Сложение векторов

Предыдущие разделы по теме "Вектора" представлены в формате Видео-уроков на youtube-канале Mathematichka и на канале Математичка РУ видеохостинга Rutube:

Правило треугольника

Рассмотрим следующий пример.

Населенные пункты А, В и С соединены двумя дорогами. Турист направился из пункта А в пункт В, а затем из пункта В в пункт С. Эти перемещения можно обозначить векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\). Но конечном счёте он переместился из А в С, что можно обозначить вектором \(\overrightarrow{AC}\). Это, итоговое, перемещение складывается из двух перемещений: из А в В и из B в С, и было бы естественно назвать его суммой двух перемещений и описывать суммой двух векторов \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).

Дадим строгое определение:

Пусть даны два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Отметим на плоскости произвольную точку А и отложим от этой точки вектор \(\overrightarrow{AB}\), равный вектору \(\vec{a}\). Затем от точки В отложим вектор \(\overrightarrow{BC}\), равный \(\vec{b}\). Вектор \(\overrightarrow{AC}\) называется суммой векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а правило, по которому мы сложили векторы называется правилом треугольника.

Cумма векторов не зависит от выбора точки А. (Это легко доказывается построением с использованием знаний по геометрии.)

Правило правило параллелограмма

Пользуясь, свойствами противоположных сторон параллелограмма, можно сложить два вектора ещё одним способом.

От произвольной точки А отложим векторы \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\). Построим параллелограмм ABCD. Так как вектор \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}\), то диагональ параллелограмма, вектор \(\overrightarrow{AC}\) является суммой векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) по ранее введенному правилу сложения. Этот способ сложения векторов так и называется - правило параллелограмма.

Итак, чтобы сложить векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) по правилу треугольника нужно
- совместить начало вектора \(\vec{b}\) с концом вектора \(\vec{a}\);
- построить вектор \(\vec{a} + \vec{b}\) от начала вектора \(\vec{a}\) к концу вектора \(\vec{b}\).

Чтобы сложить векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) по правилу параллелограмма нужно
- совместить начала обоих векторов в одной точке;
- построить на этих векторах параллелограмм;
- вектор \(\vec{a} + \vec{b}\) с общим началом с векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Можно пользоваться любым из упомянутых способов сложения векторов. Мне, например, больше нравится правило параллелограмма, т.к. не нужно путаться в началах и концах векторов. Оба слагаемые вектора имеют начало в одной точке. Этим правилом также удобно пользоваться при решении задач по физике: понятнее происхождение результирующих сил и ускорений. Помните задачу про лыжника, спускающегося с горы?

Вычитание векторов.

Разностью векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) называется такой вектор \(\vec{c}\), который в сумме с вектором \(\vec{b}\) даёт вектор \(\vec{a}\). То есть, если \(\vec{b} + \vec{c} = \vec{a}\), то \(\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}\).

Построим этот вектор. Отметим на плоскости произвольную точку O и отложим от этой точки векторы \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\) и \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\). Построим вектор \(\overrightarrow{BA}.\) По правилу треугольника \(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}\) или \(\vec{b} + \overrightarrow{BA} = \vec{a}\). Таким образом, сумма векторов \(\overrightarrow{BA}\) и \(\vec{b}\) равна \(\vec{a}\). По определению разности векторов это означает, что \(\overrightarrow{BA} = \vec{a} - \vec{b}\) т. е. вектор \(\overrightarrow{BA}\) искомый.

Таким образом, мы получили следующий способ построения разности векторов.

- совместить начала векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) в одной точке;
- соединить концы векторов;
- построить вектор разности \(\vec{a} - \vec{b}\), задав направление от вычитаемого (вектора \(\vec{b}\)) к уменьшаемому (вектору \(\vec{a}\)).

Замечание. Вспомним понятие противоположный вектор.
Вектор \(\vec{a_0}\) называется противоположным вектору \(\vec{a}\), если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{a_0}\) имеют равные длины и противоположно направлены. Если Вы уже ознакомились с темой умножение векторов, то понятно, что противоположный вектор — это исходный вектор, умноженный на число −1.

Следовательно решение задачи о построении разности векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) можно свести к построению суммы векторов \(\vec{a}\) и \(-\vec{b}\). На мой взгляд, пользоваться этим способом удобнее, т.к. не надо путаться - совмещаем начала или концы векторов, в сторону уменьшаемого или вычитаемого направляем результирующий вектор. Кроме того, в такой постановке легко применять правило параллелограмма.

Правила координат

Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.