полагаю, что дальше решение понятно без комментариев. (Сможете объяснить, почему, определив точное положение Гриши, мы переходим к анализу именно Ваниного высказывания?) Главное, что таблица помогла нам найти очень простое и короткое решение.

PS: Задача из сборника олимпиадных задач для 5-7 классов средней школы 80-х годов издания.

 

стрелка назад
  
   На главную страницу

Есть вопросы?   пожелания?  замечания?
Обращайтесь -
  mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.