Исследовать функцию вида

y = _______axⁿ + bcx^m + d

и построить её график по общей схеме.

Общее исследование функций и построение графиков выполняют по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.
2. Выяснить является ли функция чётной, нечётной, периодической.
3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов.
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить интервалы монотонности функции в этих точках.
6. Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения функции и значения производной в этих точках. Установить интервалы выпуклости графика функции.
7. Используя результаты исследований, построить график функции. Если нужно уточнить отдельные участки кривой, вычислить координаты нескольких дополнительных точек. В частности, рекомендуется вычислять координаты точек пересечения графика с осями координат, так называемые "нули" функции.

Применим эту схему для функции

y = _____   2x³x² − 4

(a = 2; b = 0; c = 1; d = −4; n = 3; m = 2).

1. Функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = ±2, в которых знаменатель дроби обращается в ноль. Таким образом, её область определения
D(f) = (−∞;−2)∪(−2;+2)∪(+2;+∞).

2. Функция нечётна, т.к.
,
следовательно её график будет симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно исследовать функцию в промежутке [0; +∞).

3. Функция непрерывна внутри своей области определения. Краевые точки интересующей части области определения исследуем одновременно с поиском асимптот.

4. Вычисляем пределы слева и справа от точки разрыва области определения (x = 2)
  
Следовательно прямая x = 2 является вертикальной асимптотой. А разрыв функции в точке x = 2 является разрывом второго рода.

Вычисляем предел функции на бесконечности

На основании этого результата делаем вывод о том, что горизонтальных асимптот у функции нет, но могут быть наклонные. Для поиска наклонной асимптоты вычисляем следующие пределы
   и   
.
Итак, кривая имеет наклонную асимптоту y = 2x, причём
Последнее означает, что при x > 2 график функции будет расположен выше прямой y = 2x, а при x < 0 — ниже её.

5. Для определения экстремумов и участков монотонности функции необходимо вычислить её первую производную

.
В промежутке [0;+∞) она обращается в ноль в точках x₁ = 0 и x₂ = 2√3_ ≈ 3,46 и в точке x = 2 обращается в бесконечность. Знаки производной на участках между этими характерными точками позволяют выявить характер монотонности функции. Вычислим значения функции в точках x₁ и x₂.
,    .

6. Характер выпуклости графика функции определяется на основе анализа её второй производной. Вычислим
.
Вторая производная обращается в ноль в точке x = 0 и в бесконечность при x = 2. Интервалы выпуклости графика определяются знаками второй производной на участках между этими точками.

7. Для определения точек пересечения графика функции с осью Ox необходимо решить уравнение
,
а для определения точек пересечения с осью Oy вычислить
.
В данном случае график пересекает оси в единственной точке (0;0).

Для удобства и наглядности исследования составим следующую таблицу, в которой все интересующие нас точки расположим в порядке возрастания. В строках y' и y" проставляем значения производных в точках или их знаки на промежутках. Последние определяем по любой точке из промежутка, для которой легче произвести вычисления. В строке делаем отметки о своих выводах.

x	0	(0;2)	2	(2;2√3_)	2√3_ ≈ 3,5	2(√3_;+∞)
y'	0	−	∞	−	0	+
y"	0	−	∞	+		+
y	0		∞		6√3_ ≈ 10,4

   К таблице с графиками элементарных функций.

Есть вопросы?   пожелания?  замечания? Обращайтесь -   mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.