Логарифмирование для вычисления производной

Если \(y = x^a\), где \(a\) - константа, например, \(y = x^5\), то это степенная функция.
Производную находим по формуле \(y' = a\cdot x^{a-1}\), например, \(y' = 5x^4\).

Если \(y = a^x\), где \(a\) - константа, например, \(y = 5^x\), то это показательная функция.
Производную находим по формуле \(y' = a^x\cdot \ln{a}\), например, \(y' = 5^x\ln{5}\).

\(y = x^x\) не относится ни к одному из этих классов, табличных формул нет.
Чтобы найти производную этой функции, прологарифмируем обе части равенства \[y = x^x; \\ \ln{y} = \ln{x^x} \] и воспользуемся свойством логарифма степени \[\ln{y} = x\cdot\ln{x}.\] Теперь найдём производную обеих частей равенства с учётом того, что \(у\) зависит от \(х\) \((y = y(x))\), т.е. левую часть равенства дифференцируем по правилу для сложной функции, правую — по правилу для произведения: \[\left(\ln{y}\right)' = \left(x\cdot\ln{x}\right)'; \\ \frac{1}{y}\cdot y' = x'\cdot \ln{x} + x\cdot \ln'{x}; \\ \frac{1}{y}\cdot y' = 1\cdot \ln{x} + x\cdot \frac{1}{x}. \] Путём элементарных алгебраических преобразований находим \(y'\) \[\frac{1}{y}\cdot y' = \ln{x} +1;\\ y' = y\cdot(\ln{x} + 1)\] и заменяем \(y\) на его выражение через \(x\) \[y' = x^x\cdot(\ln{x} + 1).\]

Итак, \((x^x)' = x^x\cdot(\ln{x} + 1)\).

Найти производную функции \(y = (\cos5x)^{\Large e^{\Large x}}\)

Этот пример из задания по математическому анализу (I-ый курс, I-ый семестр), не является свехсложным. Аналогичные задачи распространены во многих вузах, где вообще изучают производные. Для успешного решения важно заметить схожесть с приведенным выше выражением \(y = x^x\). Здесь также переменная находится как в основании, так и в показателе степени. Следовательно, также имеет смысл предварительно прологарифмировать выражение.

Решение.

\[у = (\cos5x)^{\Large e^{\Large x}}; \\ \ln{у} = \ln{\left((\cos5x)^{\Large e^{\Large x}}\right)}; \\ \ln{у} = e^{\large x}\cdot\ln{(\cos5x)}; \\ \frac{1}{y}\cdot y' = (e^{\large x})'\cdot\ln{(\cos5x)} + e^{\large x}\cdot(\ln{(\cos5x)})'. \] Разница с предыдущим примером состоит в том, что вычисляя производную произведения, здесь придётся вспомнить и другие формулы и правила дифференцирования. \[\frac{1}{y}\cdot y' = e^{\large x}\cdot\ln{(\cos5x)} + e^{\large x}\cdot\frac{1}{\cos5x}\cdot(\cos5x)';\\ \frac{1}{y}\cdot y' = e^{\large x}\cdot\ln{(\cos5x)} + e^{\large x}\cdot\frac{1}{\cos5x}\cdot(-5\sin5x);\\ \frac{1}{y}\cdot y' = e^{\large x}\cdot \left(\ln{(\cos5x)} - \frac{5\sin5x}{\cos5x}\right); \\ \DeclareMathOperator{\tg}{tg} y' = y\cdot e^{\large x}\cdot (\ln{(\cos5x)} - 5\tg{5x}). \] Осталось подставить вместо \(y\) исходное выражение и, по возможности, упростить. \[y' = (\cos5x)^{\Large e^{\Large x}}\cdot e^{\large x}\cdot (\ln{(\cos5x)} - 5\tg{5x}) \] К сожалению, здесь такой возможности не представилось.

Ответ: \(\left((\cos5x)^{\Large e^{\Large x}}\right)' = (\cos5x)^{\Large e^{\Large x}}\cdot e^{\large x}\cdot (\ln{(\cos5x)} - 5\tg{5x}) \)

Вычислить производную функции \( \DeclareMathOperator{\ctg}{ctg} y = \left( \cfrac{x}{\arcsin{x}} \right)^{\large \ctg{x}}\)

Такие примеры характерны для заданий в вузах с более серьёзными требованиями к знаниям математики, но с точки зрения логики и алгоритма решения этот пример такой же как и предыдущие. Технически он может оказаться сложнее, более громоздким в преобразованиях, если в процессе дифференцирования произведения функций потребуется применять ещё правило дифференцирования дроби. К счастью, логарифмирование позволяет обойти и эту трудность.

Один из вариантов решения.

\[\ln{y} = \ctg{x}\cdot\ln{\left(\frac{x}{\arcsin{x}}\right)}; \\ \ln{y} = \ctg{x}\cdot\left(\ln{x} - \ln{\arcsin{x}}\right). \] Здесь применение свойства логарифма частного позволяет избежать более громоздкой операции – дифференцирования дроби как промежуточного действия при вычислении производной сложной функции. \[\frac{y'}{y} = -\frac{1}{\sin^2{x}}\cdot\left(\ln{x} - \ln{\arcsin{x}}\right) + \ctg{x}\cdot \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\arcsin{x}}\cdot\arcsin'{x}\right); \\ y'= y\cdot\left( -\frac{1}{\sin^2{x}}\cdot\ln{\left(\frac{x}{\arcsin{x}}\right)} + \ctg{x}\cdot \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\arcsin{x}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \right).\] Далее подставляем вместо \(y\) исходное выражение и упрощаем по мере возможности.

Мой ответ:

\[y' = \left(\frac{x}{\arcsin{x}}\right)^{\large \ctg{x}}\cdot\left(\frac{1}{\sin^2{x}}\cdot \ln\left(\frac{\arcsin{x}}{x}\right) + \frac{\ctg{x}}{x} - \frac{\ctg{x}}{\arcsin{x}\cdot\sqrt{1-x^2}}\right)\]