логотип Математички: Е в степени Пи

Скалярное произведение векторов

Предыдущие разделы по теме "Вектора" представлены в формате Видео-уроков на youtube-канале Mathematichka и на канале Математичка РУ видеохостинга Rutube:

  1. Вектор - направленный отрезок
  2. Координаты вектора
  3. Обозначение координат
  4. Умножение вектора на число
  5. Сложение векторов

 

Здесь мы рассмотрим понятие Скалярное произведение векторов и примеры решения задач на эту тему, характерных для ЕГЭ по математике профильного уровня.

Определение. Скалярным произведением векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. \[\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\varphi} \qquad (1)\]

Свойства скалярного произведения:

Если рассматривать векторы \(\vec{a}(a_x;a_y)\) и \(\vec{b}(b_x;b_y)\) на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат, то \[\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y. \qquad (2)\]

Способ определения скалярного произведения векторов через их координаты также распространяется на трёхмерное и даже многомерное пространство. Для векторов \(\vec{a}(a_x;a_y;a_z)\) и \(\vec{b}(b_x;b_y;b_z)\), заданных тремя координатами, имеем \[\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.\] Аналогично для n-мерного случая \[\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4 + ... + a_n b_n.\] Последний в школьном курсе математики не рассматривается, а вот задачи на векторы в трёхмерном пространстве вполне могут появиться на ЕГЭ именно в варианте представления через декартовы координаты. Представить "читабельное в условиях экзамена" расположение пространственных векторов на рисунке трудно, а задать координатами легко.

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами: \[\cos{\varphi} = \frac{a_x b_x + a_y b_y}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2}\cdot\sqrt{b_x^2 + b_y^2}}.\qquad (3)\] Формула приведена для векторов на плоскости, т.е. в самом коротком варианте, но запоминать её как готовую конструкцию необязательно. Лучше определить скалярное произведение двумя способами - по определению и через координаты - и, приравняв результаты, решить мини-уравнение относительно неизвестной величины \(\cos{\varphi}\).

Примеры решения задач

Рассмотрим несколько примеров из открытого банка заданий ЕГЭ.

Длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равны 3 и 7, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b}\).
Эта задача решается непосредственно по определению скалярного произведения, т.е. по формуле (1): \[\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\varphi} = 3\cdot 7 \cdot \cos{60^o} = 21\cdot 0,5 = 10,5\] Ответ: 10,5
Даны векторы \(\vec{a}(14;−2)\) и \(\vec{b}(5;−8).\) Найдите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b}\).
Векторы заданы декартовыми координатами, поэтому вычисление скалярного произведения произведём по формуле (2). \[\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = 14\cdot 5 + (-2)\cdot(-8) = 70+16=86\] Ответ: 86

Замечание: Чтобы не перепутать компоненты в спешке на экзамене, удобно записать векторы друг под другом
\(\vec{a}(14;−2)\)
\(\vec{b}(\;5;−8)\)
   Однако спешки на экзамене лучше не допускать в любом случае

Даны векторы \(\vec{a}(5;-2)\) и \(\vec{b}(7;4)\). Найдите скалярное произведение векторов \(1,2\vec{a}\) и \(0,5\vec{b}\).
Способ I. Воспользуемся правилом умножения на число вектора, заданного координатами. \[1,2\vec{a} = 1,2\cdot(5;-2) = (1,2\cdot 5;\;1,2\cdot(-2)) = (6;-2,4),\quad 0,5\vec{b} = 0,5\cdot(7;4) = (0,5\cdot 7;\;0,5\cdot 4) = (3,5;2).\] А затем найдём скалярное произвежение полученных векторов
\((6;−2,4)\)
\((3,5;\;2)\)
   по формуле (2) \[6\cdot 3,5 -2,4\cdot 2 = 21 - 4,8 = 16,2\] Способ II. Вспомним о свойствах скалярного произведения. По свойству 5) постоянный множитель можно выносить за скобки произведения. Поэтому сначала вычислим скалярное произведение заданных векторов
\(\vec{a}(5;−2)\)
\(\vec{b}(7;\;4)\)
   \(5\cdot 7 -2\cdot 4 = 35-8 = 27\), а затем умножим его на заданные коэффициенты 1,2 и 0,5.      \(27\cdot 1,2\cdot 0,5 = 16,2\)

