Таблица производных и первообразных.

Если в таблице корни и/или дроби изображены с дефектом, загрузите скрипт для преобразования формул или таблицу в виде рисунка.

	Производная	Функция	Первообразная
	f'(x)	f(x)	F(x)
1.	0	C	Cx
2.	1	x	x²_2
3.	nxⁿ⁻¹	xⁿ	xⁿ⁺¹____ n+1, n ≠ −1
4.	1___2√x_	√x__	*
5.	− 1__x²	1_x	lnx
6.	e^x	e^x	e^x
7.	a^xlna	a^x	a^x__lna
8.	1_x	lnx	*
9.	1____xlna	log_ax	*
10.	cosx	sinx	−cosx
11.	−sinx	cosx	sinx
12.	1_____cos²x	tgx	*
13.	*	1_____cos²x	tgx
14.	− 1_____sin²x	ctgx	*
15.	*	1_____sin²x	−ctgx
16.	1_____√1−x²____	arcsinx	*
17.	*	1_____√1−x²____	arcsinx
18.	− 1_____√1−x²____	arccosx	*
19.	1_____1 + x²	arctgx	*
20.	*	1_____1 + x²	arctgx
21.	− 1_____1 + x²	arcctgx	*

Полагаю, что посетитель этой страницы уже не единожды обращался и, скорее всего, пытался выучить наизусть таблицы производных и первообразных основных элементарных функций. Вместо таблицы первообразных Вы могли учить простейшие табличные интегралы, что, фактически, одно и то же. На мой взгляд, для вычисления неопределенных интегралов эффективнее пользоваться совмещенной таблицей, заодно это позволит быстрее её запомнить.

В таблице нет столбика для табличных интегралов по понятным причинам: неопределенный интеграл - совокупность первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину. Этот столбик отличался бы от предыдущего только добавлением к первообразной одного слагаемого - произвольной постоянной "+ С". При этом функцию следовало бы поместить под знак интеграла. Всё это несущественно для запоминания формул.

Звёздочки в некоторых ячейках таблицы не означают, что у этой функции нет производной или первообразной. (Хотя такое случается, но не с приведенными элементарными функциями.) Здесь звёздочки заменяют производные и первообразные, которые выражаются композицией функций, а потому не подлежат запоминанию. Напротив, на экзамене вас могут попросить вычислить их, пользуясь, соответственно, правилами дифференцирования или методами интегрирования функций. Примеры вычисления некоторых из них представлены ниже таблицы. Остальные используются для упражнений в разделе о вычислении интегралов.

Если потребуется распечатать таблицу для использования, то лучше скачать её в формате рисунка. Тогда Вы сможете разместить его на листе формата А4 желаемым способом.

Пример вычисления отсутствующей производной в строке 13.

а) По правилу дифференцирования дроби

б) С использованием свойств степеней

Как показывает практика, большинство студентов предпочитает первый способ, но при этом чаще ошибается в вычислениях. Я рекомендую освоить второй подход, однако производная это тема другой статьи.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 4.

При вычислении использовались непосредственное интегрирование, свойства степенной функции и формулы для её первообразной (строка 3 таблицы).

Итак, одной из первообразных квадратного корня является функция 2x√x_____ 3, её можно поместить в таблицу вместо звёздочки в этой строке.

Вообще говоря, все пять верхних строк таблицы относятся к степенным функциям, поэтому их можно было бы заменить одним правилом:

- при дифференцировании степенной функции показатель степени сначала выносится коэффициентом перед ней, затем уменьшается на единицу;
- при интегрировании степенной функции показатель степени сначала увеличивается на единицу, затем сносится в знаменатель дроби.

Последнее верно для любых целых, дробных и отрицательных степеней, кроме n = −1, иначе в знаменатель пришлось бы помещать 0.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 8.

При вычислении использовался метод интегрирования по частям.
int(ln x) = x(ln x - 1) + C

В качестве первообразной натурального логарифма в таблицу можно поместить функцию x(lnx − 1).

Почему arccosx отсутствует в столбце первообразных?

Если производная функции arccosx это функция

, то по определению первообразная функции

это функция arccosx, которая по праву может занять своё место в таблице.
Но с таким же успехом мы можем считать, что

это производная функции arcsinx, умноженная на −1, и тогда её первообразной следует считать функцию −arcsinx?

Действительно, так как arcсosx и −arcsinx отличаются только на константу, то они относятся к одному и тому же неопределенному интегралу, а значит как первообразные взаимозаменяемы. Не имеет смысла учить две формулы, когда достаточно запомнить одну, если вы понимаете смысл происходящего.

Вспомните,

arcsinx + arcсosx = π_2 ,

так как по сути это два острых угла одного и того же прямоугольного треугольника.
То же самое относится к функции arcctgx.

Перейти на главную страницу сайта. Продолжть вычисление неопределенного интеграла.

	Производная	Функция	Первообразная
	\[f'(x)\]	\[f(x)\]	\[F(x)\]
1.	0	C	\[Cx\]
2.	1	\[x\]	\[\frac{x^2}{2}\]
3.	\[nx^{n - 1}\]	\[x^n\]	\[\frac{x^{n+1}}{n+1},\] \(\small{n\ne -1}\)
4.	\[\frac{1}{2\sqrt{x}}\]	\[\sqrt{x}\]	*
5.	\[-\frac{1}{x^2}\]	\[\frac{1}{x}\]	\[\ln{x}\]
6.	\[e^x\]	\[e^x\]	\[e^x\]
7.	\[a^x\ln{a}\]	\[a^x\]	\[\frac{a^x}{\ln{a}}\]
8.	\[\frac{1}{x}\]	\[\ln{x}\]	*
9.	\[\frac{1}{x\ln{a}}\]	\[\log_a{x}\]	*
10.	\[\cos{x}\]	\[\sin{x}\]	\[-\cos{x}\]
11.	\[-\sin{x}\]	\[\cos{x}\]	\[\sin{x}\]
12.	\[\frac{1}{\cos^2{x}}\]	\[\mathrm{tg}x\]	*
13.	*	\[\frac{1}{\cos^2{x}}\]	\[\mathrm{tg}x\]
14.	\[-\frac{1}{\sin^2{x}}\]	\[\mathrm{ctg}x\]	*
15.	*	\[\frac{1}{\sin^2{x}}\]	\[-\mathrm{ctg}x\]
16.	\[\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]	\[\arcsin{x}\]	*
17.	*	\[\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]	\[\arcsin{x}\]
18.	\[-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]	\[\arccos{x}\]	*
19.	\[\frac{1}{1 + x^2}\]	\[\mathrm{arctg}x\]	*
20.	*	\[\frac{1}{1 + x^2}\]	\[\mathrm{arctg}x\]
21.	\[-\frac{1}{1 + x^2}\]	\[\mathrm{arcctg}x\]	*

Таблица производных и первообразных.

Пример вычисления отсутствующей производной в строке 13.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 4.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 8.

Почему arccos x отсутствует в столбце первообразных?

Почему arccosx отсутствует в столбце первообразных?