Чем первообразная отличается от неопределенного интеграла?
Он умеет брать интеграл! А ты?
Таким образом, является ли некоторая функция первообразной для заданной, проверяется дифференцированием.
Например, пусть задана функция y = x.
Её первообразной является функция y = x2__2.
Проверяем ( x2__2)' = 1_2·(x2)' = 1_2·2x = x.
Но также её первообразной может быть функция y = 0,5x2 + 9 или функция y = 0,5x2 − 14,287.
Проверяем (0,5x2 + 9)' = 0,5·2x + 0 = x.
Проверяем (0,5x2 − 14,287)' = 0,5·2x − 0 = x.
Получается, что у одной функции не одна первообразная, а много. Более того, их бесконечное множество. И отличаются они друг от друга только на постоянную величину, которая "исчезает" при дифференцировании.
Так как при вычислении производной можно "потерять" только слагаемое, представляющее собой число (постоянную величину), то неопределённый интеграл может быть записан как сумма одной из первообразных и произвольной постоянной. Произвольная постоянная обычно обозначается латинской буквой С от слова constant - константа.
Пусть F(x) первообразная для f(x), т.е. F'(x) = f(x).Проверим F(x) + C.
(F(x) + C )' = F'(x) + C' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x).
Та же производная, значит F(x) + C - неопределенный интеграл.Чаще всего, такая запись действительно явно задает весь неопределенный интеграл (всё множество первообразных), например, для рассмотренной выше функции y = x, все первообразные будут иметь вид x2/2 + C, где вместо С можно подставить любое положительное или отрицательно число, или 0. Но бывают другие случаи.
Рассмотрим примеры
1) Пусть f(x) = − 1_____1 + x2.
Посмотрим на таблицу производных. Заданная функция это производная функции arcсtgx или производная функции arctgx, умноженной на минус один? Как правильно, так
( −arctgx + C )' = ( −arctgx )' + C' = −(arctgx)' + 0 = −( 1_____1 + x2 ) = − 1_____1 + x2 ?
или так(arcсtgx + C)' = (arcсtgx)' + C' = − 1_____1 + x2 + 0 = − 1_____1 + x2 ?
Судя по результату, правильными должны быть оба варианта.
Действительно, если мы вспомним определения этих функций из тригонометрии и планиметрии, то обнаружим, что речь идёт о двух острых углах одного и того же прямоугольного треугольника, сумма которых равна 90º или π/2 радиан.
arctgx + arcсtgx = π/2;
arcсtgx = −arctgx + π/2.
Т.е. эти две первообразные отличаются друг от друга на постоянное число, значит относятся к одному и тому же неопределенному интегралу.
2) Пусть f(x) = −2sin2x. Проверим двух "кандидатов" на первообразные: F1(x) = cos2x и F2(x) = −2sin2x.
F1'(x) = (cos2x)' = −sin2x·(2x)' = −2sin2x;
F2'(x) = (−2sin2x)' = −2·(sin2x)' = −2·2sinx·(sinx)' = −2·2sinxcosx = −2sin2x.
(Производные вычислены по правилу дифференцирования сложной функции. В последнем выражении использована тригонометрическая формула синуса двойного угла.)
Судя по вычисленным производным, можно, и обе первообразные должны отличаться друг от друга на постоянную величину. Для проверки последнего утверждения используем тригонометрическую формулу для косинуса двойного угла
cos2x = cos2x − sin2x = 1 − 2sin2x.
Действительно, они отличаются на единицу.
3) Пусть f(x) = (x + 2)2. Проверим две возможные первообразные: F1(x) = (x + 2)3______ 3 и F2(x) = x3__ 3 + x2 + 4x.
F1'(x) = ((x + 2)3/3)' = 3(x + 2)2/3 = (x + 2)2;
F2'(x) = (x3/3 + x2 + 4x)' = 3x2/3 + 2x + 4 = x2 + 2x + 4 = (x + 2)2.
(В последнем выражении использована одна из формул сокращенного умножения.)
Итак, обозначение интеграла суммой одной из первообразных и произвольной константы неоднозначно, а потому неудобно. Не всегда можно по формуле одной из первообразных "узнать в лицо" другие. Поэтому введено более общее обозначение со значком интегрирования. Формула вида 
, где dx- дифференциал переменной интегрирования, задает неопределенный интеграл от функции f(x) по независимой переменной x.
Но вычисление неопределенного интеграла всё равно сводится к поиску одной из его первообразных.
.Что нужно знать, чтобы научиться быстро вычислять неопределенные интегралы?
- Таблицу производных и первообразных. Иногда вместо первообразных учат так называемые "табличные интегралы". Если вы внимательно прочитали и поняли предыдущий раздел этой статьи, то согласитесь, что последние отличаются от таблицы первообразных только количеством символов в обозначениях.
- Свойства дифференциала функции. Особенно полезно разобраться со свойством инвариантности формы первого дифференциала.
- Формулы для алгебраических преобразований: деление многочленов столбиком; разложение на множители; выделение полного квадрата.
- Формулы тригонометрии. Важно знать наизусть основные тригонометрические тождества, формулы для синуса и косинуса двойного угла. Часто требуются формулы преобразования произведения в сумму, а также формулы понижения степени тригонометрической функции за счёт увеличения кратности аргумента.
- Следует также запомнить несколько советов из учебника о рекомендуемых заменах переменной.
Уменье созидать,
На камень камень класть,
Вести леса строений...
Остальное - ваше творчество или, как сейчас чаще принято говорить, креатив. Поэтому я рекомендую проявлять как можно больше самостоятельности при решении заданий и контрольных этого раздела математического анализа. Так вы сможете развить в себе очень полезное качество - сочетать творческую составляющую мышления с "железной" логикой математики. Ведь у абсолютного большинства интегралов есть несколько способов решения, несколько, на первый взгляд, разных ответов и возможность дифференцированием убедиться в правильности своего ответа.
Как вычислять интегралы?
Существует три основных метода вычисления неопределенных интегралов, которые первокурсники проходят в вузах:- Непосредственное интегрирование.
- Метод замены переменной.
- Метод интегрирования по частям.