Ответ: 16,2

Замечание: Второй способ во многих случаях оказывается оптимальнее, но на ЕГЭ лучше решить подобное задание обоими способами, чтобы обеспечить самопроверку и гарантировать себя от лишних арифметических ошибок.
Даны векторы \(\vec{a}(4;-2)\) и \(\vec{b}(-1;3)\). Найдите угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Косинус искомого угла можно вычислить по формуле (3). Но мы здесь сделаем это не по формуле, которая, на мой взгляд, достаточно громоздка для запоминания, а по логике вывода этой формулы. Т.е. дважды вычислим скалярное произведение векторов.
Чтобы вычислить скалярное произведение векторов по формуле (1), т.е. по определению, нужно знать их длины. Найдём их. \[|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2+a_y^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}\] \[|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2+b_y^2} = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{10}\] Таким образом, скалярное произведение, вычисленное по формуле (1), задаётся выражением \[\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\varphi} = \sqrt{20}\cdot\sqrt{10}\cdot\cos{\varphi} = \sqrt{200}\cdot\cos{\varphi} = 10\sqrt{2}\cdot\cos{\varphi}\]
Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) через координаты по формуле (2). \[\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = 4\cdot(-1) + (-2)\cdot 3 = -4 -6 = -10\] Приравняв полученные результаты, решим мини-уравнение относительно \(\cos{\varphi}\). \[ 10\sqrt{2}\cdot\cos{\varphi} = -10;\\ \cos{\varphi} = \frac{-10}{10\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Из планиметрии и тригонометрии мы знаем, что угол, косинус которого равен \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), составляет 135°.

Ответ: 135

На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot\vec{b}\).

На рисунке 1 представлено условие задачи. На рисунках 2 и 3 – элементы решения. (Номера рисунков появляются при наведении на них курсора.) Так как по клеточкам легко вычислить координаты векторов, то, очевидно, определять скалярное произведение, нужно по формуле (2). Причём точность вычисления нам обеспечивает замечание о том, что координаты являются целыми числами.

Итак, сначала определяем координаты векторов. Для этого из конечных и начальных точек векторов опускаем перпендикуляры на оси координат и определяем координаты этих точек. Затем вычисляем координаты самих векторов по правилу "координата конца минус координата начала": \[a_x = -4-(-1)=-3;\;a_y = 2-(-4) = 6;\;\;b_x = 5-(-3)=8;\;b_y = 1-5 = -4.\] Теперь можно вычислить скалярное произведение векторов
\(\vec{a}(-3;\;6)\)
\(\vec{b}(\;8;-4)\)
   по формуле (2) \[-3\cdot 8 +6 \cdot(-4) = -24 - 24 = -48\] Ответ: −48

Замечание: Координаты векторов по рисунку можно определить немного быстрее. Для этого надо начертить прямоугольные треугольники, гипотенузами которых будут представленные векторы. И посчитать количество клеточек, образующих катеты. Затем определить знаки проекций из следующих соображений: если стрелка на изображении вектора с левой стороны, то знак x-координаты вектора минус, если стрелка на изображении вектора снизу, то знак y-координаты вектора минус. Именно такое расположение концов векторов обычно означает несовпадение их направлений с положительными направлениями осей координат. Однако при использовании этого способа нужно быть очень внимательными.

В следующих примерах также требуется сначала определить координаты векторов по рисунку, а затем приступить к решению задания. Поскольку сами задания аналогичны рассмотренным выше, то предлагаю эти примеры использовать для тренировки. Изначально решения задач будут скрыты. Постарайтесь самостоятельно получить верный ответ, а затем посмотреть моё решение.

На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(3\vec{b}\).

Ответ: 213

Открыть решение
По рисунку определили координаты векторов
\(\vec{a}(8;5)\)
\(\vec{b}(7;3)\)
   и по формуле (2) их скалярное произведение\[8\cdot7+5\cdot3 = 71\] Чтобы найти искомое скалярное произведение воспользуемся свойством 5) и утроим полученный результат \[\vec{a}\cdot3\vec{b} = 3(\vec{a}\cdot\vec{b}) =3\cdot71 = 213\]


На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Найдите \(\cos{\alpha}\) , где \(\alpha\) – угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Ответ округлите до второго знака после запятой.

Ответ: 0,18

Открыть решение
По рисунку определили координаты векторов
\(\vec{a}(3;\;4)\)
\(\vec{b}(2;-1)\)
   и вычисляем их скалярное произведение \(3\cdot2 + 4\cdot(-1) = 2\).
Чтобы найти это же скалярное произведение другим способом, нужно знать длины векторов. Вычислим их: \[|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5;\quad|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}.\] Скалярное произведение по определению задаётся произведением их длин и косинуса угла между ними \(5\cdot\sqrt{5}\cdot\cos{\alpha}.\) Приравняем величины скалярного произведения, вычисленные разными способами, чтобы составить мини-уравнение \(5\sqrt{5}\cdot\cos{\alpha} = 2\), следовательно \(\cos{\alpha} = \dfrac{2}{5\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{25} \approx 0,18.\)


На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a}(\vec{b}+\vec{c})\).

