Свойства первого дифференциала функции.

Свойство инвариантности первого дифференциала функции.

Свойства линейности первого дифференциала функции.

Дополнительные примеры и упражнения.

На мой взгляд, основным необходимым навыком для успешного вычисления неопределенных интегралов является умение вносить функцию под знак дифференциала или извлекать таковую из-под знака дифференциала, основанное на свойствах его инвариантности и линейности.

Свойство инвариантности первого дифференциала функции.

Точнее, свойство инвариантности его формы или формулы.

Такая формулировка вопроса часто встречается в экзаменационных билетах по математическому анализу в зимнюю сессию. Как правило, этот вопрос студенты относят к нежелательным: формализованным и непонятным. А зря. В самом деле, это свойство очень простое, полезное и весьма востребованное в процессе вычисления неопределённых интегралов. Оно является следствием правила дифференцирования сложной функции:

Пусть задана сложная функция y = f (φ(x)).
Формула дифференциала функции имеет вид dy = y' (x)·dx, где dx - дифференциал независимой переменной.
Введём дополнительное обозначение u = φ(x), тогда y = f (u) и дифференциал dy с использованием правила дифференцирования сложной функции y' (x) = f ' (u)·u' (x) принимает вид dy = f ' (u)·u' (x)·dx.
Но последние два сомножителя в этом произведении совпадают с дифференциалом функции u, который по определению имеет вид du = u' (x)dx, т.е. в новых обозначениях dy = f ' (u)·du

Таким образом, мы получили формулы одного и того же вида для дифференциала функции f (φ(x)) от независимой переменной x и для дифференциала функции f(u) от промежуточного аргумента u, представляющего собой дифференцируемую функцию от x.
Это и есть свойство инвариантности формы (формулы) первого дифференциала.

Пример,
пусть y(x) = sin (π − √x_)

Рассматриваем переменную х. Это независимая переменная, дифференциал

Рассматриваем переменную t = √x_, тогда y(t) = sin (π − t). Вычисляем дифференциал

Рассматриваем переменную u = π − √x_, тогда y(u) = sin (u). Вычисляем дифференциал

Здесь везде в конце вместо обозначений u и t подставлены их выражения в явном виде.
Нижний индекс показывает по какой переменной вычисляется производная.

Свойство инвариантности, утверждающее, что это один и тот же дифференциал, позволяет записать следующиую цепочку равенств

Это и есть процесс вынесения функций за знак дифференциала.
Сначала за знак дифференциала вынесена производная функции синус по его аргументу, аргумент остался под знаком следующего дифференциала. Затем вынесена производная поддиференциального выражения по переменной √x_, она оказалась равной минус единице, под знаком дифференциала остался квадратный корень. И, наконец, после вынесения производной квадратного корня, остался дифференциал независимой переменной.

Другими словами "инвариантность" - это, когда "без вариантов". Какие переменные ни вводи, до какой степени подробности ни вычисляй производную, главное записывай единообразно, и результат будет верным.

Чтобы внести функцию под знак дифференциала, надо построить такую же цепочку в обратную сторону. Для этого уже потребуется определять не производные, а первообразные функций, стоящих перед знаком дифференциала. Например,

Функция косинус внесена под знак дифференциала. Для этого мы сначала убедились в идентичности переменных под знаками функции и дифференциала (здесь явной заменой переменных, что необязательно), а затем просто вспомнили, что первообразной косинуса является синус.

Дробь с квадратным корнем внесена под знак дифференциала. Здесь числитель и знаменатель дроби зависели от разных переменных, поэтому мы вынуждены были сначала выделить сомножитель, соответствующий производной корня второй степени, а затем записать его первообразную, т.е. сам корень, под знаком дифференциала.

Чем лучше вы ориентируетесь в производных и первообразных основных элементарных функций, тем легче будет увидеть следующий шаг. Полагаю, что и таблицу производных, и таблицу первообразных вы уже изучали, но теперь удобнее свести их в одну. Поэтому рекомендую повторить Единую таблицу производных и первообразных.

Свойства линейности первого дифференциала функции.

Все помнят, что производная константы (постоянной величины) равна нулю. Следствием этого и правил дифференцирования суммы/разности и произведения/частного двух функций являются следующие формулы

( f (x) ± C ) ' = f ' (x) ± 0 = f ' (x)
( C·f (x) ) ' = C·f ' (x)
.

О последней из них часто забывают и, пользуясь полной формулой дифференцирования дроби, делают совершенно необязательные ошибки из серии "на невнимательность". Поэтому напоминаю еще раз, постоянный множитель можно выносить за знак производной. Ориентируйтесь следующие примеры.

Поскольку дифференциал функции определяется через её производную, при вычислении дифференциала срабатывают те же свойства и правила.

Следствием этого свойства является возможность дописывать под знаком дифференциала любое постоянное слагаемое. Например,

2xdx = d(x²);   2xdx = d(x² + 7);   2xdx = d(x² − 0,813);   2xdx = d(x² + 2_3 ).

Чтобы использовать это свойство при вычислении неопределенных интегралов, бывает удобно умножить и разделить на одно и то же число функцию, которую нужно внести под знак дифференциала. Например,

xdx = 2_2·xdx = 1_2d(x²);

x²dx = 3_3·x²dx = 1_3d(x³);

√x_dx = x^1/2dx = 3_2·2_3·x^1/2dx = 2_3d(x^3/2) = 2_3d(√x³__)

Дополнительные примеры и упражнения.

Пример 1.

Сначала расставили скобки, чтобы разобраться в сложных функциях, и выделили выражение с независимой переменной.

Первообразная выделенной дроби (функции, зависящей непосредственно от x) - натуральный логарифм. Внесли его под знак дифференциала.

Дифференциал логарифма сгруппировали с элементарной функцией, зависящей непосредственно от логарифма. Эта функция - синус логарифма. (Если трудно, можно сделать замену t = lnx.)

Первообразной синуса, является функция минус косинус того же аргумента. Вносим косинус логарифма под дифференциал. Получившееся выражение содержит только функцию cos ln x как под знаком дифференциала, так и вне его.

Находим первообразную дроби перед дифференциалом по формулам для степенной функции и вносим её под знак дифференциала. (Если трудно, можно сделать замену u = cos(lnx).)

Здесь удалось внести под знак дифференциала всё выражение. К сожалению, это не всегда просто и даже не всегда возможно. Поэтому и интегрирование сложнее дифференцирования. Чаще всего мы можем внести под знак дифференциала только часть подынтегрального выражения, но и это существенно упрощает задачу.