Ответ: −32

Открыть решение
По рисунку определили координаты векторов \(\vec{a}(5;4)\), \(\vec{b}(-8;-3)\) и \(\vec{c}(4;0)\). Чтобы вычислить значение указанного произведения, можно сначала определить сумму векторов \(\vec{b}\) и \(\vec{c},\) а затем само скалярное произведение. Но мы воспользуемся свойствами скалярного произведения и сначала раскроем скобки \[\vec{a}(\vec{b}+\vec{с}) = \vec{a}\vec{b} + \vec{a}\vec{c} \] Вычисляем скалярное произведение векторов
\(\vec{a}(\;5;\;4)\)
\(\vec{b}(-8;-3)\)
   \(5\cdot(-8) + 4\cdot(-3) = -52\) и векторов
\(\vec{a}(5;4)\)
\(\vec{c}(4;0)\)
   \(5\cdot4 + 4\cdot0 = 20\). Окончательно \[\vec{a}(\vec{b}+\vec{с}) = \vec{a}\vec{b} + \vec{a}\vec{c} = -52 + 20 = -32.\]


На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{с}\). Найдите скалярное произведение \((\vec{a}-\vec{b})\vec{с}\).

Ответ: 0

Открыть решение
По рисунку определили координаты векторов \(\vec{a}(0;4)\), \(\vec{b}(4;0)\) и \(\vec{c}(4;4)\). Можно воспользоваться свойствами скалярного произведения и раскрыть скобки, как в предыдущем примере. Но здесь мы поступим наоборот: сначала вычислим разность, а потом произведение. Не потому, что так лучше или хуже, а для того, чтобы показать равносильность этих способов для большинства экзаменационных задач и предпочтительность решения каждой задачи двумя способами во избежание арифметических ошибок. Итак, \[\vec{a}-\vec{b} = (a_x-b_x;a_y-b_y) = (0-4;4-0) = (-4;4); \\ (\vec{a}-\vec{b})\vec{с} = -4\cdot c_x + 4\cdot c_y = -4\cdot4 + 4\cdot4 = -16+16=0. \] Замечание: На этом рисунке вектора расположены так, что вычитание можно произвести геометрически по правилу параллелограмма или треугольника. Вектор \(\vec{a}-\vec{b}\) пройдёт по диагоналям клеточек и в в итоге окажется перпендикулярным вектору \(\vec{c}\), что подтверждает верность нулевого ответа.


Даны векторы \(\vec{a}(5;-2), \vec{b}(7;4)\) и \(\vec{c}(2; c_y)\). Найдите \(c_y\), если \((\vec{a}+\vec{b})\vec{c} = 0.\)
Вычислим сумму векторов \[\vec{a}+\vec{b} = (a_x+b_x;a_y+b_y) = (5+7;-2+4) = (12;2), \] а затем скалярное произведение результата на вектор \(\vec{c}(2; c_y)\) \[12\cdot2 + 2\cdot c_y = 24 +2c_y.\] Чтобы найти \(c_y\), приравняем скалярное произведение к нулю и решим уравнение \[24 +2c_y = 0;\;\; c_y = -24:2 = -12\]

Ответ: −12

Даны векторы \(\vec{a}(x_a;-2)\) и \(\vec{b}(0;y_b)\), косинус угла между которыми равен \(-\sqrt{0,2}\). Найдите \(x_a\). Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
Чтобы найти неизвестное значение переменной, нужно составить уравнение. Для этого разными способами дважды найдём скалярное произведение этих векторов.
По определению \(\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos{\varphi} = \sqrt{x_a^2 +(-2)^2} \cdot \sqrt{0^2 +y_b^2} \cdot (-\sqrt{0,2}) = -\sqrt{0,2(x_a^2 +4)y_b^2}\)
Через координаты (по формуле 2) \((\vec{a}\cdot \vec{b} = x_a\cdot 0 + (-2)\cdot y_b = -2y_b\)
Приравнивая результаты, составим и решим уравнение \[ -\sqrt{0,2(x_a^2 +4)y_b^2} = -2y_b; \\ \sqrt{0,2(x_a^2 +4)y_b^2} = 2y_b; \\ 0,2(x_a^2 +4)y_b^2 = 4y_b^2; \\ 0,2(x_a^2 +4) = 4;\\ x_a^2 = 4:0,2 - 4 = 16; \;\; x_a = \pm4. \] Получили два корня уравнения и, казалось бы, в соответствии с требованием условия задачи "записать в ответ меньшее из них", уже имеем ответ \(x_a = -4\). Но вспомним, что уравнение у нас было иррациональным, а ОДЗ мы не анализировали, поэтому возможны "сюрпризы", и следует убедиться в верности своего ответа. Самый надёжный способ сделать это - прикинуть примерное расположение векторов на координатной плоскости.
При работе с уравнением мы должны были заметить, что по определению арифметического квадратного корня \(y_b\ge 0.\) Косинус угла, заданный в условии задачи, отрицательный, следовательно угол между векторами должен быть тупым. По рисунку видно, что действительно оба случая возможны.

Ответ: −4